考研线代基础模块精讲000讲义

矩a11 矩阵Aa

(aij)m mn�aij0,A�mn称A为n同型矩AmnBmn称AB为~，令A(aij)mnB(bij)m若aijbij称A★3.伴随矩a11a1nA aa

anna11Aan1aijMijAij(1)i1MA11A21An1A

AA nnA*称为A的伴随4.矩阵运�

A

,B mn mn AB b mn�kA

mn� Amn ,Bns mn mn 内标同可积，外标决定ABCms c msCijai1b1jai2b2j注�A0,B0AB1 1A110,B11 0AB

�AB�f(x)axnaxa项式A为n f(A)aAnaAa A的矩阵多项f(x)x22x3(x1)(xf(A)A22A3E(AE)(Af(A)可象多项式一样进行因式分解a11x1amxn

a11x1a1nxn am1a

amn

m1

amn

a11a1n x1 b1 A

,X,bx bmn mn

n nAXa21x1a2nxn am1x1amnxna11x1a1nxnAX0 am1a

amnxna11x1a1nxnAXb x

xn AX0*)AXb(**)�AA*A*A|A|�只有例x1x202xx例

x1x （两个变量，两个约束条件xxx

例2. 3xx例2.

x20x

x21x （三个变量，两个约束条件有解非齐

xx x xx x1 x12

2x0

x x例x1x23.2x2x

初一：axa�a01aaaxb1ax1bx �a

b0,b0AXb�AnnBnn使BAEAXbBAXBbX�Ann无Bnn使BAEAmn(m1.(AT)T2.(kA)T3.(AB)TAT4.(AB)TBT1.|kA|kn|A|AB||A||BA�C

0|A||B|�AC|A||B �设AB分别为mn 0|A||B A(1)mn|A||B| |A*||A1.(A1)12.(AT)1(3.(AB)1

B

B-1B

B-1 三、中心问题（一

何为逆——逆阵逆阵如何（一）何为逆阵？（定义Ann若存在Bnn使ABE(或BAE)称A可逆，B称为A的逆阵，记B例1.AnnA2AE0,�A1�A2E)1解�A2AE0A(AE)A1A�A2AE(A2E)(A3E)5E(A2E)1(A3E)5(A2E)11(A5Th:Ann A可逆|A|0B使BA|A|0""设|A|0AA*A*A|A|A|A

A*A可逆，且A11|AA11|A 3例1.A001

1 0A

1a111,M11 11,A11 0, 10,A0 3,

0,A0

0, 1

0,A a221,M22 11,A22 0, 00,A

a310,M31 13,A31 a320,M32 11,A321 0, 01,A

0 3A*

A1

A*0 1

|A 1

1

0 注AA*A*A|A|若A可逆，则A1 |AA*|A|

A*,即A*与A1成比例2.A、B为n阶可逆阵(AB)*|A||B|B1|B|B1|A|B*例3.A、B分别为m、n阶可逆阵|A|a,|B|

B 解 B

B B|A||B|

B1

abB1aB*

x1 1 2x2 x3 A中一行即E的i行与j

—E的i列与jEijAA的i,j

A的i,jEij—|E|1E1 �E(c)E的i行c

E的i列cAE(cA的i列cE |Ei(c)|cE1(c)

E iE的j行k倍加到i(kE的i列k倍加到jEij(kAA的j行k倍加到iAEij(k)A的i列k倍加到jEij(k)|E(k)|1E1(k)E(k 方程组同矩阵三种初等行A左乘Eij、Ei(c)、Eij(kQ1Ann|A|0(即A可逆 初等行变换 初等变换 初等列变换行A Q2.Ann|A|0(A不可逆A1求

Th.Ann,|A|0，(AE)(EA行P1P2Ps,使PsP2P1APPP 2行EPPPE行 2行 例.A 111 311|A|0

1

6 A

2 2 (AE) 100

10

2 1

2 00 100 00 0

1

1 1

1 61

2

3 6

601 101 1 6

11

1

1

6

63 3A111 6 111 1★初等变换与初等例1.A为n阶可逆阵，对调A的i、j行成B,求AB解：BEijAB1AA1Ej1E 例2.A33,A对调12两行成B,B的第一列3倍加到第3列成 A解：B

