2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅱ

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标H）题号 .总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）TOC\o"1-5"\h\z.设z=i（2+i），则=（ ）A. B. C. D..已知向量=（2，3），=（3，2），则I-1=A.一 B.2 C. 一 D.50.已知集合A={%I%>-1},B={%I%<2},则AAB=（ ）A. B. C. D..在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙.曲线y=2sin%+cos%在点（n,-1）处的切线方程为（）TOC\o"1-5"\h\zA. B. C.D..若抛物线y2=2p%（p>0）的焦点是椭圆一+-1的一个焦点，则p=（ ）A.2 B.3 C.4 D.8.设F为双曲线C：一一（q>0,b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆%2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQI=IOF|，则C的离心率为A.一 B.一 C.2 D.-8.已知ae（0，一)，2sin2a=cos2a+1，则Usina=()A.-B.二 C.-D.二9.设f(%)为A.奇函数，且当%>0时，f（%）=e%-1，B. C.则当%<0时，f(%)=( )D.10.若%『-，％2=一是函数f（%）=sin3%（3>0）两个相邻的极值点，则3=（ ）TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.- C.1 D.-.设a，p为两个平面，则a||0的充要条件是（）A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面第1页，共15页

.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.-二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)，.若变量％，y满足约束条件 ， 则z=3%-y的最大值是 .,.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ..中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是'半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为第2第2页，共15页.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=三、解答题(本大题共7小题，共82.0分).已知｛aj是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3=2a2+16.(1)求｛aj的通项公式;(2)设bn=log2an，求数列｛bj的前n项和..如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE1EC1.(1)证明：BE1平面EB1C1；(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积..已知函数 .证明：存在唯一的极值点；有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数..某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：一28.602.已知方1,F2是椭圆C：—+—=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF11P%,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.第3页，共15页.在极坐标系中，O为极点，点M（p0，Oo）（po>0）在曲线C：p=4sinO上，直线l过点A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.（1）当o0=-时，求p0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.已知f(x)=1x-aIx+1x-21(x-a).(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)当xG(-(»,1)时，f(x)<0,求a的取值范围.第4页，共15页答案和解析.【答案】D【解析】解:tz二i(2+i)=-1+2i,=-1-2i,故选:D.利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题..【答案】A【解析】解:•.…=(2,3), =(3,2),一一i=(2,3)-(3,2)=(-1,1),.1■■ |二■:/। । ..二.故选:A.利用向量的坐标减法运算求得一--的坐标，再由向量模的公式求解.本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题..【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题，直接利用交集运算得答案.【解答】解：由A={xlx>-1},B={xlx<2},得AAB={x|x>-1}n{x|x<2}=(-1,2),故选C..【答案】A【解析】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲〉乙.乙：丙〉乙且丙〉甲.丙：丙〉乙.•・只有一个人预测正确，・•・分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确.如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意.第5页，共15页如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙〉乙，乙〉甲，••乙预测不正确，而丙〉乙正确，•・只有丙〉甲不正确，•・甲〉丙，这与丙〉乙，乙〉甲矛盾.不符合题意.•・只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲〉乙，乙〉丙.故选:A.本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果.本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾.从而得出正确结果.本题属基础题..【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题.求出原函数的导函数，得到函数在x=n时的导数，再由直线方程点斜式得答案.【解答】解：由y=2sinx+cosx,#y'=2cosx-sinx,,y'|=2cosn-sinn=-2,x=n・曲线y=2sinx+cosx在点(n,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-n),即2x+y-2n+1=0.故选:C第6页，共15页

.【答案】D【解析】解：由题意可得：3p-p=（i）2,解得p=8.故选:D.根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得.本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题.7.【答案】A7.【答案】A【解析】解:如图，由题意，把x="代入x2+y2=a2,得PQ=i；3由IPQI=IOFI,得上..二，解得e=.一.再由IPQI=IOFI,3由IPQI=IOFI,得上..二，解得e=.一.故选:A.由题意画出图形，先求出PQ,再由IPQI=IOFI列式求C的离心率.本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题..【答案】B【解析】解:•••2sin2a=cos2a+1•••可得:4sinacosa=2cos2avae(0,；),sina>0,cosa>0.•.cosa=2sina,vsin2a+cos2a=sin2a+(2sina)2=5sin2a=1,•••解得:sina=—1.故选:B.第7页，共15页

