固体物理教学文档

固体物理学的研究方法理论上：是一个非常复杂的多体问题，不可能直接精确求解，需要引入假说、模型和近似。研究周期性结构下波的运动*内容重点：周期结构（晶体）中的各种波理想的周期性－－弹性波在周期势场中的传播－－晶格动力学X射线在周期势场中的传播－－X射线衍射学基于统计物理和量子论来研究固体的热性质单电子近似－－固体能带理论电子在周期势场中的传播－－能带论基于量子力学与统计物理来研究固体导电性固体理论的范式：

固体物理研究周期结构中波的传播问题，无论是弹性波、电磁波，de-Broglie波相关理论的共同点是：充分利用了晶体结构中的平移对称性，使问题得到简化，因此作为实空间Fourier变换而得到的波矢空间的重要性就被突出出来，波矢空间的基本单位是布里渊区，因此了解布里渊区内部和边界上的能量波矢关系就成为解决具体问题的关键。有人（Hall）比喻：

倒易空间和布里渊区是固体物理的Maxwell方程描述，称为固体物理学基矢，它们分别表示3个不共面方向上的最短周期，它们的选取具有任意性。第一章晶体的结构要点

1、晶体与非晶体固体按其分子（原子）排列的有序程度，可分为晶体和非晶体，晶体具有长程有序，非晶体仅具有短程有序。长、短程序的区分是以微米数量级为界线的。

2、晶体结构的周期性实际晶体

把全同的基元放在空间点阵的格点上即构成实际晶体。晶体平移矢量

格点的位置可由晶格平移矢量晶体:基元+布喇菲格子周期性或微观平移对称性.（周期性的破坏缺陷、热运动.）原子实+电子抽象出格点. 概念:格矢,基矢,原胞,晶胞,威格纳-赛兹原胞,简单格子,复式格子）第一章要点基元：组成晶体的最小基本单元。它可以由几个原子（离子）组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复原胞：以三个基矢为三条边所组成的平行六面体称为原胞。原胞的边长代表了晶体在该方向上的重复周期的大小。与基元相比，原胞不仅是晶体的最小单元，而且也包含了晶体的周期性。Page5第一章要点布喇菲格子（简单格子）每个格点周围情况完全相同的格子称为布喇菲格子，基元代表点（格点）形成的格子都是布喇菲格子。基元只含一个原子，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子复式格子当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格由两个以上布喇菲格子套合而成的格子称为复式格子，若以原子为组成单位，多原子基元组成的晶体为复式格子结构。空间点阵(晶格)定义：晶体的内部结构概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这些点子的总体称为点阵(晶格)。

Page6例：以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。Page7从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示：图（a）图（b）Page83、晶体结构的对称性（周期性对点对称性的限制）对称操作（平移,转动）

能使晶体自身重合的操作称为对称操作。晶体只有8种独立的对称操作，称为基本对称操作。n度旋转对称轴n度旋转反演轴n度螺旋轴滑移反映面第一章要点

如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性共有32种。它们是由8种基本对称操作组合而成的。每种组合称为一个点群。Page9三个具有不同“点对称性”的三维布喇菲格子原胞:

(1)简立方(2)体心立方(3)面心立方几种典型的晶体结构（复式格子）(1)氯化钠结构(2)氯化铯结构(3)金刚石结构(4)闪锌矿结构(5)碳60晶体结构金刚石结构可看作两个面心立方子晶格沿立方体对角线平移1/4对角线长度相互穿套而成。每个原子有四个最近邻，这四个最近邻原子处在正四面体的顶角上，这是金刚石结构的一个突出特点。第一章要点结构类别基元中原（离）子数点阵子格子数SC结构简单1SC点阵1个格子BCC结构简单1BCC点阵1个格子FCC结构简单1FCC点阵1个格子金刚石结构复式2FCC点阵2个格子NaCl结构复式2FCC点阵2个格子CsCl结构复式2SC点阵2个格子ZnS结构复式2FCC点阵2个格子HCP结构复式2简单六角点阵2个格子ABO3结构复式5SC点阵5个格子Page11晶系（点对称性对周期性的限制）满足32种宏观对称类型的晶胞，其基矢的组合方式只有7种，每一个组合称为一个晶系。晶体的对称性描述考虑到晶体微结构的平移对称性（周期性），晶体的对称性类型可由230种空间群描述。14种布喇菲晶胞按照格点在晶系中的分布情况，以上7种晶系又可分成14种布喇菲晶胞。4、配位数晶体原子最近邻的原子数目称为配位数，由于受晶格对称性的限制，晶体的配位数只可能是：第一章要点配位数用来描述晶体中粒子排列的紧密程度。晶体结构中最大的配位数称为密堆积。

