创新教育数学大课堂案例

【创新教育数学大课堂案例】与学生谈数学湖北省罗田县三里畈中学“初中创新教育的研究与实践”课题组何国炎晏绍安范美良何先忠李怡书何群科鄂盛林丰军明(此系列《鄂东晚报》2005年春陆续选载)目录1.数学课文也要阅读2.数学世界的奇、妙、趣、美搭3.聋遵大局思想轿，尚整体方法淹应合毙4.厉浅谈数学炼复习中的整妙合土5.数形结丢合位胳开启思维的茧航船艇黎逐6.猫分类讨论，认放飞思维享7.期逆向思维旗与应用纲岂偶团枕8.锯数学解题虑原则蹦9.谈咱“存空间与图形犯”减的入门学习航蹈超10.邀谈数学学趟习方法捞11.由一肌个学生课堂蜂错误想到的形奉莲12.辱类比与联想段，展开思维扶的翅膀馒【际“倍与学生谈数外学穷”抹之一】私数学课文也宅要阅读爪罗田县三里逐畈初中骄开范美良渣“婚读课文灾”市似乎是语文辉学科的专利价，中间加上葵“便数学尚”付二字，乍一林听觉得有点贼别扭，其实箱静静地想一且想，数学课奥文不仅要认附真地读，而讽且要仔细地悦读。俩数学课本是衔数学知识的燕载体，是同观学们学习数康学的依据，牢它是由文字群、数学符号拖、图形、表勿达式等有机兴构成，千姿顺百态，变化数无穷。其中羡蕴含了十分狭丰富的数学栏思想、数学规原理、方法晶，小史等知僵识，字字有蚁含义，处处溉存逻辑，抽角象而严密。围在学习中若杨有毫厘之疏颈忽，其结果灿就会产生千陆里之谬误。陡所以同学们增在学习数学躲时只听老师捆的讲是不够卡的，还需要昨自己逐字、珍逐行、全面计准确地读数耍学课本原文国，以便正确登学，学正确闪。这也是同柏学们学习数知学的一种方夹法狂――狡阅读法。足认真地读数屈学课文对提愚高同学们的掠数学成绩是酬无可非议的滴，无怪乎，衔数学教材中惜专门为同学狡们增设了雁“田读一读栽”何的仍“匪短文差”催，但我认为衡同学们绝对觉不能仅限于芽只读这些暴“煎短文洒”妖，还要读各重章节的傻“改引言霸”彻、晒“蠢小结复习乞”践、旱“找新颖的刊头触图语蜡”亩，对于每章秩节的内容更煤应做到以下屋几点：屯课前初读，含自悟其意奖“生学贵自悟扶”舞，有目的预劳习读书是学激好数学的良爷好开端。同抱学们通过初放读，要能大鱼致理解每章高节所学内容畅，明确学习拘目标，要掌室握什么？有馋哪些重要概持念、法则、煎公式？是否连能够初步运炎用？并结合啊这些问题书拍写简明读书椒笔记，且做配到坚持不懈保，这样才能傻读有所悟。帖课堂精读，冻悟出要点恶课堂学习是放同学们学习麦过程的主阵掏地，通过自非己的初读，汗结合课堂上择教师的讲解携，使自己在持初读时的疑吨难问题得到粘逐步解决，译通过精读、蚂深钻，准确消把握各章节迅中的重点、培难点与关键烟，使知识条礼理化、系统织化，从中悟智出知识要点无。初课后复读，芦巩固提高溪读数学课文亚不能浅尝辄猛止，如果这旧样，易于返悔生，课后复仔读正是突破伟这一障碍的睁主要途径，朴因此课后复搬读一遍本章壮节的主要内苹容，研究一砍下例题的解练题过程和分舍析方法，提盯高解决问题反的能力，同希时坚持写一鬼写课后读书没笔记，总结箭每章节学习喂的得失，谈汽谈学习体会北，都能够收务到良好的效冒果。开总之，读数筝学课文要贯红穿整个学习右过程的始终跟。课前读，肚以作预习，虎课中读，以胖作学习，课刃后读，以作偏复习。读书煤的方式，可哑以默读，也收可以朗读，羽但要边读边哄想，弄通其晶中的道理；许边读边记，萌记忆有关概饲念、公式、刻法则、定理捆等基础知识千；边读边解蝶，掌握解题饶、证题的方掌法等基本技辜能，边读边遣画，达到既纱会作图，又卷会识图的要蓬求盖……务【姐“壳与学生谈数滔学优”态之二】要数学世界的舟奇、妙、趣蝴、美拘罗田县三里逃畈中学榜索何国炎尘数学是人类驳文明的结晶售。从表面看慎，数学符号钳单调，数学踏公式枯燥，酱数学证明繁窗复，数学运飞算麻烦，然才而正是这些海，构成了数测学大厦的美跨丽与壮观，汗使一代代学初子为之深钻艘苦读，一个义个数学家如庸醉如痴，为标之贡献毕生恩的心血。碎是什么力量勇支配看他们结？因为数学士的魅力。只寿要潜心于数核学世界，就级会发现它的慈新奇，它的叙巧妙，它的筐情趣，它的曲美丽。如果胸你深入数学叠世界，就能必勇敢地猎榆“染奇数”殿，大胆地探梦“抄妙糖”毁，多角度地竟赏冈“饺趣梯”绸，创造性地皆审香“步美芹”霜。售人们常说大爆千世界，无放奇不有，而洽数学世界更姥是千奇百妙斥，变化万千悬。就从学习得代数式来看敬，神奇的变彼化就让人啧相啧称叹。请雄看下列代数樱式：８１＝烦（８＋１）深２借；２５９２购可变为２伍５讯·云９闲２料。数字不变咽，可表达方黎式却不一样顺。数的立方瑞还会出现约“钉黑洞亮”钢，诡异难测察。例如：１均５３＝１持３券＋５暗３率＋３已３妙；３７０＝蝴３纱３障＋７拢３灾＋０描３烂；３７１＝畅３魂３侄＋７马７次＋１昨３怨；４０７＝拜４庄３位＋０顿３廊＋７学３寒；贸……卷这些奇妙的租数字称为长“左水仙花以”蹈数。它们的吊新奇，肯定帽会你跃跃欲天试。只要你越“喇从代数式中窜找规律，列恳代数式表示晒”妈，就会自觉祖去猎时“坝奇佩”枪，就具备了岭探索精神和钱归纳能力。较数学来源于密生活，产生解于生产实践腊，是生活中探奇的浓缩，在是实践中妙次的结晶。数催学的运算，疑妙趣横生。樱请你观察１虽２３４５６澡７９这几个暴数字，看出迫缺哪一个数样字吗？回答愧是缺汪“建８稳”罚。而１２３给４５６７９篇乘以７２的诉运算结果你辽知道是多少诵？回答是：量８８８８８蛇８８８８。给有的是绳“烦８荐”劫吧！表面无鞭“盲８慢”蛛，而结果都妇是锦“中８粉”如。再看一个振算式：１１墓１１１１１三１１兆２款＝１２３４窄５６７８９穗８７６５４捎３２１。这肠么整齐的对旋称数字，你献说妙不妙？柴数学与生活秧，谁也离不售开谁。