由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinacosa=2cos2a,结合角的范围可求sina>0,cosa>0,可得cosa=2sina,根据同角三角函数基本关系式即可解得sina的值.本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题..【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的解析式的求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题.设x<0.则-乂>0,代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x<0时的f(x).【解答】解:设x<0,则-x>0,.•.f(-x)=e-x-1,・•・f(x)为奇函数，..f(x)=—f(-x)=-e-x+1.故选:D.10.【答案】A【解析】解:\二，,x2二年是函数f(x)=sinmx(3>0)两个相邻的极值点，.T-2(' )一一—一一4 4,3=2,故选:A.x1—(,x2-7是f(x)两个相邻的极值点，则周期T―2(^--)—，然后根据周期公式即可求出一本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题..【答案】B【解析】【分析】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题.第8页，共15页由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论.【解答】解:对于A,a内有无数条直线与P平行，a与P相交或a||B；对于B，a内有两条相交直线与P平行，。呼；对于C，a，P平行于同一条直线，a与P相交或a||B；对于D，a，P垂直于同一平面，a与P相交或all,故选B..【答案】B【解析】解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为|，恰有2只测量过该指标的所有情况数为|।.•♦•p===;.故选:B.本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为।恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为।।.即可得出概率.本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题..【答案】9【解析】第9页，共15页(2.n.+ -6>On解：由约束条件 作出可行域如图:化目标函数z=3x-y为y=3x-z,由图可知，当直线y=3x-z过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9.故答案为:9.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题..【答案】0.98【解析】【分析】利用加权平均数公式直接求解.本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.【解答】解:••・经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99.・••经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：.=.”)；.....(10x0.97+20x0.98+10x0.99)=0.98.故答案为：0.98.第10页，共15页.【答案】26；--1【解析】【分析】本题考查了几何体的内接多面体，属中档题.中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的二倍等于正方体的棱长.【解答】解:该半正多面体中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，故共有8+8+8+2=26个面；设其棱长为x,因为每个顶点都在边长为1正方体上，则x+x+ x=1,解得x=」-1.故答案为:26;「-1..【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB+sinAcosB=0,由于sinA>0,化简可得tanB=-1,结合范围Be(0,n),可求B的值为年【解答】解:vbsinA+acosB=0,・••由正弦定理可得:sinAsinB+sinAcosB=0,vAe（0,n）,sinA>0,・可得:sinB+cosB=0,可得：tanB=-1,vBe（0.n）,故答案为—17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为q,由a1=2,a3=2a2+16,得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2（舍）或q=4.••・;（2）bn=lo§2an= ，第11页，共15页Vb1=1,bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2,•・・数列｛bn｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列｛bn｝的前n项和 .【解析】(1)设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；(2)把(1)中求得的｛an｝的通项公式代入bn=log2an，得至I]bn,说明数列｛1｝是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解.本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题..【答案】解：(1)证明：由长方体ABCD-A1B1C1D1,可知B1CJ平面ABB1A1，BEu平面ABB1A1，B13BE，:BE1EC1，B1C10EC1=C1，BE1平面EB1C1；(2)由(1)知匕BEB1=90°，由题设可知RtABE三RtA1B1E，•AAEB=ZA1EB1=45°，•AE=AB=3，AA1=2AE=6，.・在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1II平面BB1C1C，EGAA1，AB1平面BB1C1C，E到平面BB1C1C的距离d=AB=3，四棱锥E-BB1C1C的体积丫=-x3x6x3=18.【解析】⑴由线面垂直的性质可得B1C11BE,结合BE1EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE1平面EB1C1;(2)由条件可得AE=AB=3,然后得至I]E到平面BB1C1C的距离d=3,在求四棱锥的体积即可.本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题..【答案】证明：(1);•函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.f(x)的定义域为(0，+(»)，f(x)= =lnx—，y=lnx单调递增，尸-单调递减，.式(x)单调递增，第12页，共15页又f(1)=-1<0,f(2)=ln2--二——>0,•・存在唯一的％卢(1,2),使得f(x0)=0.当x<x0时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>x0时，f(x)>0,f(x)单调递增，・f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,f(x)=0在(x0,+s)内存在唯一的根x=a,由a>x0>1,得—<<,,•f(一)=(一)ln--- ==0,-是f(x)=0在(0,x0)的唯一根，综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【解析】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题.(1)推导出f(x)的定义域为(0，+8)，f(x)=lnx「，从而f(x)单调递增，进而存在唯一的x卢(1，2)，使得F(x0)=0.由此能证明f(x)存在唯一的极值点.(2)由f(x0)<f(1)=-2,f(e2)=e2-3>0，得到f(x)=0在(x0，+W内存在唯一的根x=a，由a>x0>1，得1I，从而:是f(x)=0在(0，x0)的唯一根，由此能证明f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数..【答案】解：(1)根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：——=0,21=21%,产值负增长的企业频率为：一=0.02=2%,用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%；(2)企业产值增长率的平均数 一-0.1x2+0.1x24+0.3x53+0.5x14+0.7x7=0.3=30%,产值增长率的方程s2一=—[(-0.4)2x2+(-0.2)2x24+02x53+0.22x14+0.42x7]=0.0296,第13页，共15页

••产值增长率的标准差S= —=0.17,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.【解析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可.本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题.21.【答案】解：（1）连接PF［，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，乙F1PF2=90°,IPF2l=c,IPF1I=Z,于是2a=1PFJ+lPF21=（一+1）c,故曲线C的离心率e=-=--1.（2）由题意可知，满足条件的点P（x,y）存在当且仅当：Tyl・2c=16,• =-1,I=1,即cIyl=16,①x2+y2=c2,②-+-=1,③由②③及a2=b2+c2得y2=一，又由①知y2=—，故b=4,由②③得x2=-（c2-b2）,所以c2>b2,从而a2=b2+c2>2b2=32,故a>4一，当b=4,a>4一时，存在满足条件的点P.所以b=