差分方程讲解老师

差分方程讲解老师第1页，共69页，2023年，2月20日，星期一一.数列的概念二.数列差分的概念三.差分表的性质§1数列的差分第2页，共69页，2023年，2月20日，星期一一.数列的概念一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集.这些数称为数列的项或元素.用an来表示数列的第n项,称之为数列的通项.§1数列的差分定义1.1一个数列是一个函数,其定义域为全体正整数(有时,为方便计,是全体非负整数集合),其值域包含在全体实数集中.第3页，共69页，2023年，2月20日，星期一数列的表示:1.列举法:§1数列的差分第4页，共69页，2023年，2月20日，星期一数列的表示:2.通项法:§1数列的差分第5页，共69页，2023年，2月20日，星期一数列的表示:§1数列的差分3.图象法:序列的项通过标出点(n,an)图示.直观,具有可视化的效果.4.描述法:第6页，共69页，2023年，2月20日，星期一数列的一些例子1.假如你开了一个10000元的银行帐户,银行每月付给2%的利息.假如你既不加进存款也不取钱,那么每个月后的存款余额就构成一个数列.§1数列的差分第7页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分2.兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄).假如养了初生的小兔一对,则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…第8页，共69页，2023年，2月20日，星期一二.数列差分的概念数列相邻项的差,称为数列的差分.§1数列的差分定义1.2对任何数列A

{a1,a2,},其差分算子(读作delta)定义如下:a1

a2

a1,a2

a3

a2,a3

a4

a3,,一般地,对任何n有an

an1

an,第9页，共69页，2023年，2月20日，星期一应用这个算子,从原来的数列A构成一个新的数列A,从数列A可得到数列2A{2an},这里2an(an)

an1

anan2

an1

an1

an

an2

2an1

an,称之为数列A的二阶差分,二阶差分2an的差分3an称为三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分,而称an为一阶差分.§1数列的差分第10页，共69页，2023年，2月20日，星期一差分的物理和几何意义:在物理方面,一阶差分表示物体运动的平均速度,二阶差分表示平均加速度.在几何方面,一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.§1数列的差分例.外出汽车旅行,每小时记录下里程表的读数.设A

{an}

{22322,22352,22401,22456,22479,22511},A

{an}

{30,49,55,23,32},第11页，共69页，2023年，2月20日，星期一例.假设我们有数列{an}

{3n5},并考虑由表给出的关于n

1,2,3,的数列.我们按函数值列表,并考虑相邻项的差.§1数列的差分3333333-21471013161912345678n第12页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分第13页，共69页，2023年，2月20日，星期一定理1.1若c和b为常数且对所有n

1,2,3,有ancnb,则:1.对所有n,数列{an}的差分为常数;2.当画an关于n的图形时,这些点都落在一条直线上.§1数列的差分定理1.2若an

c,其中c是一个与n无关的常数,则有一个an的线性函数(即存在常数b使

ancnb).第14页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分例.对二次多项式数列,当时造差分表.n12345633591523024682222第15页，共69页，2023年，2月20日，星期一定理1.3若数列{an}由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,2anc.§1数列的差分定理1.4若数列{an}具有性质:对一切n有2anc,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注:一般地,由k次多项式定义的数列的k1阶差分为零,反之,若数列{an}的k1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.第16页，共69页，2023年，2月20日，星期一例考虑数列{an}{1,3,6,10,15,21,},则有{an}{2,3,4,5,6,}以及{2an}{1,1,1,1,1,}.令anAn2BnC,§1数列的差分第17页，共69页，2023年，2月20日，星期一例求数列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,}前n项和Sn,即n个正整数平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,},{2Sn}{2n3}{5,7,9,11,}以及{3Sn}{2,2,2,2,}令SnAn3Bn2CnD.§1数列的差分第18页，共69页，2023年，2月20日，星期一由S11,S25,S314,S430得

A

B

CD1,8A

4B

2CD5(23A

22

B

2CD5),

27A

9B

3CD14(33A

32B

3CD14),64A

16B4CD30(43A

42B4CD30),§1数列的差分解关于A,B,C和D的方程组可得

A1/3,B1/2,C1/6,D0,则第19页，共69页，2023年，2月20日，星期一三.差分表的性质和应用§1数列的差分定义1.3数列A

{an}在第k项处是增的,若ak

ak1(或用算子记号,ak0).数列A在第k项处是减的,若ak

ak1(或ak

0).数列A在第k项处达到相对极大,若ak

ak1而ak

ak1(或用算子记号,ak1

0而ak0).数列A在第k项处达到相对极小,若ak

ak1而ak

ak1(或ak1

0而ak0).第20页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分数列A在第k项处上凹,若akak1(或用二阶差分的算子记号,2ak10).数列A在第k项处下凹,若akak1(或2ak10).注意:在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性.决定凹性的另一种看法是:当一阶差分增加时数列上凹,而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4数列A在第k项处有一个拐点,倘若2ak和2ak1有不同的正负号.第21页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分第22页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分例讨论数列