0010 010 3

3EB0 E 0A 0

1

A

E

3

01010 01010

0

0

1

1（一 任取A中的r行和r列构成r阶子式(CrCr个r阶子式) m若A中至少有一个r阶子式不为0.一切r1阶子式（不一定有）皆为称r为A的秩，记rA)注

若|A|0，则rA)n若|A|0，称A为非奇异矩|A|0AA非奇异、满秩、可逆等a1��

0, a n行A则rA注�r(A)�r(A)�r(A)

AAAr(A)r(AT)r(ATA)r(AAT注：见ATA或AAT用此性质例1.AmnATA0,证A0证：ATA0，rATA又rA)rATr(A)0Ar(AB)r(A)r(A注：研究秩是，见r(Ar(A)a1 b1

往往用此 aa

b

n nr()r()11AmnBns，则rABrA)rAB)例3.AmnBnm(mn)ABE.求rA)r(AB)r(AB)r( r(AB)r(A)又rAr(A)

r(B)r(B)r(B)Amn,Bns，且AB0，则rAr(B)证：设ABE,ACEABACA(AC)r(A)r(BC)ArAr(BC)BC B例5.A为n阶阵，A2E，证：r(EAr(EA证：A2EE2A(EA)(EA)r(EA)r(EA)r(EA)r(EA)r(2E)r(E)AmnP，Q分别为m，n阶可逆阵，则rAr(PA)rAQ)r(PAQ*6.r(A

r(A)nr(A)n1r(A)n证：�rAAA*|A|

|A|0,|kA|kn|A|A||A*|||A|E||A|n|A|0,|A*||A|n1r(A*)�r(A)n1AA*|A|Er(A)r(A*)

|A|r(A)nr(A)n

r(A*)Mij0AijA* r(A*)1r(A*)�r(A)n1Mij AijA*0r(A*)1.r(A)r(AT)r(ATA)r(AATr(AB)r(A)r(AB)r(A)r(AB)r(r(AB)AA

,

AB0，则rAr(BPQ可逆，则rA)r(PA)rAQ)r(PAQ*6.r(A)a1 b1

a bn nT左转右不 a2a2，若||1,称为单位 Ta2a2 a1例 单位向量

AET,r(A) anETAAA20A(EA)r(A)r(EA)r(A)r(EA)r(E)r(A)r(EA)AEEAr(A)na11x1a1nxn

ax xm1 mna11x1a1nxn am1x1amnxna11a11a1n A XbAXAXmnn

x a11 a12

a1n,

m1

m2

mn★1.相关性—1n为向量

(*)有非零解，即存在不全为0的k1,kn使k11knn2.线性表示—1nb(0)

(**)有解，即k1,kn使k11knn若�存在r个向量线性�所有r1个向量（不一定有）注：1,,nbb可由1,,n线性表b不可由1,,n线性表a11x1a1nxn0

�有非am1x1ax

n�线性x11xnn先行相�r(A)nAX0�r(A)a11x1a1nxn

�无aa

x1amn

�b不可由线性表 �r(A)r(A)AXb�r(A)r(

(r(A)r(A) AX0AXbTh1.�AX�AXTh2.�AX

只有零解r(A)n有非零解rAn有解rA)rA)r(A)r(A)r(A)r(A)