Page12晶面指数、密勒指数晶体中的不同晶面系可用晶面指数来描述，它是晶面系中任一晶面在以原胞基矢为单位长度第一章要点的坐标轴上截距的互质的倒数比。若选晶胞基矢作为坐标轴，晶面指数称为密勒指数，用表示。5、周期性结构的表征:（概念:晶列,晶向,晶面,晶面族,晶面指数,密勒指数,晶面间距）Page13晶面指数与晶面法线的方向余弦之间的关系为：第一章要点6、倒格子

定义：若表示正格子，则倒格子定义为：由定义晶格原胞体积倒格矢：Page14正、倒格子的关系

（1）第一章要点（3）倒格矢的长度正比于晶面族面间距的倒数（2）倒格矢正格中晶面族正交。（4）为整数。对于立方晶系：Page157、晶体的X射线衍射

（1）劳厄方程：入射波矢k和散射波矢k0满足时，出现晶体对该光的衍射加强－－劳厄斑。第一章要点由劳厄方程可推导出而布拉格定律：建立劳厄衍射方程的基本出发点是：考虑为每一结构基元（相应于点阵点）的衍射叠加。

建立布拉格衍射方程的基本出发点是：考虑为每组晶面族的反射。反射球:可同时表达产生衍射的条件和衍射线的方向Page16（2）原子散射因子：描述原子对X射线的散射能力，为电子云密度。

原子散射因子定义:

对某一波长,原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比,称为原子散射因子一个原子内的各个电子散射的电磁波的相互干涉，其结果常用原子散射因子表示第一章要点

影响衍射强度的因素：劳埃方程、布拉格反射定律确定产生衍射极大的晶面的方向原子散射因子、几何结构因子影响衍射强度。Page17（3）几何结构因子：描述原胞中原子分布和原子种类对散射强度的影响。F(s)=0时，出现消光现象，即满足劳厄方程的劳厄斑，此时并不出现。几何结构因子的定义：

原胞内所有t个原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。第一章要点Page18第一章要点劳厄衍射:连续,反射球,优点:用于确定衍射方向或晶体取向.粉未衍射:单色,布啦格定律,优点:用于确定晶格常数,晶面间距等.Page191、原子的电负性不同原子对价电子的吸引力强弱:用电离能、亲和能及电负性三个物理量来描述。电负性＝常数（电离能＋亲和能）电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量电负性大的原子，易于获得电子元素的非金属性电负性小的原子，易于失去电子元素的金属性第二章晶体的结合要点Page20晶体结构的物理原因:结合,结合能,能量最低原理.

1)晶体取哪种结构取决于组成这种结构晶体的结合能的大小及热运动状态,它与组成物质的原子的电子组态密切相关,也与晶体的能带结构及其填充情况相关. 【?是结构决定电子运动状态还是电子的运动状态决定晶体的结构?答:相互依赖.】2)（能量最低的）电子的运动状态:键的物理本质.它决定结构及结构的强弱程度.

（概念:金属键,共价键,离子键,分子键,氢键.）如:马德隆常数由晶格结构决定.2、晶体结合的基本类型Page21晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键

