类比、拓展探究题（解答题重难点题型）-2018年中考数学重难点题型讲练（解析版）

专题11解答题重难点题型........类比、拓展探究题

中考指导：类比、探究题型是中考的重点内容，多数是考查学生对全等三角形、相似三角形、特殊图形的判定和

性质以及三角形的角平分线、中线、垂直平分线、中位线等知识的综合应用，既能检测学生对基础知识的掌握情况,

又能培养学生的理解能力、推理能力和综合应用能力。此类题综合性较强，难度较大，得分率不高。学生对类比、

探究的题型有着一定的解题经验，但是仍有很多不足，具体表现为：第一问中简单的几何证明都没什么问题，但是

他们不会将第一问中图形的特征放在第二问中用相同的或类似的方法解决，形不成特有的解题思路。第三问的图形

要稍复杂一些，多数还要添加辅助线，构造类似于前两间的基本图形，由于前边问题解决的过程中思路混乱，第三

问中多数学生根本就无从下手。所以，怎样引导学生通过类比、转化将前边问题的解决方法照搬到第三问中，将复

杂问题简单化，是本专题学习的关键。

典型例题解析

【例1】（安徽省合肥市滨湖区寿春中学2017年中考数学一模）如图AABC和ADEC都是等腰三角形，点C为它们

的公共直角顶点，连AD、BE,F为线段AD的中点，连CF.

（2）如图2,把ADEC绕C点顺时针旋转90°,其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由.

（3）如图3,把aDEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立请证

明，如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明.

【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见

解析.

【解析】试题分析：（D根据“SAS”证明△〃窿△&若，可得AD=B£,又因为AD=2CF,从而BE=2CF：

（2）由点产是3中点，可得心2DF,从而心2出皿又由△的和是等腰直角三角形，可知砥2法

所以BB=2（即由,CF=DB-CD,从而BB=2CF）

（3）延长C77至G使依*即：CGWCF,可证厘△劭凡再证明AS，愣△〃1已从而6氏於2）成立.

解：（1）;.△ABC是等腰直角三角形，

；.AC=BC,

•.♦△CDE是等腰直角三角形,

.,.CD=CE,

fAC=BC

<ZACD=ZBCE=90°

在AACD和ABCE中，lCD=CE,

.".△ACD^ABCE,

；.AD=BE,在RtZXACD中，点F是AD中点，

；.AD=2CF,

.,.BE=2CF,

故答案为BE=2CF；

(2)(1)中的关系是仍然成立，

理由：.点F是AD中点，

.\AD=2DF,

.,.AC=AD4€D=2DF4€D,

,/△ABC和ACDE是等腰直角三角形，

..AC—BCfCD-CE,

.\BC=2DF-K：E,

/.BE=BC-KE=2DF-K!E+CE=2(DF-KE),

,.,CF^DF+CD=DF4€D,

/.BE=2CF;

(3)(1)中的关系是仍然成立，理由：如图3,

延长CF至G使FG二CF,即：CG=2CF,

•・•点F是AD中点,

AAF=DF,

'DF二AF

<NCFD=NGFA

在ACDF和4GAF中，tcF=GF,

・・・ACDF^AGAF,

・・・AG=CD二CE,ZCI)F=ZGAF,

AZCAG=ZCAD+ZGAF=ZCAD+ZADC=180°-ZACD,

VZACB=ZDCE=90°,

JZBCE=360°-ZACB-ZDCE-ZACD=180°-ZACD,

AZCAG-ZBCE,

连接BE,

&二AC

<ZBCE=ZCAG

在ABCE和△ACG中，［CE=AG

AABCE^AACG,

；.BE=CG=2CF,

即：BE=2CF.

点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查/学生综合运用知识

的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.学#科网

【例2】理数学兴趣小组在探究如何求tanl50的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一如图1,在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,

12_

BC=*^3.tanD=tan15°-----尸----------------~2—y/3.