{n24n3}的性质构造an

n24n3的前7个数列值的差分表,并用该表确定数列在何处增加、减少,达到相对极大或极小,上凹、下凹以及是否有拐点.n101221123032435258726159724第23页，共69页，2023年，2月20日，星期一§1数列的差分第24页，共69页，2023年，2月20日，星期一一.差分方程的基本概念二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程第25页，共69页，2023年，2月20日，星期一一.差分方程的基本概念§2一阶线性差分方程定义2.1

差分方程是一种方程,该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来计算.初始条件是该数列的第一项.出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.第26页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程定义2.2如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积,不包含数列变量的幂,也不包含数列变量的诸如指数,对数或三角函数在内的函数,那么我们称该差分方程是线性的.否则差分方程就是非线性的.注意这种限制只适用于包含数列变量的项,而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的第27页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程定义2.3线性差分方程称为齐次的,如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项,就得到一个齐次方程,称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的第28页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质.能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分,大多数差分方程是不能给出解析解的,此时,只能对其解的性质给出一定的讨论,讨论解的性质(解的变化趋势,是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法:一是数值计算方法,二是定性或定性定量结合的方法.第29页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式:数值,图形,公式定义2.4

数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.第30页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程例如,在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程an1

an0.07an来确定,其中an表示n个月后银行中的存款数.月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.00074.900021144.90080.143031225.04385.753041310.79691.755751402.55298.178661500.730105.0510716.5.781112.405081718.186120.273091838.459128.6920101967.151137.7010第31页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程定义2.5差分方程的一个解析解是一个函数,当把它代入差分方程时就得到一个恒等式,而且还满足任何给定的初始条件.差分方程an1

an0.07an若把函数ak

(0.07)kc,其中c为任意常数,代入差分方程就得到一个恒等式:第32页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程定义2.6差分方程的一个通解是一个函数,当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak

(0.07)kc称为差分方程an1

an0.07an的通解,因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.第33页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程数值解与解析解的比较:在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值.这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质.只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了.另一方面,因为没有第k项的一个一般的公式,每一项必须从前一项或几项算得.从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.第34页，共69页，2023年，2月20日，星期一§2一阶线性差分方程解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数.解析解的另一个优点是,当我们求得一个解析解时,通常也同时得到了通解.相比之下,用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.第35页，共69页，2023年，2月20日，星期一二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程定理2.1一阶线性差分方程an1

ranb的解为an

bnc,若r1.若r1.第36页，共69页，2023年，2月20日，星期一1市场经济中的蛛网模型2减肥计划——节食与运动3差分形式的阻滞增长模型4按年龄分组的种群增长差分方程模型第37页，共69页，2023年，2月20日，星期一1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡第38页，共69页，2023年，2月20日，星期一蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第39页，共69页，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型第40页，共69页，2023年，2月20日，星期一在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致第41页，共69页，2023年，2月20日，星期一~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释第42页，共69页，2023年，2月20日，星期一经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第43页，共69页，2023年，2月20日，星期一模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件第44页，共69页，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广第45页，共69页，2023年，2月20日，星期一2减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第46页，共69页，2023年，2月20日，星期一模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第47页，共69页，2023年，2月20日，星期一某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第48页，共69页，2023年，2月20日，星期一确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变第49页，共69页，2023年，2月20日，星期一第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第50页，共69页，2023年，2月20日，星期一第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第51页，共69页，2023年，2月20日，星期一第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。第52页，共69页，2023年，2月20日，星期一运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型第53页，共69页，2023年，2月20日，星期一3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动运动(内容同前)第54页，共69页，2023年，2月20日，星期一3差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,

ykN？y*=N是平衡点第55页，共69页，2023年，2月20日，星期一离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点第56页，共69页，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第57页，共69页，2023年，2月20日，星期一01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为x=0不稳定第58页，共69页，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡点及其稳定性第59页，共69页，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第60页，共69页，2023年，2月20日，星期一倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性第61页，共69页，2023年，2月20日，星期一倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第62页，共69页，2023年，2月20日，