第二章要点Page22共价键的饱和性共价键只能由未配对的电子形成，同一原子中兩个自旋相反的价电子也不能与其它原子的电子配对共价键的方向性方向性即指只在某一特定方向上形成共价键。由于非満壳层电子分布的非对称性，因而总是在电子云密度最大的方向成键。这就是共价键具有方向性的物理本质。电子云交迭得越厉害，共价键越稳固。第二章要点（2）相互作用能两原子间的相互作用能第二章要点3、结合能（1）定义：若EN表示晶体在绝对零度时的总能量，E0表示组成晶体的N个自由原子的能量总和，则结合能Eb定义为可以将分散的原子的总能量作为能量的零点。则系统的内能（系统的总能量）数值上与结合能相等。晶体的内能可以写为吸引势能与排斥势能之和。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在0K时，原子还存在零点振动能，但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多，所以，在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。（4）离子晶体的结合能（3）结合能的计算结合能可认为是平衡时N个原子对相互作用能之和晶体结构所决定的系数。b,n为待定参数。（5）分子晶体的结合能参数σ:具有长度的量纲，反映了排斥力的作用范围；参数ε:是两原子处于平衡时的结合能，则反映了吸引作用的强弱。通常惰性气体晶体ε=0.01eV，所以惰性气体晶体只有很弱的结合。4、体积弹性模量KPage26第二章要点Page271、晶格振动格波：晶体中原子集体振动形式。其特点是每个原子都有相同的振动频率、振幅，但不同原子间的振动位相有一个与距离有关的差值，即振动以波的形式在晶体中传播。简谐格波，振动模式：在简谐近似和最近邻近似下，一维单原子中第n个格点的运动方程是：称为简谐格波，它是晶体中最基本、最简单的集体振动形式。每一组由确定的简谐格波称为一种振动模式。第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page28格波频率与波矢之间所满足的关系称为色散关系。声学波、光学波：描述原子质心运动的格波称为声学波；描述原胞中各原子相对运动的格波称为光学波。格波模式数：在周期性边界条件下，引入布里渊区概念，这样若晶体由N个原胞组成，每个原胞有n个原子，则晶体共有3nN个振动模式，这3nN个振动模式，又可分成3n支，每一支有N个不同的振动模式，其满足同一色散关系。这3n支中有3支是声学波，（3n-3）支是光学波。模式密度：单位频率间隔中的格波振动模式数目为：色散关系：第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page29第j支格波的频谱、等频面。第三章晶格振动与晶体热学性质要点个原子和第个原子的运动情况一样，其中＝1，2，3…。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢的取值将趋于连续。Page30第三章晶格振动与晶体热学性质要点2、波恩和卡门周期性边界条件由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为L的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j和第tN+j个原子的运动情况一样。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢的取值将趋于连续。个原子和第个原子的运动情况一样，其中＝1，2，3…。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢的取值将趋于连续。Page31称最小能量单位为声子。每一种振动模式与一种声子相对应。晶体中共有3nN种声子。3、声子，声子与粒子的碰撞声子：格波能量是量子化的，频率为的格波其能量只能为第三章晶格振动与晶体热学性质要点声子：用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式,这就是声子，晶体所有原子参与的集体运动;声子服从玻色分布;

引入简正坐标以后：晶格振动的总能量可以表示为N个独立简谐振子的能量之和。这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑:实际坐标空间的N个相互作用的原子体系的微振动和简正坐标所构成的态空间中N个独立谐振子N个原子的振动可等价于N谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。等效Page33对晶体振动描述的两种方法：确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化关系。这种情况显然是非常麻烦的，因为晶体中各个原子运动都是相互关联的，因而我们需要解决的是一个相互间存在有相互作用的多体问题。

第二种方法则是从格波（集体振荡）的角度出发，去讨论晶格振动中各个不同波矢、不同模式格波的振幅有多大。如果不同波矢、不同模式的格波的振幅确定了，那么晶体中的各个原子的振动情况也就确定了。第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page34声子数目：频率为的声子数目在温度为T时为（利用波耳兹曼统计理论，声子是玻色子）光子、中子与声子的散射：

晶格对粒子的作用可用声子与粒子的散射描述。黄昆方程：

离子晶体中离子的相对位移W和极化强度P满足：其中是与介质固有性质有关的常数。第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page354、晶格振动、比热容：晶体总振动能：N个原子组成的晶体，总的热振动能：晶格热容量：求解模式密度是关键。LST关系：纵光学波与横光学波频率之间满足：第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page36爱因斯坦模型基本假设

