2022-2023学年陕西省西安市联考高一（下）期中数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年陕西省西安市联考高一（下）期中数学试卷1.已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量AB在BA.−1 B.1 C.−32.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2A.23 B.−23 C.23.设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(

)A.若m⊥n，n//α，则m⊥α

B.若m//β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥β4.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为43的正三角形，若三棱锥A.83 B.323 C.5.已知复数z=(1+2A.2 B.2 C.3 6.下列说法正确的有(

)A.已知a=(−1,2,),b=(2,x)，若a与b共线，则x=−4

B.若a//b，7.所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为(

)A.127 B.133 C.8.已知非零平面向量a，b，c满足|a|=2，|b−c|=1，若aA.3−1 B.3 C.9.在复平面内，下列说法正确的是(

)A.−i2=−1 B.(−i)2=−1

C.若10.如图，在长方体ABCD−A1BA.BD1//GH

B.BD与EF异面

C.E11.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BA.43 B.83 C.12.设a，b为向量，则|a⋅b|=|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件13.已知a+b与2a−b互相垂直，a−2b与2a14.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥AB，15.已知复数z=m−2i(m∈R)，16.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是______．17.已知向量a=(2,1),b=(m−2,−m218.如图，在△ABC中，AB⋅AC=0，|AB|=8,|AC|=6，L为线段BC的垂直平分线，L与19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA120.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1//21.已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(−2,1)，B(a,3)，a∈R．

(答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题意知，向量AB与BC的夹角为120°，

∴向量AB在BC上的投影是|AB|co2.【答案】A

【解析】解：∵AD=2DB，CD=13CA+λCB，

3.【答案】C

【解析】解：A.若m⊥n，n//α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故A错误．

B.若m//β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故B错误．

C.若m⊥β，n⊥β，n4.【答案】B

【解析】解：如图，

设底面正三角形ABC的中心为O1，连接AO1交BC于D，则AD⊥BC，

∵△ABC是边长为43，∴AO1=23AD=4，

设三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，连接OA，则4π×(OA)2=100π，得5.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．

先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式进行求解．【解答】解：z=(1+2i)2

6.【答案】AC【解析】解：a=(−1,2,),b=(2,x)，a与b共线，则−x=2×2，解得x=−4，A正确；

当b=0时，满足a//b，b//c，而向量a与c可以不共线，B错误；

AB=(3,1),AC=(m−1,7.【答案】A

【解析】解：如图，设E为正三角形BCD的中心，连接AE，

根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心O在线段AE上，

连接BO，AE，设正四面体的棱长为2a，则BE=12×2asinπ3=233a，

故AE=4a2−4a23=8.【答案】A

【解析】解：由题可得，|a−c|=|a−b+b−c|≥|a−b|−|b−c|=|a−b|−1，所以要求|a−c|的最小值，需求|9.【答案】B

【解析】解：−i2=−(−1)=1，故A错误；

(−i)2=(−1)2×i2=−1，故B正确；

两个虚数不能比较大小，故C错误；

设z=a10.【答案】A

【解析】解：如下图所示，连接A1B，D1C，BD，BD1，

根据题意，由A1EEB1=BFFB1=2可得，EF//A1B，且EFA1B=B1FBB1=B1EA1B1=13；

同理可得GH//CD1，FG//BC，且GHCD1=13；

由GH//CD1，而CD1∩BD1=D1，所以BD1不可能平行于GH，即A错误；

易知BD与EF不平行，且不相交，由异面直线定义可知，BD与EF异面，即B正确；

在长方体ABCD−A1B1C1D1中A1B//CD1，A11.【答案】B

【解析】解：因为ABCD是矩形，AB=6，BC=23，

所以AC=AB2+BC2=36+12=43，

因此矩形ABC12.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件．

利用向量的数量积公式得到

a⋅b=|a||b|cosθ，根据此公式再看|a⋅b|=|a||b|与a//b之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．

【解答】

解：若a，b至少有一个为零向量，显然a//b成立；

若a,b为非零向量，设a,b的夹角为θ，

∵a⋅b=|a||b|cosθ，

13.【答案】0°【解析】解：设a与b的夹角为θ，θ∈[0°,180°]，

a+b与2a−b互相垂直，

则(a+b)⋅(2a−b)=0，即2a2+a⋅b−b2=0①，

又a−2b与2a−b14.【答案】8

【解析】解：以AB、AD所在直线分别为x、y，建立如图坐标系，可得

A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)

N坐标为(x,2)，(x∈[0,215.【答案】22或【解析】解：∵z=m−2i(m∈R)，

且复数ω=z(z+i)=z2+zi

=(m2−2)−(3m)i，

∴−3m−16.【答案】24π【解析】解：依题意，正四棱柱的底面边长是2，

所以它的体对角线的长是26，

所以球的直径是26，

所以这个球的表面积是：4π(6)217.【答案】解：(1)由已知可得2m−4−m2+m+2=0，解得m=1或2．

(2)因为a【解析】(1)由向量数量积的坐标运算求解即可；

(2)由a,b18.【答案】解：法1：(1)由已知可得AD=12(AB+AC)，CB=AB−AC，

∴AD⋅CB=12(AB+AC)⋅(AB−AC)

=12(AB2−AC2)=12(64−36)=14

(2)【解析】法一：(1)由题意及图形，可把向量AD用两个向量AB,AC的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；

(2)将向量AE用AD与DE表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；

法二：(1)由题意可以以BC所在直线为X轴，DE所在直线为19.【答案】证明：(1)连结AC1，∵AC=AA1，∠ACC1=∠AA1C1=60°，∴△ACC1是等边三角形，∴AH⊥CC1，

∵CC1//AA1，∴AH⊥AA1，

又∵侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，侧面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，

∴AH⊥平面ABB1A1，∵A1D⊂平面ABB1A1，

∴AH⊥【解析】(1)由△ACC1是等边三角形可得AH⊥CC1，所以AH⊥AA1，利用面面垂直的性质得AH⊥平面ABB1A1，故AH⊥A120.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，

连接DF，又D是AB中点，

则BC1//DF，

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1//平面A1CD．

(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥平面ABC，

又CD⊂平面ABC，

所以