１、梨２、３、４千、５、６、煎７，一个星常期接着一个认星期，周而赤复始。而一碑个月的周历疗表中，任意久三横三列排胞成正方形的仗９个数的和波，总是等于重中的哪个数下的９倍。这三难道不妙？给数字还能变牧为美妙的音穿乐。用１、孝２、３、４悉、５、６、必７七个数字换，体现多、金来、米盟……袋的声音高低促与变化，组液合成变化无勺穷的乐曲，拴表达人们喜绝、怒、哀、批乐的丰富情呢感。慌按素质教育牲和新课改的蛋要求，学生常的课业负担脆减轻了，有桨了充足的富侍余的时间。境如果养成了渗自学的习惯警，走进数学架的奇妙世界互，在生活、举生产中寻找洒数学的妙用花，有利于培龙养智力和能泼力。如果能牵够大胆探罪“日妙困”届，哪怕是替“禾异想天开外”挽，对于开发取数学思维、孙培养想象能勺力来说，必组然是收效显哗著。园在开放的课味外活动中，砍你要去品赏脊数学之比“育趣唤”沉，让兴趣伴村随自己学习挤、钻研、探总索的全过程件。删阅读数学家若故事，能激店发我们学习撞先哲们的钻梅研奉献精神猾，继承先人册的科学成就堆。参加数学钢辨论会，能与培养我们的杯探索精神，土训练思维的探严密、细致保和敏捷。参日加智力赛和自擂台赛，能蔑锻炼我们的攀数学运用能推力，发扬敢呜于争先的精抵神。捞通过各种充滩满情趣的活俭动，养成爱装数学、学数竖学的良好习老惯，全面提杏高数学能力驻，应该成为叙同学们必要生的方式和方校法。冷数学是人类贿从生产生活搞和大自然中求结晶出来的忆，其结构、列图形、布局奏和形式，无兵一不体现数率学美，连数黑学的方法也越是与美相对鸟应的。阅读汤――剧逻辑美；演耕算化——掉精确美；观绘察亦――仿布局美；思商考薪――艺潜在美；类甘比勒――析相似美；联逝想逃――贼和谐美；猜混想政――设启示美；探休索岁――翻成功美；转斜化恰――铲变换美；发离现据――宾奇异美；构孟造惜――好创造美。默数学不但体爱现了科学美熄，也体现了赶艺术美。例稿如，用电化脆手段作几何坐图形的旋转签或对称练习云，用塑泥制该作各种形体晓，用卡纸或美电线制作各那种图形，通栽过作图画出酬美丽的图案极等。张“菌六月飞雪视”扰就是把一个南等边三角形辛的边分为三型等份，以中术间一等份为斩边向形外作小等边三角形座，如此继续陕下去，所得丑图形就象一箭个六角形的拍“件雪花顺”车。旦“勉羊年吉祥保”据是以正方形葬的一边为斜色边，向外作俭正方形，依批此画下去，伙所得图形就吧象一个僻“哀羊头钥”覆。这些图形驴，都体现了膀对称的艺术奏美。颠由动脑到动渡手，在亲手狮制作体会数畜学美，继而近利用数学来肤设计创造美另，这是数学屠美的升华。沃在猎奇中培隆养探索发现锦能力，在探策妙中培养创解造的灵感，杀在赏趣中培咱养热爱数学果的情感，在毁审美中培养睛创新的本领眨。数学的神墨秘世界等待挤着无数的志固士仁人去开纤发。乞【伏“危与学生谈数漫学溪”骄之三】而大局思想董，介整体方法扯雕岸羡减颠搏罗田三里畈呜初中妙鹅何国炎锦华人诺贝尔寒物理学奖获装得者杨振宁砖博士说：烈“众做物理就像灰作一幅大的亦画，你要有父本领把局部晶结构画得很启精细，但是搏更要能总体笑把握，这两巩点都要做到诉才行。扇”慎解数学题也架是这样，在尚加强对局部棍基本知识的驼学习、研究胆、分析的基热础上，从大寸局着眼，整隐体上把握问昏题，即所谓玻整体达到，妻它就是从问脱题的整体性爽质出发，突派出对问题的引整体结构的简分析和改造肿，观察和发物现问题的整耍体的结构和避特征，把一展些式子和图米形看成一个暗整体，把握睛他们之间的辩联系，进行芒有目的、有师意识的整体钱处理，起到晚事半功倍而畅意想不到的铜效果。评一、代数式陪化简求值中叹的整体代入殃法裁求代数式的甜值，就是把村代数式中的眯每一个字母堤用数字代替旁后，再计算免出结果。但辫是有些代数击式求值不知课道某个字母晌的取值，而曾另一些字母俱取值不知，伤这就要用整遭体代入的方芬法。如：已盆知，当右x=-2芒时，代数式托ax郊3率+bx+1慎的值为迷6知，那么当窗x=2周时，代数式莲ax警3童+bx+1限的值涉_____伞_____千_涨。将辅x=-2川代入式中得贺-8a-2墙b+1=6为,检∴座8a+2b展=-5,胖当梦x=2艘时，烤ax氏3狸+bx+1陕=8a+2杆b+1=-萝5+1=-群4,烦而有些求值絮，则只有一参些字母的关怪系式，这就旱更要有纵观伶大局思想，理运用整体代副入的方法求毅值。如：般x+2y+竟3z=10冲,4x社+3y+2喇z=15,坐则扶100-(屋10x+1涂0y+10望z)=__绿_____互_____揪,旷观求式系数合相同，察已拔知两式系数超也有关系，翁故两式相加音得生5x+5y祝+5z=2俱5珠。恩撤等式两边同颜乘以饭2碰后整体代入呜即能简单的容求出值来。财二、解方程虾中的整体换割元法展在解方程中盾，用上了整讨体的方法，基使分式方程何、无理方程裤换元后化难口为易，求解此简单、快捷匹、准确。而特解方程组和告不定方程中胳，整体叠加梯叠乘处理，借换元整体构汉造方程，更哲是整体方法警的妙用。如榴：求系数鞠a骡、尤b方、膀c域间的关系式熟，使方程组宝有实数解。鄙解：将三个端方程叠加，麻得（摘a+渠b+c)x姑2疲+(a+b须+c)x+羽a+b+c迈=0茧，即状(a+b+疑c)(x茧2润+x+1)裹=0,笛而副x悼2有+x+1书＝（驼x+李）筑2鬼+碍≠量0宁∴锐a+b暖+c=0旁；当怠a+b+c摩=0字时，方程组启有实数解容x=1.右此解法既有淘整体叠加，驱又有丈a+b+c绵=0隐整体讨论求匀解。而解方述程组肥更是将竿x+森=辜α,y+氏=β慌，僚整体换元后捐，以歼α豪、峰β会为两根，构虑造一元二次销方程为悦z勾2织-10z+单24=0,皂求解更易。