2023届广东省广州市增城一中高二数学第二学期期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则等于()A． B． C． D．2．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（）A．105 B．210 C．240 D．6303．如图，是正四面体的面上一点，点到平面距离与到点的距离相等，则动点的轨迹是()A．直线 B．抛物线C．离心率为的椭圆 D．离心率为3的双曲线4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（）A． B． C． D．5．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（）A． B． C． D．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B．C． D．7．下列函数中，在定义域内单调的是（）A． B．C． D．8．设，则使得的的取值范围是（）A． B． C． D．9．下列说法正确的个数有（）①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“，”的否定是“，”；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．若的展开式中含有项的系数为8，则（）A．2 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长均为的正三棱柱中，________.14．如图是一个算法流程图，若输入的值为2，则输出的值为_______..15．计算的结果为______.16．为定义在上的奇函数，且，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成的角的值；（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）18．（12分）如图，在矩形中，为CD的中点，将沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.19．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.20．（12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为SKIPIF1<0．求:（1）他们能研制出疫苗的概率；（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率．21．（12分）在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若，，二面角的平面角的余弦值为，求的正弦值．22．（10分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

令，即可求出，由即可求出【详解】令，得，所以，故选A。【点睛】本题主要考查赋值法的应用。2、B【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B．考点：排列、组合的应用．3、C【解析】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V﹣BC﹣A的平面角令其为θ则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.4、D【解析】

先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.5、A【解析】

计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可.【详解】由已知易得：，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率故选：A【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6、D【解析】

由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+1×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+1．故选：D．【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．7、A【解析】

指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【详解】A.，指数函数是单调递减函数,正确\B.反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误C.，在定义域内先减后增，错误D.，双勾函数，时先减后增，错误故答案选A【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.8、B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9、C【解析】分析：结合相关系数的性质，命题的否定的定义，回归方程的性质，推理证明即可分析结论.详解：①为相关系数，相关系数的结论是：越大表明模拟效果越好，反之越差，故①错误；②命题“，”的否定是“，”；正确；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。根据综合法和分析法定义可得④的描述正确；故正确的为：②③④故选C.点睛：考查命题真假的判断，对命题的逐一分析和对应的定义，性质的理解是解题关键，属于基础题.10、C【解析】分析：已知，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解.详解：a>0，b>0且a≠1，若logab>0，a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0,则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1,∴logab>0，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．故选C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．11、D【解析】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以所以，故选D.12、A【解析】展开式中含有项的系数,,故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.【详解】因为是正三棱柱，并且棱长都为1，是腰长为，底边长为1的等腰三角形，所以底边的高，.故答案为【点睛】本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.14、5【解析】

直接模拟程序即可得结论.【详解】输入的值为2，不满足，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解，属于简单题目.15、【解析】

利用指数运算、对数运算的性质即可得出．【详解】原式

．

故答案为：．【点睛】本题考查了指数运算性质，对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16、【解析】

根据已知将x=x+2代入等式可得，可知为周期T=4的周期函数，化简，再由奇函数的性质可得其值．【详解】由题得，则有，因为为定义在R上的奇函数，那么，则，故.【点睛】本题考查奇函数的性质和周期函数，属于常见考题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）；（3）【解析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；

（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线

PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.【详解】（1）证明：因为ABCD为菱形，

所以O为AC，BD的中点

因为PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

建立如图所示空间直角坐标系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以则，

设平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直线与平面所成的角的值为；（3）设平面的法向量,因为

有，所以，令

得，，

由图知，平面与平面所成二面角为钝角，.【点睛】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由题可得，即，由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，从而证明平面平面；（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面与平面所成二面角的正弦值．【详解】（1）证明：设，在矩形中，由为的中点，易求得：，所以．所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平面.（2）设，取中点，连接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，依题意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即不妨取，得，设平面与平面所成二面角为θ，，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空间向量解决问题的能力，属于中档题．19、（1），；（2）见解析【解析】

（1）由等差数列的通项公式及求和公式列的方程组求解则可求，进而得（2）利用分组求和即可证明【详解】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.综上，，.（2）由（1）得，所以，即.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题20、（1）（2）【解析】试题分析：记A、B、C分别表示他们研制成功这件事，则由题意可得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．（1）他们都研制出疫苗的概率P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C），运算求得结果．（2）他们能够研制出疫苗的概率等于，运算求得结果试题解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E，“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F，则P（D）=SKIPIF1<0，P（E）=SKIPIF1<0，P（F）=SKIPIF1<0（1）P（他们能研制出疫苗）=1-P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）P（至多有一个机构研制出疫苗）=SKIPIF1<0SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<