2+6（2+V3）（2-V3）

tana±tanB

思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan(d±B)=]+tanaWlA.假设。=60。，8=45。代入差角

…、tan60°-tan45°

正切公式：tanl5°=tan（60°-45）=---------------

14-tan60°tan450

思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四…

请解决下列问题（上述思路仅供参考）.

（1）类比：求出tan75°的值;

（2）应用：如图2,某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为

60米，从A测得电视塔的视角（NCAD）为45°,求这座电视塔CD的高度；

14

（3）拓展：如图3,直线y=-x-l与双曲线丫=一交于A,B两点，与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°

2x

后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】（1）2+百；（2）60百+60：（3）能相交，P（-l,-4）或3）.

3

【解析】试题分析：（1）如图1,只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；

（2）如图2,在RtZ\ABC中，由勾股定理求出AB,由三角函数得出NBAC=30°.从而得到NDAB=75°.在Rt^ABD

中，由三角函数就可求出DB,从而求出DC长；

（3）分类种情况讨论：①若直线AB绕点C逆时针诲专45。后，与双曲线相交于点P,如图3.过点C作CD〃x轴，

过点P作PE1CD于E,过点A作AF1CD于F,可先求出点、A、B、C的坐标，从而求出tanZACF的值，进而利用和

（差）角正切公式求出tanNPCE=tan（45。+/ACF）的值，设点P的坐标为（a,b），根据点P在反比例函数的图

象上及tan/PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺

时针旋转45°后，与x轴相交于点G,如图4,由①可知NACP=45°,P（g,3），则有CP±CG.过点P作PH±y

轴于H,易证△GOCs/kCHP,根据相似三角形的性质可求出GO,从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线

CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y,得到关于x的方程，运用根的判别式判

定，得到方程无实数根，此时点P不存在.

试题解析：（1）方法一：如图1,在Rtz^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设

AC=1,则BD=BA=2,BC=>/3.tanZDAC=tan75022^+BC2+声2+^3：

ACAC1

,,V3

tan450+tan30°

方法二:tan750=tan(45°+30°)T2+6

l-tan45°tan30°v33—>/3

1-------

3

(2)如图2,在RtAABC中，AB=\lAC2-BC2=7602-302=3O>/3,sinZBAC=—=—=-,即NBAC=30°.；

AC602

ZDAC=45°，：.ZDAB=450+30°=75°.在RtZkABD中，tanZDAB=—,；.DB=AB・tanNDAB=306•(2+G)

AB

606+90.DC=I)B-BC-60>/3+90-3060+60.

答：这座电视塔CD的高度为（606+60）米;

（3）①若宜线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P,如图3.过点C作CD〃x轴，过点P作PE_LCD

y=—1x-11

x=4x=-2

于E,过点A作AF_LCD于F.解方程组:2，得：｛或｛・••点A(4,1),点B(・2,

4y=ly=-2

>=一

x

1Ap21

-2).对于y=—x—1,当x=0时，y=-1,则C(0,-1),OC=1,ACF=4»AF=1-(-1)=2,tanZACF=---=—=—,

2CF42

tan450+tanZACF1+-pp

AtanZPCE=tan(ZACP+ZACF)=tan(45°+ZACF)=2=3,即——=3.设点P的坐标

1-tan45ctanZACF

1--CE

2

ab=4

为(a,b),则有：｛〃+i

----=3

a

a=—la=-4

解得：｛或｛3，，点P的坐标为（-1,-4）或（一，3）；

b=—43

b=3

4

②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G,如图4.由①可知NACP=45°,P(—，3),则CP_L

3

OC

CG.过点P作PH_Ly轴于H,则NG0C=/CHP=90°,ZGC0=900-ZHCP=ZCPH,AAGOC^ACHP,A——=——.:

CHHF

CH=3-(-1)=4,PH=-,OC=1,...华=：=;,；.G0=3,C(-3,0).设直线CG的解析式为y=履+b,则

3

-3k+b=ok=-Liy=~3x~l

有：｛］，解得：｛3，，直线CG的解析式为y=——x-1.联立：｛J,消去y,

'b=-ly=-

X

得：-=--x-l,整理得：/+3》+12=0,•.•△『32—4x1x12=—39<0,.•.方程没有实数根，.•.点P不存

x3

在.