托三、几何中垂大局构造思耍想和整体方陆法奖几何是培养究逻辑思维能蹈力和空间想祖象能力的学隐科，因此大炼局思想，整劳体方法更是命解决复杂几蛾何问题茶馆抛用的方法。登由极“冰残部冷”枣想种“愈整体看”剃补复杂的图委形为悉知的钢图形，是几眯何中整体方穗法的具体表那现。如图，枯在四边形科ABCD叨中背∠芦A法＝园135依°评，还∠垂B窗＝汗∠厚D欠＝户90链°复，浅BC暑＝倚2虾，彩AD斧＝陕2逝，则四边形冻ABCD传的面积为车_____魄_____原_矮。解本题，而如果只在四旨边形内想办亿法作辅助线短后计算，不格但不能简单冈解决，现饭跪作辅助线后间反而把已知义角的条件破残坏不能用。崇如果从整体粱上观察，容∠超B甘＝舟∠料D骄＝灵90目°逗，AABCDE梅∠麦C墙＝庸180勇°还－絮∠前A木＝首45予°双，联想到直四角三角形，俗并补形延长萄BA捐、绒CD送交于点贯E巾，则为两个盛等腰直角三锄角形。届△夫BCE杠和社△蝶ADE态，问题非常鉴简单的得到摧解决，充分涂的体现整体饿方法的奇效尚。技大局思想，撕整体方法，戴不但能使解贪题简单明了因，而且真正刃理解掌握知耽识，更重要跪的是开阔了商眼界，发散而了思维，培宇养了能力。才【最“凭与学生谈数庆学治”孟之四】颠浅谈数学复如习中的整合驾罗田县三里紫畈中学评晏绍安裕数婶学复习是一慎个将平时所誓学的知识、漆解题方法、济思维进行的姥巩固，再熟拴练强化，形哄成一种稳定到习惯为再创租造提供知识闪和技能意识编基础的过程台。而知识、兰解题方法，对思维的巩固冠，必须通过姻题目这一载糖体，运用解烛题这种形式副来实现，要睬达到再熟悉狡强化的目的民，必须将题贡目根据知识出、方法和思段维训练的要率求进行相对偿的集中，重修新组合，打厕破平时教学简的时限性、耳阶段性的限埋制，这就是宏整合。纸一是知识点解的整合。理悼解掌握基本被的知识是最摊起码的要求带，也是运用痰知识解决问罩题，迁移知沟识的前提条漠件。牵涉到洞某一问题的车知识不可能惯在某一章节形全部出现，阿而是分散在各不同年级不稻同章节中，米学生不可避饭免地有蔬漏扎，复习的目蹲的是要把这条些分散的知云识集中串起衔来，根据不争同的题目条幸件运用不同难的知识解决惕不同的问题诚，在比较中孝理解、掌握尚、运用知识册。如：对于鬼线段中点这袖一知识点涉局及到的知识违有：（１）务中点两等分甚线段；（２围）三角形的读中线；（３递）中位线定陪理；（４）菊垂经定理；惧（５）中垂向线定理。允如图：（１周）在般ABC中，捧AB话≠彩AC，D、赵E在BC上祥，且DE＝驻EC，过D花作DF份∥疫AB交AE规于点F，D好F＝AC，妻求证：AE薯平分堆BAC。西（2）如图颠：胜ABC中，点AD是高，报CE是中线塘，DC＝B浑E，DG馒CE，G是胡垂足。求证艳：尝(1)蔽G是CE的乎中点；(2殿)稳B＝2卸BCE。好（3）如图零，AB是圆旨O的直径，仙直线L切圆帖O于E，过担A、B分别糖作直线L的贞垂线，垂足涂分别是C、旁D，求证C缴O＝DO，貌AB＝AC方＋BD。求纷证：CO＝箱DO。旬第１题汉，过Ｃ点作壳ＡＥ的平行孩线与ＡＥ的英延长线相交偶于Ｇ点，利晃用中点两等检分线段可构曾造全等三角泽形，进而证耻明对应角，俯对应线段相买等或是转化具为其他的相磨等关系；第滋２题连结Ｄ恳Ｅ，利用中每点结合直角励，利用团“姥直角三角形宪斜边上的中渐线等于斜边早的一半吗”取；结合已知弱条件和定理伪“逗到中线段两板端点距离相双等的点在这辛条线段的垂哑直平分线上议，毙”奴可以证明Ｂ琴Ｅ＝ＤＥ，狂ＤＥ＝ＤＣ强。第３题运占用要“捏过梯形一腰乖的中点平行栋于两底的直轿线必平分另临一腰伐”僻，梯形中位士线定理，线附段中垂线性懒质定理，同肺时可穿插复液习三角形中棋位线定理。俭这样可以通堤过复习具体抓的知识，让蹈知识系统化脾、细密化，亦在运用中将晶知识深化、劝活化，有效谷化。柴二是解嚷题方法规律醉的整合训练绞。初中数学触复习的内容须多，如果运烟用简单重复堂的题海战术搏，不光效率群低下，枯燥盯单调，而且存极易使学生僚疲劳，解题晃的效果反复速无常，甚至愉是以前解对玩的题目也很飞费力才能解装答，焦虑不铜安，丧失信巷心。要从题拖海跳出来，羡提高效率，宏达到举一反惰三的目的，符必须掌握同粉类型题目解势法的内部规耐律并形成自驱觉的运用的兔习惯。娃如：题一，洪AB为刘圆镰O的直径，锅BC切圆于换Ｂ点，AC浮交于圆O于巧P，E在B星C上，且C摆E＝BE，相求证：PE厉是圆O的切炼线。题二，盒在直角梯形焰ABCD中杰，AB迎║脾CD，AD至AB，垂足陪为A，以腰绳BC为直径胡半圆O切A罚D于E点，裹连结BE，燕若BC＝6补，槽EBC＝3渠0，求梯形错ABCD的沃面积。绣与袭朽层侦幻此扛艺腐搁愧仿秆效裳冰这两个题都叉涉及到直经炕和切线问题粱，而解决有归关直径的问耻题常常作辅役助线构成直蠢径所对的圆缺周角；解决离有关切线的斜问题常常作忙过切点的半滔径。运用到霉这两个规律宿，这两个题衡目就会迎刃钥而解。训练侨自觉运用规付律，可以养筒成学生最后稀不自觉的运禽用规律甚至诱主动总结规爹律的良好习眠惯，最终学捡生会站在更宪高的角度，鸽以高屋建瓴碍的思维，更识开阔的思维辞审视题目，但能够不需要凡详细的解题贪，而知道题绣目如何解答型，极大地提冤高复习效率航，产生更大瓶的成功感和财浓厚的兴趣厉，树立起坚系定的自信心走，应考时能俘够正常发挥蔬甚至是超常都发挥。扭三是思维整梯合训练。中俩学生的思维躺训练主要是柳转化的数学碰思维，发散控思维创新思县维的培养与染训练。转化禽的数学思想咬是解答灵活斜多变的题目授的前提条件萝。如：在R成t肚△自ABC中，兵∠砍ACB＝9忽0，AD平醋分拥∠器CAB交B膨C于D。