固体中的原子都以同一频率ω振动，振动能量是量子化的。每一个原子都有三个振动自由度，每个振动自由度上有一个振子，固体中的N个原子可以看成3N个频率为ω的谐振子。德拜模型基本假设在三维晶体振动的能谱中忽略光学支对比热的贡献，将晶格视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质。德拜引进了一个截止频率即德拜频率，以满足晶格振动的总自由度数（波的总数）限制条件即，不考虑频率超过德拜频率的高能量声子对固体比热的贡献。三个声学支的色散关系简化为即一支纵波和二支偏掁方向不同的横波的波速相等。第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page37热阻是晶格非谐振动的另一效应。可用声子间的碰撞来描述非简谐项的影响。5、非谐效应晶格热膨胀热传导N过程、U过程：声子碰撞时，若满足则称为N过程，若满足

由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。第三章晶格振动与晶体热学性质要点Page38则称为U过程，它相对于声子的大角散射，是产生热阻的原因。热导系数：

高温时低温时第三章晶格振动与晶体热学性质要点6、应力、应变胡克定律Page39第四章要点1、缺陷

对理想周期性结构的任何偏离都称之为缺陷。缺陷的存在对晶体的性质有重大影响，以至可能改变晶体的性质。2、点缺陷

点缺陷是在一个或几个原子的微观区域内对理想晶格的偏离。它包括由原子热振动涨落所引起的热缺陷和晶体中的杂质原子。

肖特基缺陷（空位）平衡数目：

填隙原子缺陷的数目：Page40

弗仑克尔缺陷（填隙－空位对）数目：3、热缺陷的运动空位跳动几率填隙原子跳动几率正常格点跳到间隙位置的几率4、扩散的微观机制空位机制填隙原子机制第四章要点Page415、线缺陷位错线：晶体中偏离理想周期性结构的线称为位错线。刃位错：滑移方向与位错线互相垂直的位错称为刃位错。它对晶体的范性和强度有较大的影响。螺位错：滑移方向与位错线平行的位错称为螺位错。它可明显提高晶体的生长速度，是凝固的生长点。位错运动机理：蠕动模型。6、面缺陷晶界和堆积层错是两类主要的面缺陷。第四章要点Page42第五章要点

1、能带理论的基本近似和结论布洛赫电子论作了3条基本假设①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。至此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场V（r）的单电子定态问题。Page43

能带产生的原因定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，使能级分裂形成能带。定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。

第五章要点Page44能带理论的普遍结论：（1）布洛赫定理晶体电子的波函数具有当平移晶格矢量Rn时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子（2）能带晶体电子的能量只能取某些与k有关的允许值E（k），这些能带允许值形成一个个能量准连续区－－－能带En(k)。第五章要点Page45不同的的量子数n代表不同的能带，不同能带之间存在着能隙。（3）布洛赫波和能带的性质即能量在k空间具有对称性，能量和波函数都是k的周期函数，在倒格空间具有倒格子的周期性，即相差一个倒格矢的两个状态是等价的状态。（4）波矢k的数目在周期性边界条件下，引入布里渊区的概念，k的取值个数与构成晶体的原胞数目N相同。第五章要点Page462、能带理论的近似方法近自由电子近似：以自由电子波函数作为零级近似，把晶格周期势看作微扰。此模型适用于处理电子共有化程度较高的金属。近自由电子近似能谱及能隙：紧束缚近似：以自由原子中电子的波函数作为零级近似，把其它原子的影响看做微扰。此模型适合处理内层电子。紧束缚近似能谱：对S带周期势的付里叶展开系数的两倍。第五章要点Page47旺尼尔函数：晶体电子的布洛赫函数可展成“旺尼尔”函数的线性叠加。紧束缚近似下（原子轨道波函数）：旺尼尔函数性质：局域性和正交性。第五章要点Page483、晶体电子的准经典运动第五章要点准经典运动的基本公式有：晶体电子的速度为晶体电子受到的外力为晶体电子的倒有效质量张量为在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：