综上所述：直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交，交点P的坐标为（-1,-4）或3).

【例3】（湖南省衡阳市船山实验中学2017-2018学年八年级上期末模拟）正方形ABCD中，点0是对角线DB的中

点，点P是DB所在直线上的一个动点，PELBC于E,PFLDC于F.

（1）当点P与点0重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、0、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证

明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论;

若不成立，请写出相应的结论.

0⑵的③

【答案】（1）AP=EF,AP1EF,理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；

【解析】试题分析：（1）正方形中容易证明/例户/久层45°,/4盼/痂90°,利用AAS证明婷（2）

（3）按照（1）中的证明方法证明△/.修△Q%（SAS）,结论依然成立.

试题解析：

（1）AP=EF,AP]_EF,理由如下：

连接AC,则必必过点0,延长FO交延于M;

'：OFLCD,OELBC,且四边形即^是正方形，

四边形。反1户是正方形，

：.Oif=OF=OE=AM,

：.AAXC^AFO£（AAS）,

：.AO=EF,且语/加=/血=45°,即OCLSF,

检AP=EF,且"1好.

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：

延长"交房于M延长印交于帆

,:PMLAB,PEVBC,/奶后90°,且乙监片/叱=45°,

...四边形，曲明是正方形，

：.MP=PE,NAmNFPE=9Q°；

又'：AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

：.AM=PF,

：.l\AMP^[\FPE(SAS),

：.AP=EF,ZAPM=AFPN-ZPEF,

范人/仔层90°,NFPl^NPEF,

，/FPN^/PFS,UPAPLEF,

故AP=EF,且"_LM

(3)题(1)(2)的结论仍然成立；

如右图，延长四交"于〃，证法与(2)完全相同.

点睛：点睛：1.证明三角形全等的方法：

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA不能证

明三角形的全等.

2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含

条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.学#科网

【例4】(2017-2018学年上学期苏州市张家港梁丰初中初三数学期末)如图，四边形。BCD中的三个顶点在。。上，

4是优弧BD上的一个动点(不与点8、。重合).

⑴当圆心。在NBAD内部，N4B0+4200=60。时，Z.BOD=.

(2)当圆心。在NB4)内部，四边形OBCD为平行四边形时，求N4的度数；

(3)当圆心。在/BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出N4B。与N4。。的数量关系.

【答案】120

【解析】试题分析：(1)连接物，如图1,根据等腰三角形的性质得//庐Z0AAZAD0,则//加/

N4的N/麻60°,然后根据圆周角定理易得/6632N物以120°；

(2)根据平行四边形的性质得除/及力，再根据圆周角定理得N8除2/4则//决2/4然后根据圆内接四

边形的性质由/犯讣/六180。，易计算出/A的度数；

(3)讨论：当比N6!ft4小时，如图2,与(I)一样NQ4B=NABO,N(MANADO,则NOAD-NOAB=N4D0~NABe

ABAD,由(2)得/物分60°,

所以/4状/4吐60°：当比NM4大时，用样方法得到/4盼/力&7=60°.