过赢Ｃ作CE荣⊥共AD，垂足独为E，CE菜的延长线交夜AB于F。忆求证EF＝仪CE。拒根据题目条蜻件可知将证德明EF＝C即E转化成三瑞角形ＡＥＦ篮≌堆三角形ＡＥ营Ｃ，根据条婶件按这种转售化思路问题拳是能够得到总证明的。茫如：林△铜ＡＢＣ中，替ＡＢ＝ＡＣ锐，ＣＤ怕⊥千ＡＢ于Ｄ，派Ｐ是ＢＣ上抓点。ＰＥ据⊥郑ＡＢ于Ｅ，但ＰＦ脾⊥挥ＡＣ于Ｆ。蓄求证：ＰＥ材＋ＰＦ＝Ｃ钻Ｄ。刑这个问题可惩以运用申“困截长补短千”些的辅助线来脊解决。但考薯虑ＰＥ、Ｐ脑Ｆ、ＣＤ都除是垂线段，杆ＣＤ是高，逗ＰＥ、ＰＦ妻可以转化成敞三角形的高畏，而三角形冠的高与面积箩有关。连结具ＡＰ，因此腿转化成彩△健ＡＢＰ、乏△营ＡＣＰ、鞋△睬ＡＢＣ的面啊积问题解决坊。发散思维熊的训练关键勉是对题目已雅知条件进行是发散，如：位四边形AB改CD中，B瘦D平分政∠滴ABC，陈∠破Ａ与年∠更Ｃ互补，那湿么ＡＤ和Ｄ前Ｃ是否相等奴?先假设A讽D＝CD。访在寻求证明独该结论时根裹据题目的两职个条件，发既散不同的条带件就可以得范到不同的证临明方法：根架据BD平分而∠特ABC可以骄考虑运用角婚平分线性质肤定理来证明割，过D点分伤别作BA、根BC的垂线省，垂足分别保为E、F，淹证明渔△弦ＤＡＥ鸟≌△床ＤＣＦ。根骂据五∠颤Ａ．查∠将Ｃ互补这一误条件，考虑化到圆内接四胀边形对角互蒙补，因此A欺、B、C、盼D四点共圆殊。因此碑∠从ＢＡＤ、绸∠捞ＣＡＤ两相拥等的圆周角烈所对的两弦伟ＡＤ、ＣＤ应相等。发散政题目条件可淹以让学生更扯好地熟悉题墨目，更有效列地将题目条航件和发散结佩论重新配置门、组合，更馆快地解决问桌题。创新思尾维没有固定单的训练方法斧，在某种程旧度上说主要作来自于灵感刑。灵感源于丘平时基本知竖识的熟练灵明活运用和创拍新意识。因档此在平常训远练中要有意川引导学生创烂新，鼓励学巧生创新。如班已知Ｘ满足方方程２Ｘ瞧２蔬－７Ｘ＋２叉＝０，则Ｘ拌＋１／Ｘ＝雹＿＿＿。联唤想到原方程贫可化为Ｘ畅２晒＋７／２Ｘ痰＋１＝０，趣Ｘ、１／Ｘ魄互为倒数，愚若一元二次雷方程舰a致Ｘ雹２妨＋恢b伐Ｘ＋磁c互＝０（银a索≠烦０）的两根厘之积婶X读1跌X矿2礼＝１，则两福根互为倒数击，因此Ｘ、侮１／Ｘ可以里看成是方程病２披X轻2贿－7Ｘ＋２赛＝０的两根宫，所以Ｘ＋嚼１／Ｘ＝穷7/2港；这是一种能联想创新。永如：２童X薄2奔－２Ｘ＝盗―养１－４／Ｘ膀有几个解，确可以用解方技程的方法解走答，但比较昆繁琐，考虑姿到求两函数吃图象的交点琴可以转化成血解方程的问陆题，因此这趁个问题就可佛变成抛物线现y让＝２姓X妹2造－２Ｘ＋１歉与双曲线泛y够＝－４／Ｘ振的交点问题妈，通过分析土图象可以解疗答，这是一述种将数与形握结合的创新摊。状【华“浅与学生谈数项学立”理之五】装数形结合这顾开启思维的云航船暴贩罗田县三里向畈初中持经何国炎与“惜数无形时少拢直觉，形少植数时难入微德；数形结合熊百般好，隔蹦离分家万事介休。切莫忘龟：几何代数址流一体，永功远联系莫分扩离。衫”析华罗庚关于纲数形结合的惯这一段精辟斧论述，正是望我们要学习俱的数学思想致和开启思维栏的好方法。峰一、以形助幕数跪，简明直观极数是形的抽鸽象概括，形迈是数的直观末表现，用形艳帮助解决数躬的问题，我裁们早已熟知落，应用题中炸用画线段图步帮助分析理娃解数量关系粘，就是数行运结合的初现支。磨例掀1幻：修一条公令路，现已完辛成全长的王离中点还有款16.5秆千米，问已昂修完多少米挤？乐解法一：（敢算术法）夕16.5危铜÷之（竟档呼）宗×考涉禁＝枪33晕（千米）狮解法二：（挨代数法）设搬已修公路为来x彼千米，则列镇方程为析猛x抢－摄x糖＝啦16.5,础解得补x厕＝微33涛解法三：（芝数形结合法被）滩橡16.5续×送2=33僵（千米）贡将全长画为抖线段讽AB黑看作吹“1”料，将其三等惜份，每段为待，伏E脸为寺AB水中点份现，也为西CD式中点，即惜CF=ED籍=16.5邀，所以全长削的跑即已修成为熔16.5压×谅2积＝垄33卵（千米）。亲三种方法，患数形结合既炊直观明了，骂又简单易算级，足见形助弄数的奇效。积个人所得税书是一个分段运计税的问题胜，不易理解甚，很容易算俭错，如果画鬼出下列这样贪的线段图就阅直观简单。斜二、用数解赶形，细致入塔微偏几何直观形碧象，但代数趴表达及其运锐算，全面、印精辟、入微爹，而援“巡形题数解呆”窑往往可以使央求解思路新创颖，且几何卸中多解问题稀可以通过转济化为解方程棵或方程组求观出来，而不绵必进行分类诵讨论，这就适是数形结合崭优越性的再唐现。辉例度2寸：等腰三角屋形的面积为岔2退，腰长为针√裳5造，底角为尿α促，求昨tan四α舌。张此题为一几约何求值题，淘用几何方法诚解，必须以批顶角为锐角迁、直角、钝炉角进行分类培讨论，才不泡漏解，但用晕下面的代数钢方法求解就外全面细致且私不漏解。纺解：过坝A粥作丙AD束⊥爽BC块于木D肆，设豆BD党＝宅x,AD枯＝纸y,屯则有傍x哪2纯＋用y寄2引＝愚(蠢)抹2扭……功寿①钻又有炸S饼△性ABC领＝悼活BC溪·慢AD柔＝称·旨2x粱·身y右＝沫2盈，即酸xy筛＝乎2蝶……亮贯②毒，洪由怠①②哨组成方程组唇，求解并检支验后得惊璃殿嗽像虾壤矮骄∴旧tan配α缝＝着＝臣或概2锈，详细求出独多解。尸盾案庆芝绕考(境例络2该图债)屠各给椅省则港（例胆3乳图）晒三、数形结艰合显神奇两形助数，数规解形，数形顿结合见神奇狮。看：一个忌实数可以用累数轴上的点彻表示，而平拍面上的点可乖以用一对有愧序实数畏——岭点的坐标（运x,y威）表示。通债过平面直角剥坐标系这个香数形结合的卖桥梁，一条侮直线就可以西用数式稼y烤＝尤kx逼＋装b(k栽≠拾0)军表示，而函谋数富y慰＝握ax2压＋持bx寻＋县c送（卷c何≠崖0肯）的图象则春是链衔一条抛物线劲，数形在此写成为一体。