2023届湖北省名校联盟高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在处的切线方程是()A． B． C． D．2．已知，是第四象限角，则（）A． B． C． D．73．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．44．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（）A．72 B．108 C．144 D．1965．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（）A． B． C． D．6．设，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．7．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}8．已知，，，若，则（）A．-5 B．5 C．1 D．-19．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}10．假设如图所示的三角形数表的第行的第二个数为，则（）A．2046 B．2416 C．2347 D．248611．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（）A．15 B．14 C．13 D．1212．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，，，共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和个白球，共有种取法，即有等式成立，试根据上述思想，化简下列式子：________，14．如图，在平面四边形中，，，，.若点为上的动点，则的最小值为______.15．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．16．如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转.且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(1)若曲线在处的切线过点,求的值;(2)是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理山.18．（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数在处取得极小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．20．（12分）在直角坐标系中，曲线：（为参数），直线：（为参数）.（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.21．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，．22．（10分）已知函数，其中.（1）求的单调递增区间；（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数，其中，求证：存在极小值且该极小值小于.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．2、A【解析】

通过和差公式变形，然后可直接得到答案.【详解】根据题意，是第四象限角，故，而，故答案为A.【点睛】本题主要考查和差公式的运用，难度不大.3、B【解析】

求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意为，所以．故选B.【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.4、C【解析】

分步完成，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．【详解】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．故选：C.【点睛】本题考查分步计数原理．解题关键是确定完成这件事的方法．5、B【解析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案．【详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人故选B.【点睛】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．6、A【解析】

先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.【详解】由于，而，故，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.7、C【解析】

通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得CUB=x|x<3，故【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小.8、A【解析】

通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.9、A【解析】试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10、B【解析】

由三角形数表特点可得，利用累加法可求得，进而得到结果.【详解】由三角形数表可知：，，，…，，，整理得：，则.故选：.【点睛】本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式.11、A【解析】分析：直接利用组合数求解即可．详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为故选A点睛：本题考查组合的应用，属基础题..12、B【解析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

在式子中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，从装有球中取出个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【详解】在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故从装有球中取出个球的不同取法数.故答案为：【点睛】本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．14、【解析】

建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，，所以又因为，所以当时，取得最小值为．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．15、【解析】

求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件，根据几何概型的概率公式，即可得到结论【详解】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：.这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：，对应的区域如图，由圆面积的为，直线和区域围成的三角形面积是，则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率．故答案为．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.16、【解析】

在四面体中找出与垂直的面，在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.【详解】和都是等边三角形，取中点，易证，，即平面，所以.设在平面内的投影为，则在四面体绕着旋转时，恒有.因为平面，所以在平面内的投影为.因此，四面体在平面内的投影四边形的面积要使射影面积最小，即需最短；在中，，，且边上的高为，利用等面积法求得，边上的高，且，所以旋转时，射影的长的最小值是.所以【点睛】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）存在，使得不等式成立，详见解析【解析】

（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程，由切线过点可求得参数，从而得切线方程；（2），要使恒成立，则是的极小值点，先由此结论求出参数，然后验证是极小值，也是最小值点．【详解】（1）∴曲线在处的切线方程为又切线过点∴∴或（2）的定义域为，要使恒成立，则是的极小值点.∵∴，∵，∴此时，，当时，，当时，，∴在处取得极小值1，∴当时，，当时，，即∴当时，恒成立，∴【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题，通常转化为求函数极值．本题通过不等式恒成立及，因此问题转化为就是极小值，从而先求出参数的值，然后再证明恰是极小值即可．18、（1）；（2）【解析】

（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解【详解】（1）当时，，当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上可知，原不等式的解集为.（2）.存在使得成立，等价于.又因为，所以，即.解得，结合，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题19、（1）（2）最小值为1，最大值为2．【解析】

（1）利用导数，结合在处取得极小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根据在区间上的单调性，结合函数的极值以及区间端点的函数值，求得在区间上的最值.【详解】（1），由，得或．当时，，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意．所以．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，因为，所以的最小值为1，最大值为2．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.20、（1）直线与曲线相离（2）【解析】

（1）先分别求出曲线C和直线l的普通方程，再联立求，判断位置关系；（2）由点到直线的距离公式可得点P到直线l的距离最大值。【详解】解：（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为.由，得，因为，所以直线与曲线相离.（2）设点，则到直线：的距离（其中），所以到直线的距离的最大值为.【点睛】本题考查参数化为普通方程，以及用点到直线的距离公式求曲线上动点到直线的最大值。21、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