四边形培优题及复习资料

o梯形o梯形（河）如图，在菱形中，

,点E是AD边中点，点M是边上一动点（不与点重长ME交线CD于点N，接，（）证：四形是平行四边形；（）空并证：①当AM的值为时，四边形是形；②当AM的为时，四边形AMDN是形（浙杭州）图，在梯形ABCD，∥BC，AB=CD分别以，为向外侧作等边三角形和边三角形，连接AF，．（1求证；（2若，，△ABE和DCF面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．【答案）明：∵在梯形ABCD中，AD∥，AB=CD∴BAD=∠CDA。∵在等边三角形和等边三角形DCF中AB=AEDC=DF且∠BAE=，∴AE=DF∠EAD=∠，。∴△AED≌△DFA（SASAF=DE。（2解：如图作BHAD，CK⊥AD则有BC=HK。∵∠BAD=45°，∠HAB=∠KDC=45°。∴AB=2AH同理：CD=KD。∵=

AD+BC

，，/7

ABEDCF4ABEDCF4∴梯ABCD=

2a222+2aBC22

。3又∵a，∴

2aBC362a，解得：BC=。42【点等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【析）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的定明△≌△即可。（2如图作BH⊥ADCKAD利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。（2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AB=CD对角线AC、BD交于点OACBD，E、、GH分为ABBC、、的中点（1求证：四边形为方形；（2若AD=2，，四形EFGH面积。【案）证明：在ABC中、分是、BC的点，EF=11同理FG=BD，AC，HE=BD。22

12

AC。∵在梯形ABCD中AB=DC∴AC=BD∴，四边形EFGH是形。设AC与EH于点M在△ABD中分是ABAD的点EHBD∥。又∵⊥BD∴∠。∠∠EMC=90°。∴四边形EFGH是方形。（2解：连接EG。在梯形ABCD中∵E分是ABDC的点，∴ADBC。在Rt△EHG中∵EH2

+GH2

=EG2

，EH=GH，/7

∴EH

9，即四边形的积为。2【点三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。（江南通）图，菱形ABCD中B＝，点在边BC上点F边CD上(1)如图，若是BC的中点AEF＝60º求证：BE＝DF；(2)如图，若∠EAF＝，求证：△AEF是边三角形．【案证明）连接AC。∵菱形ABCD中∠B=60°，∴AB=BC=CDC=180°－。∴△ABC是边三角形。∵是BC的点AE⊥。∵∠AEF=60°，∠－AEF=30°∴∠－－∠－30°－120°=30°∴∠FEC=CFE。∴EC=CF。∴BE=DF。（2连接AC∵四边形ABCD是菱形B=60°∴，D=B=60°∠ACB=∠ACF。∴△是边角形。∴AB=AC∠。∠B=∠。∵ADBC∴∠AEB=EAD=∠EAF+∠FAD=60°+FAD∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠。∴∠AEB=。在△ABE和AFC中∵∠∠ACF，∠∠AFC，AB=AC，∴△ABE≌ACFAAS。∵∠，∴△是等边三角形。/7

，

【点菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。【析1连接AC由菱形ABCD中，B=60°，根据菱形的性质，易ABC是边三角形，又由三线合一可证得AE⊥从求得∠∠CFE可得而证得BE=DF（2接AC得ABC是边三角形可得AB=AC求得ACF=∠，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠，证得AEB≌△AFC，可得AE=AF证得：△是等边三角形。（江苏盐城）如图①所示已知A、为线l上点,点C直线l上一动点连接

、

BC

分以AC

、

BC

为边向

ABC

外作正方形

CADF

和正方形

CBEG

过

作l1

于点

过点

作

EEl1

于点

E

(1)如图②,点

E

恰好在直线

l

上时此时

E1

与

E

重合),试说明

1

；(2)在图①中当D、E两点都在直线l的上时试求三条线段DD、EE、AB之间的数量1关系并说明理由；(3)如图③,点在线l的方时,直接写出三条线段DDAB之的数量关系.(不1需要证明)【案解）正方形ACFD中,∵AD，

，∴

DADCAB901

。又∵

l

∴

901

。∴

DA

。∴

CABDA1

。又∵四边形

为正方形，∴

ABC90

。∴

DD1

。/7

1111在

1

与

CAB

中

DDADDAC

，∴

≌1

1

。（2

11

。理由如下：过点C作CH垂足为H

，由（）知：≌CAH，BEE≌。1∴

，∴EEAHBHAB1

。（3）

1

。【点正方形的性质，全等三角形的判定和性质。【析）由四边形ACFD、是正方形，可得

ACDA

，又由同角的余角相等，求得

ADD，然后利用AAS证ADD≌，根据全等三角形的对应边相11等，即可得

1

。（2011川成都）如图已知线段ABCD，AD与相于点K是线段AD上动点CD(1)若=，求的；AB(2)连接，若BE平分∠ABC则当=

AD时猜想线段、BC三者之间有/7

怎样的等量关系请出你的结论并予以证明．再探究：当=

1n

AD(n)，其余条件不变时，线段AB、、三者之间有怎样的等量关?请直接写出你的结论，不必证明．

【答案】解（1）∥CD，BK

52

，∴

KBCDCK2==.（2）如图所示，分别过CD作BE∥CF∥DG分交于AB的长线于F、G三，∵∥DG，点E是AD的点，AB=BG；∵∥，CDAG∴四边形CDGF是行四边形，CD=FG；∵∠=∠BE∥CF，∴EBC∠BCF，∠ABE=BFC，=BF∴，∴AB=BC+CD

DE

F

当AE=

1n

AD(n2)时n）.（2012建三明）正方形ABCD中，角线AC，BD交于点，点在段BC上不含1点BBPE＝∠，于E，过点B作BF⊥，足为F，交AC于．2（1当点P与点C重时（如图①证：BOG≌△POE（2通过观察、测量、猜想：

BF

=▲，并结合图②证明你的猜想；（3把正方形ABCD改菱形，其他条件不变（如图③

的值．PEPN/7

【案解）明：∵四边形ABCD是正方形P与重，∴，BOC=。∵⊥GBO=90°∠BGO—∠BGO。∴∠GBO=。∴△≌△POE（AAS）。（2

BF。证明如下：PE如图，过作PM//AC交BG于M，交于N，∴∠PNE=，∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=OCB=45，∴∠∠NPB。∴NB=NP。∵0∠BMN，∠NPE=90—BMN，∴∠MBN=NPE∴≌（∴。∵BPE=

12

∠ACB∠BPN=ACB，∴∠MPF∵⊥，∴∠BFP=0

又PF=PF，∴△≌（ASABF=MF即

12

B