蜜数形结合，委既可以将数腹的问题转化铲为形，也可久以将几何图拐形的问题转验化为代数问壤题。哑例休3营：已知：姿△冷ABC版中，算∠袭C嘱＝众90非°誉，概CD件是高，严求证减：拿AC搬2静＝模AD技·均AB史证明溉：洽如图榴，崇设拘∠镰A顿＝余α喂,c泼os圈α军＝现＝役,庸∴舞AC终2是＝压AD君·趋AB叛这本是一道救“抢用相似三角圆形匆”馒知识来证明盾的几何问题黄，但通过设粘“晕元肿”顺，利用三角凶函数，将几隔何问题代数抚化，更显出吐数形结合的瞎神奇。掀如果说数学狗是知识海洋阳中的一艘船患，若数是舵光，那么三角格形，四边形蝇……笋不正像船上醋的帆，掌好弱数的舵，扬液起形的风帆燃，数形结合其开启思维的僻航船，驶向礼知识的大洋军。握辰【嗓“核与学生谈数佣学蹈”矿之六】犁分类讨论，嗓放飞思维输罗田县三里叠畈初中边夫草何国炎砍你会化简︱伙x-1航︱吗？你会动求出猪厕的值吗？很师多同学一定污都会回答，航解这些题一握定要分类讨糟论才能完成爷。帮确实如此，杠在解决某些住数学问题时治，要将问题恼中的对象按妨一定的标准辨，分成若干致类，然后逐已类讨论，最厘后总结得出锣正确的结论乎，这就是分各类讨论法。镇怎样运用分吗类讨论法解途题呢？关键森是如何正确幅分类，重点愧做到分类既墨不重复，又蛾不遗漏，这听就需要我们苍根据所学知霉识，按下列意常见形式分漏类讨论。容一、根据范搏围或条件的匪限制进行分踪类讨论辉一般的定义列、定理、公袋式和法则都陡有一定的范夸围或条件的妄要求，因此缠，按要求分故类讨论，才屿能正确完整胶解答问题。贡如：绝对值剖的法则中分立为正数、零主、负数三方冒面讨论，而仁等比性质中肌倘，如：严重懂abc梦≠伤0,厚并且拍崭揭＝圆漠木＝是＝两榴p,元求费p税的值，由等虑比性质得，永逆＝疾油p,袄当嫂a+b+c跪≠茫0泼时，疼p户＝环2我；当纷a+b+c侍＝航0级时，即梁a输＋皇b鱼＝－足c,吨∴字p穿＝脖＝弹＝－茂1.蚊是按币a+b+c摆≠戚0宗和国a+b+c棕＝泼0喊两种情况分腊类讨论第艳。周二、根据题沟设条件中含盒有字母的不坦同取值进行著分类讨论。巩分类讨论中出含有变量或呢字母系数，库必须按不同僚的取值进行渔分类讨论。疯字母系数的险一元一次方规程惨ax+b=拼0顷和一元一次掏不等式相ax茂＞董b县中，系数的担不同取值，障直接影响解竭答的方法和功结果，一般励按数的正、疾零、负进行企讨论。而一锤元二次方程张解的讨论，工也是按判别榴式的正、零泥、负进行讨磨论。而是否社什么方程，鬼则看系数为克零不为零决只定方程的次妻数来讨论。圆如：求满足祸如下条件的望所有伐k举值，使关于沟x昆的方程饲kx混2宇+(k+1毕)x+(k棋－苹1)旷＝侨0是的根都是整剥数。此题含并字母系数的镰方程是关于孝x竖的二次方程敏，还是一次台方程直接受女系数的影响四，应分类讨汪论。当锈k缠＝唯0俩且不等于－衰0.5钢时，为一次轻方程；当确k换≠先0笨时为二次方糟程，还要考们虑判别式，鼻再分类讨论沙，这是一个略双重讨论的昆问题，分类弟方法更为重滤要。凭三、根据图捷形位置或形维状不确定进匠行分类讨论肾几何中图形没形状、大小迁、位置是研写究的对象，马当这些对象估不确定时，蚂只有通过讨其论才能定形择定性，谁结艘论完整正确香。皂三角形根据价锐角、直角羞、钝角分类限而高有形内付、直角边上纪、形外三种芝类型；等腰工三角形由于筑底、腰的不惕确定而周长骡需要分类讨把论得出；全杂等、相似三膏角形的对应发边不确定要迷分类讨论；锋点与圆、直恩线与圆、圆侧与圆的位置秀关系由于相底互间距离与蒜半径的不定窄关系也都分冠为三种类型订讨论；而圆键中的两条平净行弦间的距愈离，则根据岛两弦在圆的篮同侧还是两复侧而分类得窜出两种不同皱的距离。愤四、根据问贪题条件没有棵明确给出或叹结论不唯一奶进行分类讨舟论遥这类问题，硬只有通过分游类讨论，才堡能保证解答貌的严密性和辆结论的完整蚀性。如：已若知疑α籍为锐角，比另较穿sin尝α,cos泰α抗的大小。条长件中的锐角字α晨又不明确，藏根据正弦与缠余弦随角度吉大小变化规击律，当抄α驼＝包45订°本，两函数值野相等为界，磁分为皮0紧°究＜异α锡＜勒45刷°储、沟α当＝克45逐°俘、源45翁°掌＜设α骑＜狂90伙°渠分类讨论得煎出泊sin决α昆＜片cos莲α坏、流sin穴α厉＝敲cos让α尊、粪sin途α罪＞章cos极α.吊而在坐标系端中点的坐标衫的不确定，悦致使结论的霜不唯一，更维要通过分类稍讨论来保证莫结论的完整港。如：已知近x束轴上有点晒A违（捷-2逃，惧0款），格B认（偷4钩，栋0羡），点槽P乐为直线格y领＝荐x+2替上一点，其帜横坐标为绸m走，问：若泪△新APB册为直角三角惜形，则稿m多为何值？此妹题中虑△忘APB共的边刮AB论位置已定，配而使羊△鸭APB巡为直角三角消形，则需要注考虑到哪个扫角为直角，观故分葱∠犯APB垮＝呆90授°彼、渴∠怖ABP咐＝瓜90啦°妈、相∠鲁BAP森＝毯90像°伐三类进行讨延论即可。学此外，对于时自然数问题抚可按奇，偶泻分类或剩余窗类分类讨论宣；而中考压绝轴题经常用病到的分类有截：由点的不帖确定引起分疾类讨论；由四图形全等或弓相似的对应虽关系不确定欢性引起分类畜讨论；由图续形运动导致项图形之间位艳置发生变化黄引起的分类袄讨论。羽分类讨论既阿是一种重要讨的教学思想大，更是一种曲常用的解题适方法。它不友但考察我们翠掌握基本概纲念和基本技廉能的程度，浊而且能培养珍我们思维的晒周密性和灵躺活性，使我疲们思考问题灯更加全面、洁严谨、周密修，且灵活准凝确锋掏。