2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题〔本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多项选择、不选、错选均不得分，每题6分，共48分〕.“a=2,b=«2”是“曲线C：土+y2=1（a,beR,ab丰0）经过点（；2,1）”的（A）.a2b2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A.解答：当a=2,b=\2曲线C：—+ =1经过（：'2,l）；当曲线C：—+ —1经过a2b2 a2b2点"）时即有有a+b2-1，显然QT—一、殓也满足上式。所以“a=2,b中”是“曲线C：上+y2=1经过点1。1人的充分不必要条件。a是“曲线C：.已知一个角大于120。的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2，则实数m的取值范围为(B).’ . 一.3 一3八(B).’ . 一.3 一3八A.m〉1 B.1<m<一 C.一<m<32 2答案：B.解答：由题意可知：[m+(m+1)〉m+2 31 解得1<m<不。1(m+2)2〉m2+(m+1)2+m(m+1) 2D.m〉33.如图，在正方体ABCD-A1B1GD1中，M为BB1的中点，则二面角M-CD1-A的余弦值为（C).A1DCA第3题图BC1B.AB.答案：C.解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为苍y,z轴建立空间直角坐标系，1、则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),DJ0Q1),M(1,1)，且平面ACD1的法向量为3=—(1,1,1),平面MCD法向量为〃=(T,2,2)。因此cos<n,n〉=二,即二面角1 1 2 1 2 3M-CD1-A的余弦值为一4.假设实数a,b满足<4.假设实数a,b满足<a+2b则G的最大值为（C）．A.1B．C．D.2答案：答案：C.一 ，4 一 ，4 ，一，，TbC解答：由a,b满足的条件知1<-<3，所以aa+2b 3/=2-<2a+b 2,b5乙^T a, , 13 “，当(a,b)=(-,-)取等号。5.已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角^ABC的三条边上，记^PQR,△ABC的面积分别为S△的面积分别为S△pqr，晨abcS则7APQR的最小值为（DS）．23C.A23C.AABC14D.〔1PRAR用正弦定理得sinA二淅QR〔1PRAR用正弦定理得sinA二淅QRBR，sinBsinBQR"又ZA=/B=45,故PR=QR,故参考答案：D.解答：如图5-1所示，〕当APQR的直角顶点在AABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，/APR=/CQR=180—/BQR,所以sin/APR=sin/BQR.在NAPR,ABQR中分别应AR=BR即R为AB的中点.0〕,R〔4,0〕,C).S〔8,0〕作四条直线构成一个正方形，1 16A.17答案：C.c.TD．19613解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，0〕,R〔4,0〕,C).S〔8,0〕作四条直线构成一个正方形，1 16A.17答案：C.c.TD．19613解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾当过点P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时,4|PQ|sin0=a=|RS|cos9=sin0=4cos0osin0=-7=,此时正方形的面积S—(|pQ|sin。)2—17 _36 同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S=—；当过点P,S的直线为正8．A中的元素个数为(B．4032方形的对边所在的直线时，s=196(m+1)+(m+2)+ 1-(m+n)=102015,mgZ,ngN*},则集合A.4030答案：B.B).C.20152D. 20162解答：由已知得n(n+2m+1)=2201652015，因为n,n+2m+1一奇一偶，所以n,n+2m+1两者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,・・・,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A共有4032个元素.二、填空题〔本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分〕9.已知函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)—0,且f(1)=1,则“1000、J(^—)―答案：-1.解答：f(x+2)=f(2-x)=f[1-(x—1)]=—f[1+(x-1)=-f(x)nf(x+4)=f(x),所以f(竽-f(332+4)=“1、 ” 1、 1=f(1+3)=-f(1-3)二-f(3)=-1.符合题意。7.假设过点P〔1,0〕，Q〔2则该正方形的面积不可能等于(.假设数列{a}的前n项和S=n3-n2,ngN*,i=i=1 i2015答案：6048.解答：工-E解答：工-Eii=1 i=1a=3n2—5n+2,又a=0,

i1故a=3n2—5n+2(ngN*),n泊i=E5i=12g(i1)=2015a+8i—2― 3i(i+1)=3 (1—7+1)=6048i=1i i=1 i=1.已知方为抛物线产=5x的焦点，点A(3,1),M是抛物线上的动点.当IMAI+IMFI取最小值时，点M的坐标为答案：(5，1).解答：设抛物线的准线为l:x=

