地基中的附加应力计算

地基中的附加应力计算第1页，共34页，2023年，2月20日，星期一一地表集中力下地基中附加应力虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。（一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）图4-3集中荷载作用下地基中应力第2页，共34页，2023年，2月20日，星期一法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。Valentin

JosephBoussinesq

(1842-1929)第3页，共34页，2023年，2月20日，星期一

竖向集中力作用下地基附加应力弹性力学解答Boussinesq解第4页，共34页，2023年，2月20日，星期一竖向集中力作用下地基附加应力第5页，共34页，2023年，2月20日，星期一竖向集中力作用下地基附加应力竖向集中力作用竖向附加应力系数第6页，共34页，2023年，2月20日，星期一竖向集中力作用下地基附加应力在竖向集中力作用下，地基附加应力越深越小，越远越小，Z=0为奇异点，无法计算附加应力第7页，共34页，2023年，2月20日，星期一应力叠加原理（等代荷载法）由于集中力作用下地基中的附加应力σz是荷载的一次函数，因此当若干竖向集中力Fi作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。第8页，共34页，2023年，2月20日，星期一应力叠加原理应用将基底面基底净压力的分布划分为若干小块面积并将其上的分布荷载合成为小的集中力，即可应用公式（2-24）计算。这种方法适用于基底面不规则的情况，每块面积划分得越小，计算精度就越高。第9页，共34页，2023年，2月20日，星期一根据等代荷载法原理，将基底面积划分成无穷多块，每块面积趋向于无穷小，将σz用积分表示二矩形基础底面铅直荷载下的附加应力

1.竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力第10页，共34页，2023年，2月20日，星期一竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力将代入并沿整个基底面积积分，即可得到竖直均布压力作用矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力第11页，共34页，2023年，2月20日，星期一竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩形的短边，z是从基底起算的深度，pn是基底净压力。Ks可直接查表第12页，共34页，2023年，2月20日，星期一表4-4矩形均布荷载角点下竖向附加应力系数Kz1

第13页，共34页，2023年，2月20日，星期一

角点法计算任意位置附加应力角点法：即通过计算点o将原矩形荷载分成若干个新矩形荷载，从而使O成为划分出的各个新矩形的公共角点，然后再根据迭加原理计算。共有以下四种情况：

(a)O点在荷载面的边缘：其中KzI

、KzII

为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。

(b)O点在荷载面内：

当O位于荷载中心，则有：其中KzI

、KzII、KzIII

、KzIV

为相应于面积I、II、III、IV的角点附加应力系数。

Ⅱ

ⅠOⅠⅡⅣⅢO第14页，共34页，2023年，2月20日，星期一

(c)O点在荷载面的边缘外侧：荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ofbg）－面积Ⅱ（ofah）

+面积Ⅲ（oecg）－面积Ⅳ（oedh）则：(d)O点在荷载面的角点外侧荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ohce）－面积Ⅱ（ohbf）－面积Ⅲ（ogde）+面积Ⅳ（ogaf）则：必须注意:在角点法中，查附加应力系数时所用的l和b均指划分后的新矩形（如ofbg、ohce等）的长和宽。hbgcfoeadahbcofegd

角点法计算任意位置附加应力第15页，共34页，2023年，2月20日，星期一【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa

角点法计算任意位置附加应力第16页，共34页，2023年，2月20日，星期一（2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／1=2z／b=1／1=1查表2－2得Ks=0.1999，所以σzo=4Kspn=4×0.1999×131＝104.75（kPa）（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。第17页，共34页，2023年，2月20日，星期一A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／2=1z／b=1／2=0.5查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以σzA=2Kspn=2×0.2315×131=60.65（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2.5／2=1.25z／b=1／2=0.5查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350第18页，共34页，2023年，2月20日，星期一对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图

l／b=2／0.5=4z／b=1／0.5=2查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得：σzH=（2×0.2350－2×0.1350）×131=26.2（kPa）第19页，共34页，2023年，2月20日，星期一矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力第20页，共34页，2023年，2月20日，星期一矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力第21页，共34页，2023年，2月20日，星期一三矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力第22页，共34页，2023年，2月20日，星期一四圆形面积均布荷载作用中心的附加应力第23页，共34页，2023年，2月20日，星期一线荷载和条形荷载：荷载长度l→∞且沿l方向（即y方向）不变的荷载。属平面问题：例如：墙基、挡土墙基础、路基、坝基等对地基施加的荷载。计算表明：，即当l

10b，矩形荷载就可视为条形荷载。五竖直线荷载作用下的地基附加应力第24页，共34页，2023年，2月20日，星期一线均布荷载作用下地基中附加应力计算

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弗拉曼（Flamant）解线均布荷载（kN/m）P＝pdy可得P在任一点M引起的应力：则(4.3.10)同理利用布氏解有：

可见解与y无关，即在与y轴垂直的任意平面上的应力状态均相同。第25页，共34页，2023年，2月20日，星期一六条形基底均布荷载作用下地基附加应力第26页，共34页，2023年，2月20日，星期一条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力第27页，共34页，2023年，2月20日，星期一条形基底受水平荷载作用时附加应力第28页，共34页，2023年，2月20日，星期一第二章土体应力计算基底作用有倾斜偏心荷载时平面问题：注意：（1）原点（2）X轴正向第29页，共34页，2023年，2月20日，星期一第二章土体应力计算【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自重及其上部其他竖向荷载Fv=2400kN/m，作用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力等作用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3，若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv，Fh作用基础中心点及前缘A点下深度z=7.2m处M点，N点的附加应力。第30页，共34页，2023年，2月20日，星期一第二章土体应力计算【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh移至基底面，根据静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利用合力矩定理，即

Fv·x=Fv×3.2－Fh×2.4则x=（3.2Fv－2.4Fh）／Fv=3.2－2.4×400／2400＝2.8（m）于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的左侧0.2m。（2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－13），得竖向基底压力第31页，共34页，2023年，2月20日，星期一第二章土体应力计算应用式（2－17），得ph=Fh/b=400/6=66.7kPa（3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下

pn=pmin－γod=320－19×1.5＝291.5kPapt=pmax－pmin=480－320＝160kPa（4）计算各种压力形式pn，pt，ph引起的地基M点和N点的附加应力，为了清晰起见，可采用列表的方法进行。第32页，共34页，2023年，2月20日，星期一第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力和坝基附加应力通常，