唯一无数个�AX0 AX0AX

无解rArkk为(*)解kk1 s 为(*),(**)的(一 AX

例1xx x2x2x 1 解：A

111 11 1 2 11

1 2 11

1 1

0

0

x12x3 x2x3 通解为Xx3x4x1 31 40 0 1方法二：X

1 11 20 0 1 例2.解：A

1 3

10 0 3 000 1 000

1

0

0 5

3Xk1k11 210

1

例3.解：A 1 0

0

Xk0k1k1 2 3 0 1 00 0 1 基数 r(A)r 称，，为 0的基础解 �Snr(（二）AX=b例1.AX 0解：�A

0 2 0�r(A)r(A)3AXb

� 0 �

3 0 0x116x4方法一：同解方程组x7x 16x4

3

7 3通解41x x

44 1 0121210140000000000 0r(A)r(A)2方程组有无数0A0

4000x2xxx2xx x

2x

1 通解X 2xx

2 2 5

0 0 14 x x

10

01

00 1 1 0 0 方法二：Xk0 141 2 3

10

01

00 型 概念与性 AmnrAm,问AXb(0)是否有解？解：rA)rA)mrA)mA为m(n1)r(A)r(A)mr(AXb

r(A)r( r(A)3,A每行元素为0，AX0通解？解：AX0基础解系含一个无关解向量A每行元和为

1为

通解X r(A)4,A110, AX0通解？解1.r(A)4 r(A*)0或1

A* r(A*)r(A)AX0例3.A33第一行元素a,b,c不全为 B

36

且AB0.求AX03k6 3k6 解1.AB r(A)r(B)2�k9时，r(B)2rAA0r(A)r(A)AB1 3X C13

C26k �k9时，r(B)11rA r(A)13AB XC3 r(A) c

c a设a A 0 0 0 0 b c a aX C2 AXAX

通解 ax1 1 1x3 1x 2 3 方法一 |A| 1(a2)

1

(a2) a 0(a2) a a (a2)(a

a�当|A|0，即a2且a1�当a1

1 1 1 111

11

2

0r(A)r(

1

4�a2时，A 3

3

2

r(A)r(A)2方程组无数 1

0 1

A

43 3

k 0 3 型三公共解AXBX

解

�(�)解为(�)的解)不一定为的r(A)AX �(�)(�)公共解，即

或 X0的 BX0 求AX0与BX0方法一：求 X0的B例1.f(xxx2x23x2 0 x1 A 0,Xx2 3XT

(x1x2x3 x2(2x1,3x2,x3)x22x13x2 1x x 3 3例2.f(xxxx2x22x24xx2xx4x 1 x1 A 2,Xx2 x

1 1 2fXT

3XTAX为标准二次型A为对角XTAX为非标准二次型A为对称而不对角的矩阵(AT任务：非标 二次A

标准一、Ann若()及数，使A,称为A的特征值。为对应的特征向量�设为特征值, Ar(EA)|EA|

an n(a11a22ann注：�不一定 如A

,|EA|

4a tr(� 11 例1.A

11,�

�X121 121 11(4)10(1)2(41(4)0

E

1

000 000 1 (

4E

1

1

2

1

1 3 1 3

0 4对应无关特征向量为

1 例2.A

1 � �X020020 解：�|EA|

A 1 000000 000000 0五官特征向量为

10

2 2 2

1

342EA0

1 12 2 2对应无关特征向量为

02

0 4 （一）

,(EA)X tA0

(0),f(A) AnaAa �f(A)f如A (A3A2E)(2321)A11 若A可逆，则

|A

0 A1A0A11|A|A-1|A

即 |A|A例1.A

1 1

121 121 � 1,2

0 1 1 1�A11, A22, 04 04 P可

1 011 011 APP 0P1AP 4

4 例1.A可逆，A0, (A*)22E一个特征值？解：A*|A|[(A*)22E]|A|2[(，，例2.A,B为4阶阵，A~B，A特征值111 |B1E|，，234A1~A1特征值A1~B1特征值B1E特征值|B1E| A可对对角化 A有n个无关特征向（二）AT1.ATA证：A A TAT TA ()||2 2.AT

,,(i1, j1, t;)即不同特征值对应特征3.AT A不一定对(一 AT1.|EA| 2.(EA)X

线性 mm当mn时，则A可对角化

0 ,) , 0nAn 令 P可

n AP P1AP n n(二 AT3.矩阵相似—A,B为n阶矩阵，若存在可逆阵P使P1APB.称A与B相似.记A~注A~�A~B B~A~B,B~ A~�A~B�A~B

r(A)|EA||EB""A~ P1AP|EB||P1PP1AP|P1(EA)P|P1||EA||P A B 100 00 |EA||EB

2r(A) r(B)|A||B�A~Btr|A||B(一

线性无 两点正 idt正交正交化：1 (, n (,)n (, 1,,n为两两正规范1 n 1,, 11 n 1,,n两两正交且def若ATAE(或AATE)，称A为正交矩阵，（即ATA-判别定 A(,,,