2018年高考数学理科专题突破-数列等差数列、等比数列的基本问题版含答案

等差数列、等比数列的基本问题【考点梳理】1.等差数列⑴通项公式:an=⑴通项公式:an=⑵求和公式:a1+(n—1)d；n(a+a)n(n—1) ~~°—=na+ - d；2 1 2⑶性质:①若m,n,p,q^N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq；②a=a+(n—m)d；③Sm，S2m—Sm,S3m—S2m,…，成等差数列.2.等比数列⑴通项公式:an=a⑴通项公式:an=a1qn―1(q力0)；⑵求和公式:q=1,Sn=na1；户匕Sn=a1Q—qn)=a1—a*⑶性质:①若m,n,p,q£N*,且m+n=p+q②an=am-qn—m；③sm，s2m—sm,S3m—S2m,„(Sm=0)成等比数列.【题型突破】题型一、等差、等比数列的基本运算【例1】（1）已知｛%｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和.若S8=4S4,则a10则a10=()17a.-219B-TC.10D.12⑵设等比数歹列｛an｝满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为【答案】（1）B（2）64【解析】（1）设等差数列的首项为a1,8X(8-8X(8-1)X1=8aJ28,4X(4-1)X1=4aJ6,因为S8=4S4，即8a1+28=16a1+24,〜, 1- 1 19所以a1=2，则a10=a1+(10-1)d=/+9=y.⑵由于｛aj是等比数列，设a“=a1q〃-1,其中a1是首项，q是公比.所以a1所以a1+a3=10a2+a4=5,a1+a1q2=10a1=8,解得〈1q=2.(1(1An-4故a=5 ,na7所以a1•a2• •an‘1A(-3)+(-2)+1((1((1A5n一21A7A24927—这当n=3或4时，2(n-7]-49取得最小值一6,21A27 4」( 7A249(1A2n—5--r此时匕J41 27 4」取得最大值26.所以a1・a2・・an的最大值为64.【类题通法】.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1,q，得到｛a/的通项公式，再将a1a2,•an表示为n的函数，进而求最大值..等差(比)数列基本运算的解题途径：⑴设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.【对点训练】⑴若等差数列｛an｝和等比数歹列｛bj满足a1=b1=—1,a4=b4=8,贝吟=.⑵已知数列｛an｝的前n项和为Sn，若5n=1+2an(n三2),且a1=2,则S20=()B.221—2A.2B.221—2C.219+1 D.221+2【答案】（1）1（2）B【解析】（1）{“J为等差数列，a1=-1,a4=8=a1+3d=一1+3d,:.d=3,，a2=a1+d=-1+3=2.{bj为等比数列，b1=-1,b4=8=b1-q3=-q3,:♦q=-2,二b2=b1-q=2.则a=2=1.（2）VSn=1+2an（n三2）,且a1=2,・•.n三2时，%=3-11=1+24-（1+24」），化为4=2an」,：・数列｛an｝是等比数列，公比与首项都为2.2（220-1）二S20= 2-1 =221-2-题型二、等差(比)数列的性质【例2】(1)已知等比数歹列｛aj的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2,则T9的值为()A.±512 B.512 C.±1024 D.1024⑵已知数歹歹｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2an—2,若数歹歹｛幺｝满足bn=10—10g2an，则使数歹歹｛bn｝的前n项和取最大值时的n的值为.【答案】(1)A(2)9或10【解析】(1)由10g2a2+1og2a8=2,得1og2(a2a8)=2,所以a2a8=4,则a5=±2,等比数列｛an｝的前9项积为T9=a1a2…a8a9=(a5)9=±512.(2)VSn=2an-2,：n=1时，a1=2a1-2,解得a1=2.当n三2时，an=Sn-Sn1=2an-2-(2an1-2),二an=2an4•・•数列｛an｝是公比与首项都为2的等比数列，an=2n.：-bn=10-log2an=10-n.由bn=10-n三0,解得n<10.••・使数列｛bn｝的前n项和取最大值时的n的值为9或10.【类题通法】.利用等差（比川生质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解..活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【对点训练】（1）设等差数歹列｛“J的公差为d，若数列｛2a1aJ为递减数列，则（）A.d>0 B.d<0C。id>0 D.aid<0⑵设等比数歹歹｛aj的前n项和为Sn，若Sm」=5,Sm=—11,Sm+1=21,则m等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】（1）D（2）C【解析】（1）因为数列｛2a1aJ为递减数列，所以2。1an<2a1an_J则。1an<。1an_1，二a1（an~4一1）<0，从而a1d<0.⑵在等比数列中，因为Sm_1=5,Sm=-11,Sm+r21,所以am=Sm-Sm1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=32.a, 32则公比q=-m^=——=-2,am -16因为Sm=-11,a[1-（-2）m]所以1[ 1+2—]=-11,①又am+1=a1（-2）m=32,②两式联立解得m=5,a1=-1.题型三、等差（比）数列的判断