蜜【需“粱与学生谈数桌学狠”寻之七】坊逆向思维与困应用形罗田县三里听畈初中早李怡书法在初中数学梅教材中有许月多互逆关系测的内容，学梢生在学习知蚊识的过程中背应该经常用讨逆向思维的递方法去帮助宗理解，学会奖分析解答，耕巩固所学知柱识与方法，克养成勤检查察的良好学习桃习惯，培养锦学生学习的蓄主动性，对凑自己充满信萍心。汁在学习计算谣法则时，如某减法法则、旬除法法则、移开方法则分吨别是加法法拣则、乘法法经则和乘方法怎则的应用逆献运算。学习董理解它们时掠，新知识建粘立在旧知识兼的基础上，搅结合互逆的约关系，学习嫌起来浅显易吊懂。如2田2挨＝4（妈－2）抱2池＝4南那么什么数兽的平方等于狐4？4的平县方根有哪些牺？象这样反较复对比、举爸例，就不会社掉解。再如怎计算找滴＋汉危，若直接通抄分非常复杂俱，甚至不可欧解。但如果观逆用减法法样则，计算起刮来就较为简疮便。即原式谋＝云象这样根据余这种互逆关棒系计算起来厚简便，学习稿起来便可顺搅理成章了。贝在学习运算粮性质时，要笔灵活运用这脏些性质进行艺恒等变形，贵注意性质的脑运用与反用毒，还要活用猾。如乘法的满分配律与反膝分配律、幂街的运算、二骄次根式的运寺算性质等。暴掌握性质的级灵活多变，段反复运用，抢体会到数学坡的灵活性与州多变性。如纷x肉n浸=2,求x鞭3n.怒粉若想求出x扰和n来，此嘱题不可解。牙若运用幂的抬性质，可化恋险为夷。即证x杀3n累＝（x净3n牌）摧3匪=2驶3丢=8.再墓如二次根式睁的乘法、除绘法法则与积银商的运算性巴质刚好互逆挖。有时灵活坑运用也可使矿计算简便。上如计算振如果直接采难取分子、分躁母同乘以分究母的有理化任因式比较麻腹烦。若仔细绍观察可发现铲题中隐含有前条件：x>阴0,y>0栋.所以x=狸,y=看贞.从而使计肺算简便。即秤原式＝哲。象这样仔再细观察，恰乏当合理地运恒用一些性质顷，能够走出帖困境，尝到魔柳暗花明、镰成功的喜悦妄。叠在几何中有袖许多定理也吸存在看互逆搬的关系，如抬平行线的判讽定和性质，权切线的性质台等。注意分绩清定理和逆依定理。体会锻它们之间的倦区别，不能庸鱼目混珠，坡分辨不清。殊甚至经常思待考一些命题鹿的逆命题该择怎样叙述并斩判断真假，吗引起认知的况冲突，有利献于帮助他们啄对知识的理左解和掌握，批培养思维的蛮深刻性和发陷散性，有利饱于发展学生沿的逆向思维心能力，培养扒学生思维的腹灵活性。芳在解答几何悔题中，我们诵经常采取执乐果索因法（固分析法）去脚分析和寻找背解题途径。制甚至贯穿在鹅代数中，这兄也是逆向思和维的具体体既现。如生“痰已知关于x艰的方程k询2仿x没2霉+(2k-片1)x+1蝇=0有两个易不相等的实保数根，是否骂存在实数k身，使方程的牢两个实数根识互为相反数萌？如果存在熟，求出k的震值。如果不夜存在请说明偷理由.缩”谢解题时，我爹们也是先假谈设存在符合畜要求的根，瓦然后顺着这随条思路往下少找。最后看缝是否有符合垒题意（包括程隐含条件）递，还有诸如踪反证法，做爪选择时用到定的排除法。窗题目做完后煌倒过来检查魄时，也是逆藏向思维的应糟用。叶总之，在平碰时的学习中浆，我们要进荡行一些反思则，多学一点趴数学的思想朝方法，多一扫点分析的方扁法、多一点形刨根问底的箱精神、多一互点检查的习顾惯，定会收忙到事半功倍假的良好效果附。逮【麻“来与学生谈数块学雹”点之八】非数学解题原店则慨膏会膏载护眠三里畈初中光纵何群科质柄解数学题，航就其本身而赏言，也要有念明确的目的也性搭----率实现题目的揉要求，始终环想着目标，说围绕目标，子进行变换，势要抓住条件纺，紧扣目标窃，广泛联想积，全面考虑许问题，注意器思维的广阔鞠性，多角度岩多侧面的思躲考问题，若闷从一个方面惰看问题思路招受阻，就应垦调整观察分复析问题的角话度，从另一势个侧面思考芽问题，从不遥同的方向探粉索思路。晌“馆熟能生巧昌”膏，要想解决酱问题，必须堤深刻熟练地篇掌握知识，轮对知识形成护条件反射，柏看到问题条协件和目标，械就能联想到堪与此有关的坦知识，这是倒分析问题的权基础。腿竭解数学题，展实质上就是吗应用数学中乌各种思维方岭法与知识，科对问题作出市一系列恰当殿的、巧妙的金转换。这种辅转换，要由谜具体问题决司定，可变换卷题目的条件怠，导出目标钢；也可变换孕题目的目标英，逆向追溯六题设条件；笨也可同时变互换题目的条俯件和目标，非在变换中求伟得一致，得搜到解决。在侄转化方向上医，我们总是印遵循一些原时则。如简单泥化原则、熟鼻悉化原则、蹦同一化原则节、模式化原恋则等。自觉该地遵循这些铅原则，能使察我们更好地币把解题方向蝇，少走弯路倦，更快地打碌开解题思路厨。趣（一）简单勒化原则僚础所谓简单，栽就是把比较网复杂的问题谎，通过变换弹，变成比较写简单的问题临的问题，把开解决复杂问及题归结为解落决简单的问谊题，或通过便问题的简单凯化，获得解肢决复杂问题怒的思路。匀（二）熟悉荣化原则惕撒在解题中，贷我们常常碰堤到非常陌生雨的问题，与象所学的知识宝很难联系，峡无从插手，臭在这种情况顶下，我们就愚要考虑能否晌将此问题转至化为我们所律熟悉的、会祝解的问题，宏通过熟悉问武题的解决，阁得到原问题飞的解决。鼠（三）同一翼化原则泳笨在解题中，焦常常需要减高少不同元素腥，缩短条件它和目标的距村离，以此探列索解题思路壮，这就是转塌换的同一化洒原则。这种余转化，在数闹学中经常见献到。如代数旧中解多元方但程组，要消晴元，变成一昆元方程求解狂；解一元二办次方程，要获降幂，变成弦一元一次方庙程求解；解伪一元高次方研程，可通过冲因式分解，瓶变成一元一可次方程或一乳元二次方程泽求解。在三尤角函数中，菌常常将不同擦名三角函数放，变成同名著三角函数，障或尽量减少世不同名三角昆函数的种数蓬。将不同角割变成相同角皂，或尽量减狸少不同角的后种数。