解：⑴连接总，如图1,

图1

•：OA=OB,OA=OD,

,：AOAB-AABO,NOA庐/ADO,

；.204班N的止麻60°,即/阴氏60°,

:.NBOD=2NBAD='20°；

故答案为120°；

⑵.•・四边形以窈为平行四边形，

：.ABOD=ABCD,

'：Z.BOD=2AA,

：.Z.BCD=2Z_A,

办N#180°,即3/炉180°,

.,.Z^=60°;

⑶当/的8比/倒小时，如图2,

VOA=OB,OA=OD,

,：AOAB-AABO,AOAD-AADO,

：.ZOAD-ZOAB=ZADO-ZABOZBAD,

由⑵得/胡介60°,

：.ZADO-ZABO=GO°；

当NO16比/飒大时，

同理可得/466L//W360°,

综上所述，1“8。一"。。|=60

强化训练

1.（2017河南中原名校五模）己知，等边三角形ABC的边长为5,点P在线段AB上，点D在线段BC上，且4PDE

是等边三角形.

（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1）,BD+BE=.

（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1,其余条件不变（如图2）,试计算BD+BE的值是多少？

（3）拓展迁移：如图3,在AABC中，AB=AC,NBAC=70°,点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线

上，在4PDE中，PD=PE,ZDPE=70°,设BP=a,请直接写出线段BD、BE之.间的数量关系（用含a的式子表示）

解：(1)VAABC和4PDE是等边三角形,

・・・PE=PD,AB=AC,ZDPE=ZCAB=60°,

:.ZBPE=ZCAD,

.,.△PBE^AACD,

ABE=CD,

ABD+BE=BD+CD=BC=5,

故答案为5；

(2)如图2,过点P作PF〃AC交BC于F,

•••△FPB是等边三角形，

・・.BF=PF=PB=AB-AP=4,ZBPF=60°,

VAPDE是等边三角形，

APD=PE,ZDPE=60°,

・・・ZBPE=ZFPD,

,△PBE之△PFD,

ABE=DF,

ABD+BE=BD+DF=BF=4；

(3)如图3,

过点P作PF〃AC交BC于F,

AZBPF=ZBAC=70°,ZPFB=ZC,

VAB=AC,ZBAC=70°,

AZABC=ZC=55°,

AZPFB=ZC=ZPBF=55°,

APF=PB=a,

VZBPF=ZDPE=70°,

:.ZDPF=ZEPB,

VPD=PE,

.,.△PBE^APFD,

ABE=DF,

过点P作PGJ_BC于G,

・・・BF=2BG,

在RtaBPG中，ZPBD=55°，

:.BG=BP・cosZPBD=a•cos550,

.,.BF=2BG=2a«cos550,

ABD-BE=BD-DF=BJ?=2a»cos55°.

2.(2017商丘市柘城县四模)如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=13,BD=24,在菱形ABCD

的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针

方向旋转60°得到线段AM,连接FM.

(1)求A0的长；

(2)如图2,当点F在线段B0上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：AC=FftM：

(3)连接EM,若aAEM的面积为40,请直接写出aAFM的周长.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答

【解答】（D解：•••四边形ABCD是菱形,

/.AC1BD,OB=OD=A,BD,

2

'.'BD=24,

.\OB=12,

在RtAOAB中，

,/AB=13,

,•OA=VAB2-OB2=7132-122=5,

(2)证明：如图2,

•.•四边形ABCD是菱形，

ABD垂直平分AC,

.•.FA=FC,ZFAC=ZFCA,

由已知AF=AM,ZMAF=60°,

.,.△AFM为等边三角形，

AZM=ZAFM=60°,

•.•点M,F,C三点在同一条宜线上，

ZFAC+ZFCA=ZAFM=60°,

.,.ZFAC=ZFCA=30°,

AZMAC=ZMAF+ZFAC=600+30°=90°,

在RtZXACM中，ZACM=180°-90°-60°=30°.

；.AC=V^AM.

(3)解：如图3,连接EM,

•.•△ABE是等边三角形，

；.AE=AB,ZEAB=60°,

由(1)知AAFM为等边三角形，

；.AM=AF,NMAF=60°,

Z.ZEAM=ZBAF,

在AAEM和AABF中，

'AE=AB

'ZEAM=ZBAF.