晶体电子的准动量为Page49有效质量：第五章要点

由于周期场的作用，当把加速度在形式上写成仅由外力引起的形式时，外力与加速度之间的关系是由电子的有效质量所联系的，它计入了周期场的影响。引入有效质量后，电场作用下的电子就像一个自由电子那样运动，给我们处理问题带来极大方便。Page504、导体、半导体、绝缘体第五章要点价带填充程度决定导电性－－导体、绝缘体与半导体价带是否被电子填満取决于原胞所含的价电子数目，以及能带是否交叠。Page51第六章自由电子论和电子的输运性质要点1、金属电子的统计分布：自由电子数：费密分布费密能：电子所占据的最高能态。能态密度。知道了金属的能态密度，就可求出电子在导带中的分布2、自由电子模型的费密能（1）基态（T＝0K）Page52费密能（2）激发态基态费密波矢3、电子的热容量费密面：k空间能量为费密能的等能面。第六章要点布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。Page53德·哈斯－范·阿尔芬效应:

在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而呈现出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。

第六章要点

由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构密切相关，所以德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。Page54性质模式密度能态密度定义单位频率区间的格波振动模式数目单位能量间距内的两等能面间所包含的量子态数目分布函数声子：玻色分布自由电子：费密分布；能量晶体总的热振动能自由电子总数和平均动能基态费密能、费密半径第六章要点Page55性质索末菲自由电子论布洛赫单电子能带论单电子波函数波矢k的电子的波函数带指标n，波矢k的布洛赫波量子数及其取值范围量子数为k取值于整个k空间，周期边条件的许可值量子数n－能带指标K－波矢，取分立正整数K独立的取值，限在倒格子空间中第一布里渊区内。取周期边条件的许可值单电子能量E(k)没有简单的形式，但有普遍的规律，在倒格子空间中的周期性和偶函数（反演对称性）.En(k)是k的多值函数，形成能带。电子平均速度准经典近似电子质量包含了晶格内部周期场的作用，是k的函数，一般情况是一个张量。第六章要点Page56第六章要点晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性外层电子原子实备注波自由电子（索未菲模型）布洛赫电子（能带论）格波为方便对波的描述,引入倒格子空间,用k表征波的状态.平移对称性无,平底势阱中的平面波

功函数各向同性布洛赫波（x与k的周期性）

能带,禁带

空穴.填充情况:价带,导带.各向异性,(能带重迭)简单格子:声学支,max或min,复式格子:光学支,max和min

格波数.（max～1014,红外）各向异性能带论是一种理论方法,对系统作充分的近似后，即把多体问题简化为单电子问题.

可解方程布里渊区边界无强烈布啦格反射强烈布啦格反射倒格子空间引入所带来的方便之一.Page57第六章要点晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性周期性边界条件状态分立

态密度状态分立

态密度状态分立

态密度保证了有限晶体边界的平移对称性准粒子自由粒子,能量:E=p2/2m

动量:费米子,费米分布;Pauli原理费米面,费米能,费米能级,费米速度

声子:集体运动的元激发.能量:;动量:.群速:玻色子:玻色分布.某一振动模式的振动能量:考虑成准粒子后,波的运动状态及相互作用问题可方便地用准经典运动的图象加以解决:相互作用可看成粒子间的相互碰撞,遵从动量守恒,能量守恒.能量:晶体动量:准经典速度:有效质量:Page58第六章要点晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性周期性边界条件状态分立

态密度状态分立

态密度状态分立

态密度保证了有限晶体边界的平移对称性准粒子自由粒子,能量:E=p2/2m

动量:费米子,费米分布;Pauli原理费米面,费米能,费米能级,费米速度

声子:集体运动的元激发.能量:;动量:.群速:玻色子:玻色分布.某一振动模式的振动能量:考虑成准粒子后,波的运动状态及相互作用问题可方便地用准经典运动的图象加以解决:相互作用可看成粒子间的相互碰撞,遵从动量守恒,能量守恒.能量:晶体动量:准经典速度:有效质量:解决主要问题电子比热,接触电势,热电子发射.金属,半导体,绝缘体的能带论解释;有效质量的能带论解释;正电荷载流子的解释晶格比热;晶格热导;热膨胀,光散射,Page59例题：.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。Page60例题：.金属自由电子论在空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。例题：.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。Page61例题：已知某简立方晶体的晶格常数为a，其价电子能带可表示成：a)

如果已测得该晶体价带顶的电子有效质量，试求能带表达式