将高盟次变低次，矮尽量为使用扮三角公式创坊造条件。总树之，在解题量中，将元素枣统一，将条妻件和目标统吗一，将新问岛题和会解的杠问题统一，痒是更重要的鸟解题思考方臭法。足（四）模式茅化原则旺局在数学知识幕的学习和运束用过程中，职对知识结构筑和数学思想吨逐渐形成数义学模式。利堵用已经建立态的数学模式馋，不断去认弟识新事物，恨解决新问题愧，反过来又吨会不断丰富豆、完善以至多改变原有的伐数学模式，袋一个人的解魔题思路是否就开阔，在很阔大程度上取毯决于这个人给建立数学模律式的多少和匪运用数学模级式的熟练程匀度。很多习剪题，只要仔虹细观察，认偷真分析题型逮结构，或只父须稍加变换筒，便可把它斜纳入到某个蝴统一的模式辣，思路明朗扛化，问题得档到解决。票慧数学具有和屈谐美的特征炼，美与真在柜数学命题和桂数学解题中舅常常是统一乞的，因此，龙我们在数学肢解题，可以恒根据数、式区、形的和谐叨美，去思考经问题、猜测佩问题，帮助税我们打开解狮题思路，指昆明解题方向乏。侦【膊“婶与学生谈数迎学筹”崇之九】置谈忽“黑空间与图形脸”景的入门学习胞三里畈初中虚何先忠含丰军明挨我们生活在挂三维空间，晋丰富多彩的致图形世界给裁“战空间与图形配”价的学习提供完了大量现实佛有趣的素材灶，在学习时撇空要充分利组用现实世界掌的物体，通枪过观察大量寇丰富的立体源、平面图形亏，加强对图剩形的直观认件识和感受，喂从中发现几跑何图形，归轰纳出常见几麦何体的基本部特征，从而落更好地把握映图形。泼在初学俭“使空间与图形母”悔这部分内容座时应注意以弃下几个方面晚：北注意概念间者的联系，在萍对比中加深幅理解酸在初学这部觉分内容时，膨涉及的概念透比较多，大让多数概念，痰前两个学段识我们都接触下过，许多概见念之间都有庄着密切的联蓬系和区别，删把握了这些灭联系和区别眉，就能更好煎地理解这些曲概念。径例如，直线棋、射线、线卖段三个概念旨联系密切，蛾它们是直的用；同时它们抗之间又有区静别，端点个航数不同，因凶而长度有有山限与无限之小分。臭在学习线段防的和、差、遇中点与研究帅角的和、差鲜、角平分线溜，其内容方陵法都很相似喘，学习时把锻它们进行对会比。例如，梅“粉点Ｍ是线段量ＡＢ的中点法”荷可以写成A焰M＝MB＝邪1／2AB斤；在学习角烂平分线时，股可以写出O泥B是损∠郑AOC的平炎分线的式子盗∠侮AOB＝变∠牛BOC＝1佛／2吐∠忙AOC，这篇样在对比中抓学习可以更翁好地理解和命掌握相关知慌识。能注意三种语课言的互译AMMmmmmMB栽数学语言是适在数学思维败中产生和发砖的，是数学抛思维不可缺乡少的重要工坐具，通常数捎学语言可以湖分为三种：镜文字语言、每符号语言和说图形语言。竞图形是将几灵何模型第一旁次抽象后的矩产物，是形授象、直观的益语言；文字胆语言是对图抖形的描述、纵理解与讨论胜；符号语言租是对文字语锣言的简化和系再次抽象。湿在学习时要限AMMmmmmMB橡例如：在一羽段直跑道上钱取中点，其涌图形语言为PA沃可以将其译赏为文字语言爽：点M是线架段AB的中妖点；用几何借语言表述：肢AM＝MB崇＝1／2A清B。PA估如问∠母AOP＝亩∠宽BOP，译显成图形语言柜如图：BO滑转化为文字粉语言：OP蜜是串∠春AOB的角脑平分线。BO跳注意推理能汉力的训练覆在学习的时板候不仅要通捷过观察、思私考、探究等葡活动归纳出蜜图形的概念梢和性质，还妙要透“消说点儿理演”扛，把它作为哀通过实验探筑究得到结论秩的自然延续河。AOBCDE闭例如：OB清是菜∠扶AOC的平勉分线，OD钳是嫁∠妖COE的平作分线，如果易∠坊AOB＝4漆0杨0闭，奇∠蜜DOE＝3呼0掌0豆，那么祖AOBCDE具在这里不仅蓝会求出掉∠顷BOD的度陵数，干还应明白这炕样做的理由色，能用数学桂语言表述出来。零如果同学们沉在学习的时厚候，能加强乳以上几个方私面的训练，鸟就不愁学不聪好几何噢！士【签“林与学生谈数背学剧”凶之十号】私谈数学学习练方法朵罗田县三里日畈初级中学周介鄂盛林吼刚刚步入初欧中的学生对厦如何学好数隙学，如何适卵应初中教师乡的课堂教学伙感到很困惑妹，往往因为望一开始没有倾调整好学习遍方法，或者跪是不适应初主中数学学习老而对数学学繁习失去了兴极趣，导致了董学习成绩的兆下降。针对固这种情况，万我就根据学端生学习的几险个环节（预阶习、上课、脉复习巩固与货作业、总结听），从宏观阅上谈谈数学是的学习方法婆。纳一、课前预晕习方法灵初一学生往书往不善于预唐习，也不知侵道预习起什屑么作用，预久习仅是流于狂形式，草草同看一遍，看奇不出问题和筑疑点。我认之为学生在预还习时应该做材到：一读，虾先粗略浏览屯教材的有关普内容，掌握兆本节知识的腐概貌。二分跑析，对重要欲概念、公式拳、贞指法则、定理熊反复阅读、英体会、思考匠，注意知识完的形成过程蹄，对难以理晚解的概念作执出记号，以这便带着疑问隶去听课。三前准备，在课像前就要做好雾上这堂课的乎准备，如学谁习用具（包独括文具和自辨制的一些学祖具）、相关太学习资料等后等。例如：检我们在学习茎几何第一章局《平面图形摄和立体图形假》这一节课炼前，就可以赠先将教材浏舰览一遍，初驱步了解这一抽节知识是要驻学会认识一宗些平面图形误和立体图形杀，以及平面伟图形与立体纯图形的联系门，然后就需涉要分析一下贺这一节课的即知识要点应纽该是平面图片形与立体图同形的认识，现而难点则是们平面图形与霉立体图形的山联系，最后巾就是要为上胡课做好准备贵，如收集一财些平面图形材和立体图形贞的图案和模设型等等。深总之我们只改有做好了课疫前的预习，姨做到有的放躲矢，上起课昂来就会觉得疫很轻松。实样践证明，养否成良好的预于习习惯，能歌使我们变被州动学习为主长动学习，同凡时能逐渐培躲养自学能力悔。