AM二AF

/.△AEM^AABF(SAS),

♦..△AEM的面积为40,Z\ABF的高为AO

.\1BE«A0=40,BE=16,

2

.•.F0=BF-B0=16-12=4,

AF=VAO2+FO2=^I,

...△AFM的周长为

3.（2017许昌市禹州市二模）问题情境:

在RtZ\ABC中，AB=BC,ZB=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点0放在斜边AC上，将三角板绕点0旋转.

(1)操作发现:

当点0为AC中点时:

①如图1,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点，连接EF,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关

系：(无需证明)；

②如图2,三角板的两直角边分别交AB,BC延长线于E、F两点，连接EF,判断①中的结论是否戒立.若成立，请

证明；若不成立，请说明理由；

(2)类比延伸:

榴卷请直接写出黑一

当点。不是AC中点时，如图3,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,

解：(1)①猜想：AE2+CF2=EF2,

连接OB,如图1,

VAB=BC,ZABC=90°,0点为AC的中点,

；.0B=AC=OC,ZB0C=90°,ZAB0=ZBC0=45".

VZE0F=90",

ZE0B+ZB0F=ZF0C+ZB0F.

.,.ZE0B=ZF0C,

TZEOB^ZFOC

在ZkOEB和△OFC中，＜OB=OC

l/EBO=NOCF

.,.△OEB^AOFC(ASA).

；.BE=CF,

又：BA=BC,

；.AE=BF.

在RtZsEBF中,VZEBF=90",

.,.BF2+BE2=EF2,

/.AE^CF^EF2；

故答案为:AE2+CF2=EF2；

②成立.

证明：连结0B.如图2,

VAB=BC,ZABC=90°,0点为AC的中点,

.•.硝AC=OC,ZB0C=90°,ZAB0=ZBC0=45°.

VZE0F=90",

.*.ZEOB=ZFOC.

在aOEB和△OFC中,

'NEOB=NFOC

OB=OC

ZEBO=ZOCF

/.△OEB^AOFC(ASA).

；.BE=CF,

又：BA=BC,

.\AE=BF.

在RtaEBF中，VZEBF=90",

/.BF^BE^EF2,

222

.-.AE+CF=EF;

(2)祟，，如图3,过点0作OM1AB于M,ON1BC于N.

•；NB=90°,

.".ZM0N=90°,

•/ZEOF=900,

/.ZEOM=ZFON.

,.,ZEMO=ZFNO=901),

/.△OMEooAONF,

,OMOE

"ONOF"

VAAOM和AOCN为等腰直角三角形,

.,.△AOM^AOCN,

.学#科网

4.（2017•濮阳二模）（1）操作发现：

在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D在线段BC上（不与点B重合），连接AD,将线段AD绕A点逆时针旋转90°

得到AE,连接EC,如图①所示，请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系.

（2）猜想论证:

在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断（1）中的结论是否成立，并证明

你的判断.

（3）拓展延伸：

如图③，若ABWAC,/BACW90。，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角NACB等于度时，线段CE和BD

之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF_LAD交线段CE于点F,且当AC=3近时，请直接写出线

段CF的长的最大值是,

解：（1）CE=BD,CE1BD；

理由：如图①中，

VAB=AC,ZBAC=90°,

・・・线段AD绕点A逆时针旋转90°得至ljAE,

AAD-AE,ZBAD-ZCAE,

AABAD^ACAE,

ACE=BD,ZACE=ZB,

AZBCE-ZBCA+ZACE=90°,

，线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD,CE1BD；

(2)结论：(1)中的结论仍然成立.理由如下：

如图②中，

V线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

；.AE=AD,ZDAE=90°,

VAB=AC,ZBAC=90°

.".ZCAE=ZBAD,

/.△ACE^AABD,

；.CE=BD,NACE=NB,

AZBCE=90°,

所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD,CE±BD；

(3)①结论：当锐角NACB=45°时，CE1BD.理由如下：

如图③中，过A作AMJLBC于M,ENJ_AM于N,

•.•线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

AZDAE=90°,AD=AE,

:.ZNAE=ZADM,

易证得RtAAMD^RtAENA,

；.NE=AM,

VZACB=45°,

...△AMC为等腰直角三角形，

/.AM=MC,

.,.MC=NE,

VAM±BC,EN-±AM,

；.NE〃MC,

四边形MCEN为平行四边形，

VZAMC=90°,

四边形MCEN为矩形，

AZDCF=90°,

AECIBD.

