量子力学复习填空及问答部分

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ByChaos某一最小能量的整数倍,2,3,4,对频率为的谐振子,最小能量为

hν，波粒二象性（wave-particleduality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年提出了光电效应的光量子解释，人们开始光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，， Emc2

pmv it(r,t)[2mV(r)](r,t)，粒子的波动性可以用波函数来表 ，，中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以应，i 自由粒子的波函数

Aexp[(p

Et

(x,y,

C

，则(x,yz和ei(xy

对粒子在点(x,y,z)|(xyz|2表示粒子出现在点(x,y,z)2|(x,yz|2xyz表示点(x,y,z)xyz中找到粒子的概率。12

|(x,y,z)|dxdydz既然|(r|2|(xyz|2rxy

x的平均值x

x|(r)|xdr(r)x(r)dV是r的函数：V(r

d3rp)p(p)d3p)p(p)d3(r)V(r)(r)d

再如，动 的平均值为：p*()p)()p)()drr

* xp完全不确定，x点处的动量没有意义。*ˆ ()()d rpˆp其中ˆp

量子力学中的算符表示对波函数（量子态）p能量算符ˆ

i

2

ˆ

*3 *3

ˆ ˆ角动量算符

r

角动量平均值

方程

2V(r)，被称 算符

ˆ

的方程，称为本征方程ˆf本征函数,a22方程[ 2V(r)](r)E(r)Hˆ(r)E(r)

((Er)E

(

E 粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即

cnn(x n2|cn2

x，若EP(x(x或P(x(x称(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如Pcos(x)cos(x)cos(x)Psin(x)sin(x)设(x)是能量本征方程对应于能量本征值的解，如果V(x)V(x),若(x)无简并，则(x)通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态EEnn

又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒barrierpenetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。

ˆˆ

i,0,

x,y

xyy

yyyy [yˆ 0,][ˆ,ˆ[y[ˆ,ˆ]

ˆ,,]

ˆ

ˆ,,]

ˆ,

ˆˆ~

,ˆ1

(rt)2

|(r,t)

t时刻粒子出现在空间点(x,y,z)3(r,t)2 2V(r,t)H(r,i2ˆ 2V(rt

ˆ

ˆf本征函数,a

n和An是算符的本征态与本征值，如果An,都是不简并的，则n完备态矢，系统的任何状态

*drnnnˆ,ˆ] 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一系的 征函数集，记 可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体的一个可能状态，则 为体系的一组力学量完全集HamiltonHAH，A，把空间一分为二，互为对偶的空间，就是符号的优点。用|α>表示态矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方|β><α|是外积。，|

代表量子态量子态的共轭态

F的本征态，则|

z|Ylm|lmz采用符号表示量子态是，都只是一个抽象的，未涉及任何具体的表象|k

k|

或k

I

k|2l1(l2l1(lm (lmz

(,)

l其中l

z z

m

E

e422n

e2,2an,

氢原子的能级是n2Zeeman原子在外磁场中发光谱线发生且偏振的现象称为效应；历史上首先观测并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三现象更为复杂的难以解释的情况因此称前者为正常或简单效应后者为反常或复杂效应电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称Stern-GerlachexperimentO.特恩和W.革在1921年完成的。实验装置如图－革实验装置示意图Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数对钠原子

3s的跃迁产生一条黄线

589.3nm

589.0nm与Zeeman效应不同，此现象并非外界因素作用的结|0能跃迁到第一激发态|1P()

2e22

Pn0()0,n以上结果表明

10

n表明允许谐振子n1010

k

k

i

ikk

kkkkkk

1t2 t2

ik

到k的跃迁是禁戒的。|0

n,|

300

ntEhEt2由于能量不确定性Ekt