雨二、课堂学凶习方法廉课堂学习主硬要是要溉做瞧到裕“采听讲忌”普、厘“这思考堂”绕、董“轻探究油”沈、浪“狐记笔记双”愧相结合。埋“哭听讲晓”才包括听老师嫁讲和听同学三讲。听老师喉讲主要是听件知识的引入航过程，对新位知识学习的慰要求，以及爹对重点、难雄点、疑点的锹点拨。听同浸学讲就是要悠了解别人对瓶问题的分析步和解法，或牙者是对新知截识学习的疑避问。溉“也思考减”膏就是思维。穗没有思维，突就不能真正惨的参与课堂赶学习。在思凡维方法上要回注意以下几牙点：：（算1）多思、典勤思，随听肉随思；（2墨）深思，即耐追根溯源地洞思考，善于崇大胆提出问叙题；（3）订善思,由听黄和观察去联圾想、猜想、蝶归纳；（4译）树立批判易意识，学会泪反思。友“魂探究匹”覆就是要学会弹与同学交流潮合作。在探跨究的过程中喂应注意做到显：（陈1）要明确须探究的问题丛；（2）在帅“思考”的视基础之上要晃敢于发表自区己的看法，帝要以理服人忘；（3）要毫学会听取别姥人的意见，挽做到取长补顶短。（4）灯经过探究之丽后要找到解缴决问题的最端佳方法，使爸自己的知识俘、能力得到谈升华。局“初记笔记今”千很多同学都更能做到，但枣是初一学生会一般不会合权理记笔记，乒通常是教师穷黑板上写什茄么学生就抄寿什么，往往鞭是用庆“怕记徐”碌代替罗“银听芹”愉和碧“扩思回”宫。有的笔记卸虽然记得很碌全，但收效译甚微。因此供我们在作笔棋记时应该做粪到：（握1）记笔记苍服从听讲，垦要掌握记录散时机；（2巩）记要点、姻记疑问、记丰解题思路和汽方法；（3寨）记小结、珠记探究结论承、记课后思话考题等。躲总之，只有恳做好了以上待几个环节，马我们在课堂旁学习中就会烂事半功倍，冻收到良好的扁学习效果。勉三、课后复福习巩固及完辅成作业方法钥。俊赢初一学生课继后往往容易嫩急于完成书波面作业，忽迟视必要的巩聋固、记忆、邀复习。以致岁出现照例题锋模仿、套公际式解题的现去象，造成为纲交作业而做颜作业，起不鹅到作业的练陈习巩固、深纤化理解知识爪的应有作用股。为此在这穷个环节我们溜应该每天先卡阅读教材，柴结合笔记记瞒录的重点、员难点，回顾帖课堂讲授的举知识、方法伶，同时记忆享公式、定理它（记忆方法付有类比记忆乱、联想记忆穗、直观记忆堂等）。然后核独立完成作圣业，解题后携再反思。在纷作业书写方发面也应注意羡“穿写法兼”朋，在书写格逢式上要规范悠、条理要清钩楚。为了作沉到这一点，清我们应该注寺意训练自己嫂的一些做作偷业的能力：羊（蔬1）将文字良语言转化为铁符号语言的阔能力；（2汉）将推理思洗考过程用文针字书写表达类的能力；再（吴3）正确舰地由条件画津出图形的能城力。这里可井以根据教师盈的示范有意党的模仿、训累练，逐步养鲜成良好的书网写习惯，这蜘对今后的学芹习和工作都杰十分重要核。妙四、小结或群总结方法。吴息在进行单元堆小结或学期亚总结时，初渡一学生容易事依赖老师，墓习惯教师带甚着复习总结杆。我认为从慨初一开始就援应培养我们恰学会自己总羡结的习惯。采一般要做到琴以下几点：横一看：看书缘、看笔记、辱看习题，通蔬过看，回忆菊、熟悉所学蹈内容；二列爆：列出相关湿的知识点，钻标出重点、饮难点，列出忍各知识点之槽间的关系，歼这相当于写络出总结要点诚；三做：在瞎此基础上有辛目的、有重飘点、有选择磁地解一些各饰种档次、类俱型的习题，妖通过解题再陡反馈，发现让问题、解决本问题，还应赴学会将所学吹的知识应用液于生活，用纷来解决一些内实际的生活琴问题。最后歼归纳出体现箩所学知识的观各种题型及墓解题方法。荣应该说学会秩总结是数学丛学习的最高梢层次。姓作为初一年钩级的学生，豪我们只有掌默握了科学的僵学习方法，词并将这些方内法应用于平悄常的学习当等中，我们就清一肺能学好数学贸。盛【亭“寺与学生谈数惜学伴”惧之十一界】代由一个学生勺课堂错误想携到果的台罗田县三里胖畈中学性晏绍安希题记：教学律分式的基本画性质[分式咸的分子、分图母同时乘以桂（或除以）州同一个整式编（不为0）宪，分式的值阿不变]。通抬过与分数的社基本性质类追比感悟性质超后，教学例择题：填空Y妹／X＝（拣）／坟X永2汗（X咽≠岸0），一个厕同学填的是丹Y慈2泪。有几位同喝学小声嗤笑消起来，犯错筒误的同学很裹没面子。我列说：蔬“晌你犯了一个咬很好的错误扶。赚”因我突然想到尝：学生好的特错误是一种径可遇而不可奶求的教学资污源。辩课堂教和学赴的效果反馈顿信息有两个停来源：一是年课堂上学生周的解答；二肝是课后的作箩业。课后作悬业的反馈信谎息较为滞后向，课堂上学罗生解答的反讽馈信息更及哨时一些。因火此艺术地处雀理课堂上学简生的错误，格是及时调整避教学的需要跑，也是对学窄生进行的挫希折教育。周让学生辨错湿，教师不要倍轻易定论错妙误。脸课堂上学生懂愿意解答问次题除了主动询学习知识外网，从心理上墨讲是一种表炒现欲望和信牲心、兴趣的家体现拦,浩渴望得到同敢学特别是教骄师的肯定和渡表扬，有的求错误是学生裳创新和探索导而导致的。岁教师的否定庆在某种意义昌上说是一种汽伤害，教师猴所应该做的缠就是迅速而倘又很客气地鸡请同学坐下镜。其他同学驴如果没有发体现错误教师早就用厦“轨仔细看看熟”半之类的话语滔进行提醒。犁同学互相指航出的错误更宣容易被接受毫，即使犯错医误的同学不纷服气也会和阁其他的同学扯一起认真听令其原因。这割样全体同学患参与，互相珍辨驳、探讨化，就会越辨抢越明，找到鸦错误原因，德共同提高。梦让同学纠错流，教师不要羽轻易动手改目错。享定论错误以骆后，全体同颂学渴求的是复如何改正错鲜误才能使解支答正确？一主般情况下学殊生首先想到药的是教师，闻而教师将纠丢错任务叫给弄某位同学，外对这位同学演来说是极大项的