2023届吉林省通榆县第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的展开式中的系数为，则（）A．1 B． C． D．2．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．83．已知函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．4．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是（）A．除两点外的圆 B．除两点外的椭圆C．除两点外的双曲线 D．除两点外的抛物线5．的展开式中，的系数是（）A．30 B．40 C．-10 D．-206．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线：和相关系数．现给出以下3个结论：①；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（）A． B． C． D．9．在某项测量中测量结果，若X在内取值的概率为0.3，则X在内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.910．设等比数列的前n项和为，且满足，则A．4 B．5 C．8 D．911．已知为抛物线的焦点，点的坐标为，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，延长、交抛物线于、两点设直线的斜率为，则（）A．1 B．2 C．3 D．412．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为______.14．已知函数为偶函数，对任意满足，当时，.若函数至少有个零点，则实数的取值范围是____________．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2-y216．已知向量，，．若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121；(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项；18．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.19．（12分）已知，，.（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：与不能同时为负数.20．（12分）已知数列满足，，.（1）求，，；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）已知函数．（1）若不等式无解,求实数的取值范围；（2）当时，函数的最小值为,求实数的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值．【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为，∴展开式中含x2项的系数为a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故选D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．2、C【解析】，向左平移个单位，得到函数的图象，所以，因为,所以即的最大值为6，选C.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.由求增区间;由求减区间.3、D【解析】结合函数图像可得：，，结合周期公式有：，且当时，，令可得：，据此可得函数的解析式为：.本题选择D选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.4、D【解析】

根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.5、B【解析】

通过对括号展开，找到含有的项即可得到的系数.【详解】的展开式中含有的项为：，故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理系数的计算，难度不大.6、A【解析】

结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，①正确；由题中数据可得:，，所以回归直线过点，②正确；又，③错误.故选A【点睛】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.7、D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8、D【解析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，和（）解得和，和时，；时，.故选：D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.9、C【解析】

由题意结合正态分布的对称性求解ξ在(0,+∞)内取值概率即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线对称，则,,，即ξ在(0,+∞)内取值概率为0.8.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.10、D【解析】

由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。【详解】由题意可得，，选D.【点睛】本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。11、D【解析】

设，，联立直线方程与抛物线方程可得，设，，则，，设AC，BD所在的直线方程可得，，由此可得的值．【详解】设过点F作斜率为的直线方程为：，

联立抛物线C：可得：，

设A，B两点的坐标为：，，

则，

设，，

则，同理，

设AC所在的直线方程为，

联立，得，

，同理，，

则．

故选：D．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12、D【解析】

由导数的几何意义，结合题设，找到倍数关系，即得解.【详解】由导数的几何意义，可知：故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

画出奇函数的图像，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和【详解】由，得，则的零点就是的图象与直线的交点的横坐标.由已知，可画出的图象与直线（如下图），根据的对称性可知：，同理可得，则从而，即与的交点的横坐标.由，解得，即的所有零点之和为.【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数的交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题14、【解析】

根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知的对称轴和周期，并由时的解析式，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得时的解析式，即可求得的临界值，进而确定的取值范围.【详解】函数至少有个零点，由可得函数为偶函数，对任意满足，则函数图像关于对称，函数为周期的周期函数，当时，，则的函数图像如下图所示：由图像可知，根据函数关于轴对称可知，若在时至少有两个零点，则满足至少有个零点，即在时至少有两个交点；当与相切时，满足有两个交点；则，设切点为，则，解方程可得，由导数的几何意义可知，所以满足条件的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.15、57【解析】分析：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲求得y的值，再根据△FAB为正三角形，可得tan30°=2a1-a详解：已知抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲线x2a2-再根据△FAB为正三角形，可得tan30°=33=2a1-故c2=34+4，∴c故答案为：573点睛：（1）本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的有直接法和方程法，本题利用的是直接法，直接先求a和c的值,再求离心率.16、.【解析】分析：先计算出，再利用向量平行的坐标表示求的值.详解：由题得，因为，所以（-1）×（-3）-4=0,所以=.故答案为.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)设=,=，则||.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)或【解析】

（1）由末三项二项式系数和构造方程，解方程求得结果；（2）列出展开式通项，设第项为系数最大的项，得到不等式组，从而求得的取值，代入得到结果.【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为：，，则：，即：，解得：（舍）或（2）由（1）知：展开式通项为：设第项即为系数最大的项，解得：系数最大的项为：或【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及到二项式系数的问题、求解二项展开式中系数最大的项的问题，属于常规题型.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）转化条件得，根据恒成立问题的解决方法即可得解；（Ⅱ）转化条件得对恒成立，根据的取值范围分类讨论去绝对值即可得解.【详解】（Ⅰ）当时，，当且仅当时等号成立，.（Ⅱ）时，恒成立，对恒成立.当时，，解得：，当时，，解得：，综上：.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决方法和分类讨论思想，属于中档题.19、(1)见解析(2)见解析【解析】分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明，则题中的结论成立.（2）假设与同时为负数，而，与假设矛盾，则题中的结论成立.详解：（1）因为，，要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，显然上式恒成立，故.（2）设与同时为负数，则（1），所以，与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以与不能同时为负数.点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力.20、(1)，，.(2)是首项为，公比为的等比数列；理由见解析.【解析】分析：（1）先根据递推关系式求，，；，再求，，；（2）根据等比数列定义证明为等比数列.详解：(1）由条件可得：，将代入，得，而，∴，将代入，得，∴，∴，，.（2）是首项为2，公比为3的等比数列.由条件可得：，即，又，∴是首项为2，公比为3的等比数列.点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法21、（1）见解析（2）【解析】

（1）先证明，，再证明平面；（2）连接，求出AC,CB的长，再求四棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为，，所以，即，同理可得，因为，所以平面.（2）解