2023届江苏睢宁市高二数学第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A． B．C． D．2．已知函数，设，则A． B．C． D．3．已知双曲线的一个焦点坐标为，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为()A． B． C． D．或4．等差数列{an}的前n项和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，则a2的取值范围为（）A． B． C． D．5．64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）A．>且> B．<且<C．=且> D．=且=6．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．7．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．复数在复平面内对应的点在（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限9．下列函数中，即是奇函数，又在上单调递增的是A． B． C． D．10．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（）A． B． C． D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A． B． C． D．12．方程所表示的曲线是（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在四面体中，，已知，，且，则四面体的体积的最大值为_______.14．函数与函数在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．15．若的展开式中含项的系数为，则__________．16．若函数在存在零点（其中为自然对数的底数），则的最小值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．（1）若函数f（x）在处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；18．（12分）已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，恒成立.19．（12分）在新高考改革中，打破文理分科的“（选）”模式：我省实施“”，“”代表语文、数学、外语门高考必考科目，“”是物理、历史两科选一科，这里称之为主选，“”是化学、生物、政治、地理四科选两科，这里称为辅选，其中每位同学选哪科互不影响且等可能.（Ⅰ）甲、乙两同学主选和辅选的科目都相同的概率；（Ⅱ）有一个人的学习小组，主选科目是物理，问：这人中辅选生物的人数是一个随机变量，求的分布列及期望.20．（12分）在△中，分别为内角的对边，已知．(Ⅰ)求；（Ⅱ）若，求△的面积．21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线（为参数），曲线（为参数）．(1)设与相交于两点，求；(2)曲线为（为参数），点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．22．（10分）设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.2、D【解析】

对函数求导，得出函数在上单调递减，利用中间值法比较、、的大小关系，利用函数的单调性得出、、三个数的大小关系．【详解】，，所以，函数在上单调递减，，，即，，则，函数在上单调递减，因此，，故选D.【点睛】本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题．3、A【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即，又双曲线的一个焦点坐标为，所以，即，即该双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为，其两条渐近线相互垂直.4、B【解析】

首先设公差为，由题中的条件可得和，利用待定系数法可得，结合所求的范围及不等式的性质可得.【详解】设公差为，由，得，即；同理由可得.故可设，所以有，所以有，解得，即，因为，.所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5、C【解析】

分别计算出、、、，再比较大小。【详解】，，故=，>【点睛】已知直径利用公式,分别计算出、、、，再比较大小即可。6、A【解析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.7、C【解析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C．8、B【解析】

利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置．【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选B．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．9、B【解析】分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果详解：对于，，，，不是奇函数，故错误对于，，，当时，，函数在上不单调，故错误对于，函数在上单调递减，故错误故选点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。10、D【解析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，和（）解得和，和时，；时，.故选：D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.11、B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．12、B【解析】

方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．【详解】解：两边平方，可变为，即，表示的曲线为椭圆的一部分；故选：．【点睛】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意的范围，注意数形结合的思想．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作与，连接，说明与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距，，取BC的中点F，推出当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.【详解】解：作与，连接，则平面，，由题意，与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距且垂足为同一点E，显然与全等，所以，取BC的中点F，，要四面体ABCD的体积最大，因为AD是定值，只需三角形EBC面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，，，，所以几何体的体积为：,故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.14、【解析】

先求出直线与曲线的交点坐标，封闭图形的面积是函数y＝x与y＝在x∈[0，1]上的积分．【详解】解：联立方程组可知，直线y＝x与曲线y＝的交点为（0，0）（1，1）；∴所围成的面积为S＝.故答案为．【点睛】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解题关键，属于基础题．15、2.【解析】分析：首先利用二项展开式的通项，求得该二项展开式的通项，之后令幂指数等于5，求得r的值，再回代，令其等于80，求得参数的值.详解：展开式的通项为，令，解得，所以有，解得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关根据二项展开式的特定项，确定其参数的值的问题，需要熟练掌握二项展开式的通项，之后令幂指数等于相应的数，求得结果即可.16、【解析】

依题意可得方程，在上存在解，要使取得最小值，则，令，利用导数研究函数的单调性，对分类讨论，分别求出的最小值，即可得解，【详解】解：依题意在存在零点，即方程在存在解，即，在存在解，要使取得最小值，则，令，则，①当时，在上恒成立，即在上单调递增，所以，即，，所以；②当即时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，所以，令，则，，所以，所以在上单调递减，所以③当时，则在上恒成立，即在上单调递减，综上可得的最小值为故答案为：．【点睛】本题考查函数零点及最值问题，考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数f（x）的最大值为（2）存在，详见解析【解析】

（1）函数f（x）在处有极值说明（2）对求导，并判断其单调性。【详解】解：（1）由已知得：，且函数f（x）在处有极值∴，∴∴，∴当时，，f（x）单调递增；当时，，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为．（2）由已知得：①若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；②若，则时，∴在[0，+∞）上为增函数，∴，不能使在上恒成立；③若，则时，，当时，，∴在上为增函数，此时，∴不能使在上恒成立；综上所述，b的取值范围是．【点睛】本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单调性以及极值。属于难题。18、（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】

（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.【详解】（1），①当时，时，；时，在上单调递增，在上单调递减②当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减③当时，在上恒成立在上单调递增④当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）对，恒成立即为：，等价于：令，则时，；时，在上单调递减，在上单调递增令，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减综上可得：，即在上恒成立对，恒成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（I）甲、乙两同学主选科目相同的概率，辅选科目相同的概率，再由分步计数原理的答案．（Ⅱ）每位同学辅选生物的概率为，且的所有可能取值为，，，，，．再分别计算出其概率，列表即可得出分布列，再求其期望．【详解】解：（I）设事件为“甲、乙两同学主选和辅选都相同.”则，即甲、乙两同学主选和辅选都相同的概率是（II）设事件为“每位同学辅选生物.”则的所有可能取值为，，，，，：则，，，，，的分布列为随机变量的二项分布，故．.【点睛】本题考查简单随机事件的概率、分布列与数学期望，属于中档题．20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）方法一：由A∈（0，π）可得，利用，即可得出，方法二：利用，即可得出；（Ⅱ）方法一：由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，可得c，即可得出三角形面积计算公式，方法二：由正弦定理得，从而，可得cosB．可得sinC=sin（A+B），利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】(Ⅰ)方法一