5 ,-4.过M作l的垂线，垂足为H,则AM+MF=AM+MH>AH，当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为(5,1)12.假设16sin2x+16cos2x=10,贝°cos4X=1答案：―2.解答：设t=16解答：设t=16sin2x,1<t<16,则16cos2x=161-sin?x7，代入方程得t+丁1°>=2,或t=8,即. 1 32°sin2x=一或一，所以cos4x——4 42°13.设函数f(x)=min{x2—1,x+1,—x+1},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.假设f(a+2)>f(a)，则实数a的取值范围为.答案：(—8,—2)u(—1,0).参考答案：因为方程f(X因为方程f(X)=X有两个相异的实根，即方程ax2+(b-1)x+b—2=0有两个相异的实数L0根，所以A二(b-1)2-4a(b-2)>0, x即j2:02(1+2a)b+8a+1>0对任意实数b恒成立，所以L0A=4(1+2a)2-4(8a+1)<0， b解得0<a<1 4分12分16分一x一x2y2“， ，八、17.已知椭圆C:―+—=1(a>b>0)1a2b2的离心率为鼻，右焦点为圆C2：(C2：(xI；3)">2=7的圆心。(I)求椭圆C1的方程；(II)假设直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点，坐标．记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的参考答案：〔I参考答案：〔I〕设椭圆C1的半焦距长为C，则卜二右t°c_j3,解得ai2,所以椭圆方程为、a-T4分〔II〕当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l的率存在时，可设直线l的km-33方程为y=kx+m(k,meR),点4的坐标为(%‘乙)’其中乙二一「十一,、一x2,…i..一一 一 ,一〔1〕联立方程|彳+y2=1，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0y=kx〔1〕所以A=16(4k2-m2+1)=0,即1

8分联立方程"一肉）+8分联立方程"一肉）+y2=7消去y得y=kx+mTOC\o"1-5"\h\z(1+k2)x2+2(km-3)xx+m2-4=0 〔3〕所以A=16(4k2-m2-2v13mk+7)=0,即24k2-m2-2<3mk+7;0 〔4〕 12分〔2〕-〔4〕得km;v13 〔5〕km—3〔5〕代入〔3〕得x=- '=0 〔6〕 16分a1+k2〔6〕代入C：(x-y'3)2+y2=7得y=±2.2 A经检验A(0,2),或A(0,-2)符合题意，这样点A的坐标为(0,2),(0,-2) 18分18.已知数列{18.已知数列{a},{b}满足a>0,b>0,<nn1a=a+—,n+1 nbn,neN*.证明：a+b>20.1 50 50b=b+—n+1 nan参考答案：1.1a.b、 .证明：因为a2+b2参考答案：1.1a.b、 .证明：因为a2+b2=a2+b2+—+ +2(~n+—)),所以n+1 n+1 nna2b2 bann nn50 5011E(a+b)+2艺(b+ai=1ii i=1ii, 1 1>a2+b2+―+ +2x2x49>4+4x49=200.1 1a2b2118分又abn+1n+1=ab+ +2,nnabnn所以a50b50=ab+E1+2x49>98+ab+->100.11ab 11abi=1ii 1116分所以(a+b)2=a2+b2+2ab>200+200=400.因此a+b>20……18分50 50 50 50 5050 50 50四、附加题〔本大题共有2小题，每题25分，共50分〕附加1已知数列｛a｝满足a=1,a=3a+2；;2a2—1,ngN*.n 1 n+1 nnn(I)证明：｛a｝是正整数数列；n(II)是否存在mgN*，使得2015la，并说明理由.m参考答案：〔I〕由a=3a+2%：2a2—1得n+1 nnnTOC\o"1-5"\h\za2+6aa+a2+4=0, 〔1〕n+1 nn+1 n同理可得a2+6aa+a2+4=0, 〔2〕 5分n+2 n+2n+1 n+2由〔1〕〔2〕可知，a,a为方程x2—6ax+a2+4=0的两根，又a<a,即有nn+2 n+1 n+1 n n+2a+a=6a，即a=6a一a.n n+2 n+1 n+2 n+1 n因为a=1,a=5,所以a为正整数. 10分12 n〔II〕不存在mgN*，使得2015|a 15分m假设存在mgN*，使得2015la，则31la.m m一方面，aa=a2+4，所以31a2+4，即mm+2 m+1 m+1a2三