②:RtZiAMDsRtADCF,

.MD_AM

"CF^DC，

设DC=x,

•「NACB=45°,AC=3&,

.\AM=CM=3,MD=3-x,

.3~x3

,*CF-x，

，C4-2x：+x="：+-|,

aj4s

.•.当x=L5时，CF有最大值，最大值为看.

故答案为45,目；

4

5.（2017信阳一模）如图1,边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A,B重合），点F在BC边上（不

与点B、C重合）.

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点出

依此操作下去…

（1）图2中的4EFD是经过两次操作后得到的，其形状为—，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为—，此时AE与BF的数量关系是一；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.

解：（1）如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则4DEF为等边三角形.

在RtAADE与RtACDF中，

[AD=CD

lDE=DF

ARtAADE^RtACDF(HL)

.,.AE=CF,

设AE=CF=x,则BE=BF=4-x

/.△BEF为等腰直角三角形.

；.EF=&BF=&（4-x）.

.,.DE=DF=EF=V2（4-x）.

在RtZXADE中，由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即：x'A]a（4-x）了,

解得：xi=8-4>/31x：；=8+4y（舍去）

/.EF=yf2（4-x）=4<y/5-4>/2.

DEF的形状为等边三角形，EF的长为4%-4注.

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF.理由如下：

依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH,作HNLBC于N,GMLAB于M.

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE,

，四边形EFGH是菱形，

由aEGM丝△FHN,可知EG=FH,

四边形EFGH的形状为正方形.

ZHEF=90°

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

AZ1=Z3.

VZ3+Z4=90°,N2+N3=900,

AZ2=Z4..

在AAEH与ABFE中，

21=N3

<EH=EF

Z2=Z4

AAAEH^ABFE(ASA)

・・・AE=BF.

②利用①中结论，易证△AEH、ABFE.ACGF>△DIIG均为全等三角形，

.\BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

y=S正方形AHCI)-4SAAHI=4X4-4X-1.x(4-x)=2x'-8x+16.

2

y=2xJ-8x+16(0<x<4)

Vy=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,

.,.当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16,

；.y的取值范围为：8Wy<16.

6.(2017河南重点中学模拟)操作：如图①，点0为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点0,请利用图①画出

一对以点0为对称中心的全等三角形.

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB〃DC,E为BC边的中点，ZBAE-ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F.试

探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且BE：EC=1：2,ZBAE=ZEDF,CF/7AB.若AB=5,CF=1,

求DF的长度.

解：(1)如图

(2)结论：AB=AF+CF.

证明：分别延长虹、DF交于点M.

•「E为BC的中点，

.'.BE=CE,

,/AB//CD,

?.ZBAE=ZM,

在^ABE与△MCE中)

rZBAE=ZM

•JZAEB=ZMEC,

,BE=CE

.'.△ABE^AMCE(AAS),

/.AB=MC,

又・.・NBAE=NEAF>

.0.ZM=ZEAF,

，MF=AF,

y/MC=MF-H2F,

1・AB=AF+CF;

(3)分别延长DE、CF交于点G.

VAB//CF,

AZB=ZC,ZBAE=ZG,

・・・AABE^AGCE,

•・・AB=5,

AGC=10,

VFC=1,

，GF=9,

VAB/7CF,

AZBAE=ZG,

XVZBAE=ZEDF,

・・・ZG=ZEDF,

・・・GF=DF,

ADF=9.

7.(2017许昌二模)如图1,四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG,连接DE,BG.

