2022-2023学年新疆师范大学附属实验高中高二数学第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，其中，．若，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．2．若对任意的实数k,直线y-2＝k(x＋1)恒经过定点M,则M的坐标是A．(1,2) B．(1,) C．(,2) D．()3．若曲线y＝x3﹣2x2+2在点A处的切线方程为y＝4x﹣6，且点A在直线mx+ny﹣2＝0（其中m＞0，n＞0）上，则（）A．m+7n﹣1＝0 B．m+n﹣1＝0C．m+13n﹣3＝0 D．m+n﹣1＝0或m+13n﹣3＝04．已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．曲线在处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．6．设p、q是两个命题，若是真命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题7．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为()A． B． C． D．8．若，均为单位向量，且，则与的夹角大小为（）A． B． C． D．9．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．10．设函数，满足，若函数存在零点，则下列一定错误的是()A． B． C． D．11．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）12．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设圆x2+y2＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离为d，则d的最大值为_____．14．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．15．已知，若在(0,2)上有两个不同的,则k的取值范围是_____.16．已知命题，，则是_________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.18．（12分）已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．19．（12分）已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的值；（3）设有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝110°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝1．（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．21．（12分）某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路1142公路2231（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X（单位：万元），求X的分布列和EX；（2）若，，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？（注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．22．（10分）在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

已知向量，，根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【详解】已知向量，，因为，所以，即，又因为，，所以，当且仅当，，即时，取等号，所以的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、C【解析】∵对任意的实数，直线恒经过定点∴令参数的系数等于零，得∴点的坐标为故选C点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成，解方程组，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标.3、B【解析】

设的导数，可得切线的斜率为，然后根据切线方程尽量关于的方程组，再结合条件，即可求得的关系，得到答案．【详解】设的导数，可得切线的斜率为，又由切线方程为，所以，解得，因为点在直线上，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．4、C【解析】

对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。【详解】由题可得，分别把和代入与中得到，解得：；，，即当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；（1）当时，显然不等式不成立，舍去；（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；综述所述，实数的取值范围是故答案选C【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。5、B【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.详解：因为，所以所以曲线在处的切线的斜率为因此倾斜角是，选B.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.6、C【解析】

先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.【详解】若是真命题，则是假命题，则p,q均为假命题，故选D.【点睛】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.7、A【解析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．8、C【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得，再由数量积的定义可求得夹角．详解：∵，∴，∴，∴，∴．故选C．点睛：平面向量数量积的定义：，由此有，根据定义有性质：．9、D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.10、C【解析】分析：先根据确定符号取法，再根据零点存在定理确定与可能关系.详解：单调递增，因为，所以或,根据零点存在定理得或或,因此选C.点睛：确定零点往往需将零点存在定理与函数单调性结合起来应用，一个说明至少有一个，一个说明至多有一个，两者结合就能确定零点的个数.11、B【解析】

由题意可得,,故.设,则.

关于

对称,故

在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,

故选B.12、B【解析】

由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.【详解】由题意得，e2i＝cos2＋isin2，∴复数在复平面内对应的点为(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

将问题转化为求圆心到直线的距离加上半径，再由点到直线的距离公式可得结果.【详解】依题意可知，圆x2+y2＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，因为圆心到直线为，圆的半径为1，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.14、【解析】

由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。【详解】联立，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；故答案为【点睛】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。15、【解析】分析：先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决详解：不妨设在是单调函数，故在上至多一个解若则，故不符合题意，由可得，由可得，故答案为点睛：本题主要考查的知识点是函数零点问题，求参量的取值范围，在解答含有绝对值的题目时要先去绝对值，分类讨论，然后再分析问题，注意函数单调性与奇偶性和零点之间的关系，适当注意函数的图像，本题有一定难度16、，【解析】

根据的否定为写结果.【详解】因为的否定为，所以是，.【点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在实数，符合题意.【解析】

（Ⅰ）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；（Ⅱ）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.【详解】（Ⅰ）因为，整理得，由，代入得，.（Ⅱ）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.当时，，①当时，，②由①②解得：，.下面用数学归纳法证明：存在实数，，使对任意正整数恒成立.（1）当时，结论显然成立.（2）当时，假设存在，，使得成立，那么，当时，.即当时，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在实数，，使对任意正整数恒成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.18、（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2)的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数在上的值域为．结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个．通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围．试题解析：（1）由题意知函数的定义域为．因为，所以，令，则，所以当时，是增函数，又，故当时，单调递减，当时，单调递增．所以上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知当时，取得最小值，又，所以在上的值域为．因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有1个．因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得．所以实数的取值范围是．点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．19、（1）0；（2）1；（2），证明见解析.【解析】

（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值与最值；（2）构造函数，又，则只需恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，，由根与系数可知及范围为，代入上式得，利用导函数求的最小值即可.【详解】（1），，令G′(x)>0,解得x>1,此时函数G(x)单调递增，令G′(x)<0,解得0<x<1,此时函数G(x)单调递减，又G′(1)=0,∴x=1是函数G(x)的极小值点,也是最小值，且G(1)=0.当时，的最小值为0.（2）令，则.所以即恒成立的必要条件是，又，由得：.当时，，知，故，即恒成立.（3）由，得.有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：，解得.由，得，其中.所以.设，得，所以，即.【点睛】本题考查导数的应用,包括利用导数求函数的最值、利用导数求参数取值范围，不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决.属于难题.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）根据面积关系，得到M为PD的中点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，又AP∩AC＝A，∴BD⊥面PAC．又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）∵过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，∴M为PD的中点，则AO＝OD，AC＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，4），D（0，，0），M（，，1）．设面AMC的法向量为，，，1），，由，取，可得一个法向量设面PMC的法向量为，，．，令，可一个法向量，则，即二面角A﹣MC﹣P的余弦值为．【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21、（1）分布列见解析，；（2）选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多．【解析】

（1）若汽车走公路1，不堵车时啤酒厂获得的毛收人（万元），堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元），然后列出分布列和求出（2）当时，由（1）