人教课标实验A版选修4-1第二讲直线和圆的位置关系五与圆有关的比例线段优秀_第1页
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文档简介

6．什么是圆幂定理？答：我们把相交弦定理及推论、切割线定理及推论统称为圆幂定理．怎样把这些定理联系起来进行记忆和运用呢？用运动观点看圆幂定理及切线长定理．在图1中，P是⊙O内一点，过P作两条弦AB、CD，得相交弦定理：PA·PB＝PC·PD．让点P动起来，若P运动到⊙O上，作两弦PA、PC，可认为P、B、D三点重合，此时仍有PA·PB＝PC·PD，如图2所示．若P运动到⊙O外，作两割线PAB、PCD，则得切割线定理的推论(也叫做割线定理)：PA·PB＝PC·PD，如图3所示．若割线PBA和PDC的夹角逐渐变大，当点A和点B重合时，则PA是⊙O的切线，此时割线定理为PA·PA＝PC·PD即PA2＝PC·PD，割线定理变为割线定理，如图4．若割线PCD继续运动，使∠APC继续扩大，直到C、D两点重合时，则PC为⊙O的切线，此时切割线定理为PA2＝PC·PC即PA＝PC，切割线定理变成了切线长定理，如图5所示．以上通过点、线段的运动把圆幂定理中的几个定理和切线长定理联系和统一起来了．用运动观点进行一题多变，理解圆幂定理在各题中的应用．〔例1〕图6中，⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB上任意一点P作两圆的一条割线，分别交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F．求证：PC·PD＝PE·PF．证明：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，则PA·PB＝PC·PD．在⊙O＇中，弦AB、EF相交于P，PA·PB＝PE·PF．所以PC·PD＝PE·PF．在两个圆中分别用相交弦定理得等积式，再通过等量得出结论．若将例1中的P点的位置、有关的线段以及两圆的位置进行变换可得以下练习题：(1)若⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB上任意一点P作两弦交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F，如图7所示．求证：PC·PD＝PE·PF．(2)图8中，⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB的延长线上一点P，作两圆的割线PCD、PEF．则PC·PD＝PE·PF．(3)图9中，⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB的延长线上一点P，作⊙O的切线PC和⊙O＇的割线PEF，则PC2＝PE·PF．(4)图10中，若⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB的延长线上一点P，作两圆的切线PC、PD，则PC＝PD．(5)如图11中，⊙O和⊙O＇相交于A、B两点，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PC，切点为C，此切线交⊙O＇于E、F两点，则PC2＝PE·PF．(6)图12中，⊙O和⊙O＇外切于A，PA是两圆的公切线，PCD、PEF是两圆的割线，则PC·PD＝PE·PF．(7)图13中，⊙O和⊙O＇内切于A，PA是两圆的

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