(1)发现

①线段DE、BG之间的数量关系是一；

②直线DE、BG之间的位置关系是.

(2)探究

如图2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由.

(3)应用

如图3,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P,若AB=4,请直接写出点P到CD所在

直线距离的最大值和最小值.

解：(1)发现

①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG,

理由是：如图1,♦..四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBDA=90°,

...NBAG=NBAD=90°,

•.•四边形AEFG是正方形，

；.AE=AG,

AAED^AAGB,

.•.DE=BG；

②直线DE、BC之间的位置关系是：DE1BG,

理由是：如图2,延长DE交BG于Q,

由^AED丝2\AGB得：ZABG=ZADE,

VZAED+ZADE=90°，ZAED=ZBEQ,

.,.ZBEQ+ZABG=90°,

AZBQE=90°,

ADEIBG；

故答案为：①DE=BG；②DEJ_BG；

(2)探究

(1)中的结论仍然成立，理由是：

①如图3,；四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，

/.AE=AG,AD=AB,/EAG=/DAB=90°,

ZEAD=ZGAB=90°+ZEAB,

在△EAD和aGAB中，

fAE=AG

<NEAD二/GAB，

IAD=AB

/.△EAD^AGAB(SAS)

；.ED=GB；

②ED1GB,

理由是：’「△EAD逐△GAB,

.\ZGBA=ZEDA,

,/ZAMD+ZADM=90°,ZBMH=ZAMD,

.".ZBMH+ZGBA=90°,

/.ZDHB=180°-90°RO°,

.\EDlGBj

(3)应用

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上,

过P作PHJ_CD于H,

①当P与F重合时，此时PH最小，如图4,

在RtZXAED中，AD=4,AE=2,

AZADE=30°,DE=J422*2内

.*.DF=DE-EF=2近-2,

VAD1CD,PH1CD,

・・・AD〃PH,

AZDPH=ZADE=30°,

■。。愕得

.♦.PH播(3-2)=3-四

②：DE_LBG,ZBAD=90°,

...以BD的中点0为圆心，以BD为直径作圆，1\A在圆上,

当P在窗的中点时，如图5,此时PH的值最大，

；AB=AD=4,

由勾股定理得：BD7汨,

则半径0B=0P=2的

；.PH=2+2血.

(2)如图1,将AAOB绕点0顺时针旋转得4A'OB',当A'恰好落在AB边上时，设AAB'0的面积为S”ABAZ

0的面积为S2,Si与S2有何关系?为什么?

(3)若将AAOB绕点0顺时针旋转到如图2所示的位置，Si与&的关系发生变化了吗？证明你的判断.

图2

解：(1)VA(-1,0),B(0,6)，ZA0B=90",

tanZ.BAO-=——=石.

OA1

.".ZBA0=60°.

（2）S尸S2.理由如下：

依题意,有A'A=A'O,ZBA0=60°.

△A'AO是等边三角形.

.".ZA0A,=ZBA,0=60°.

...A'B'〃x轴，...点A'、B'到x轴的距离相等.

•.,/AB0=/A'0B=90°-60°=30°,...A'O=A'B.

AAO=A,B.

•.•等边4A'A。的三条高都相等，

.•.点0到AB的距离等于点B'至IJx轴的距离.

.,.s,=s2（等底等高的三角形面积相等）.

（3），与&的关系没变，仍然有S尸&.理由如下：

过点B作BC1AO于C,过点B作B，Dlx轴于D.

.,.ZBC0=ZByD0=90°.

依题意，有/BOD=/A'OB'=90°,BZO=BO,Ay0=A0.

.,.Z1+ZA,OD=Z2+ZA/OD=9O6.

.".Z1=Z2.

「.△BOC逐△B'OD（AAS）.

.,.BC=ByD.

又•.,AO=A'O,

.•.s：=s:（等底等高的三角形面积相等）.

9.(2017•乐山)在四边形ABC。中，ZB+ZD=180°,对角线AC平分ZBAO.

(1)如图1,若ND48=120°,且N8=90。，试探究边A。、A3与对角线AC的数量关系，并说明理由;

（2）如图2,若将（1）中的条件“N8=90。”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由;

（3）如图3,若ND48=90°,探究边A。、AB与对角线AC的数量关系，并说明理由.

解：（1）AC=AO+A3.理由如下:

VZD+ZB=180°,NB=90°,ZD=90°.

NDAB=120°,AC平分ZDAB,：.ZDAC=ABAC=60°.

•••ZB=90°,.,.在RtZ\ABC中，ZACB=30°,：.AB=-AC.

2

同理，AO=，AC.

2

.-.AB=AD=-AC,即AC=A。+AB.

2

(2)(1)中的结论成立.理由如下：

以C为顶点，AC为一边作NACE=60°,NACE的另一边交AB的延长线于点E.

•••Z.BAC=60",\AEC为等边三角形.AC=AE=CE.

VZABC+ZD=180o,ZDAB=120°,Z.Z.DCB=60°.

ZDCA+ZACB=ZACB+ZBCE,即ZDCA=ZBCE.

J?.VZABC+ZD=180°,ZABC+ZCBE=180°,AZD=ZCBE.

/.\DAC=\BEC(AAS).

AD-BE.

又AC=AE=AB+BE,

AC=AD+AB.

(3)AO+A3=JL4C.理由如下：

过点C作CEJ.AC,交AB的延长线于点E,则/ACE=90°.

,/ZD+ZABC-1800,ZDAB=90°，,ZDCB=90".

NACE=90°,ZDCB-ZACB=ZACE-ZACB,即ZDCA=ZBCE.

又•••AC平分NOAB,AZG4B=45°.

ZE=45°.：.AC=CE.

又•.•/D+/ABO180°,;.ND=NCBE.；,ACDA三ACBE(AAS).

AD=BE..\AE=AB+BE=AD+AB.

在R/A4CE中，ZCAB=45°,.*.AE=V2AC.

AD+AB—y[2AC.

10.(2017•衢州)问题背景

如图1,在正方形ABCD的内部，作/DAE=NABF=NBCG=/CDH,根据三角形全等的条件，易得4DAEg△ABFgA

BCG^ACDH,从而得到四边形EFGH是正方形.

类比研究

如图2,在正aABC的内部，作/BAD=/CBE=/ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).

(l)AABD,ABCE,Z\CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

(2)4DEF是否为正三角形？请说明理由；

(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关

系.

BBC

图1图2

解：(D21ABD建△BCESACAF.

证明：:△ABC是正三角形,

ZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC.

/ZABD=ZABC-ZEBC,ZBCE=ZACB-ZACF,

而NEBC=/ACF,

/.ZABD=ZBCE.

又NBAD=NBCE,「.△ABD逐△BCE(ASA).

(2)ADEF是正三角形.

证明：'.'△ABD四△BCEgaCAF,

ZADB=ZBEC=ZCFA.

...NFDE=/DEF=NEFD.

.♦.△DEF是正三角形.

⑶如图，过A作AGLBD,交BD延长线于点G.

由ADEF是正三角形得到/ADG=60°.

(或者NADG=ZBAD+ZABD=ZCBE+ZABD=60°.)

][3

.•.在RtZ\ADG中，DG=j),AG=^b.

.".c=a"+ab+b!.

11.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DELCF,求证：运=也；

CFCD

(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当NB与NEGC满足什么关系时，使得些=包就立？并证明

CFCD

你的结论；

(3)如图③，若BA=BC=2,DA=DC=V5-ZBAD=90°,DE±CF,试求器的值.

VCFXDE,，NDGF=90°.

AZADE+ZCFD=90°,ZADE+ZAED=90°.

r.ZCFD=ZAED.

VZA=ZCDF',/.△AED^ADFC,.-.DE.-AD