2022-2023学年上海市交大附中数学高二第二学期期末经典试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于A． B． C． D．2．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．2019年高考结束了，有为同学（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到三个班，每个班至少分配位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A． B． C． D．4．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A． B． C． D．5．设，复数，则在复平面内的对应点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种7．已知，，是不全相等的正数，则下列命题正确的个数为()①；②与及中至少有一个成立；③，，不能同时成立．A． B． C． D．8．小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为，小明投篮命中的概率为，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（）A． B． C． D．9．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（）．A． B． C． D．10．将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A． B． C． D．11．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种 B．24种 C．22种 D．20种12．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，垂足为A，如果为正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在点处的切线斜率为1，则该切线方程为__________．14．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.15．已知点在函数的图象上，点，在函数的图象上，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，且点，的纵坐标相同，则点的横坐标的值为______.16．凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.凸多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015三棱锥446四棱锥558猜想一般结论:F＋V－E＝____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，是正方形，是该正方体的中心，是平面外一点，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.18．（12分）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；（2）求的概率分布和数学期望.19．（12分）己知角的终边经过点．求的值；求的值．20．（12分）已知函数（其中）．（Ⅰ）当时，证明：当时，；（Ⅱ）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.21．（12分）已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.（I）求的值；（II）求的展开式中的常数项.22．（10分）设等差数列的公差为d、前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

椭圆化标准方程为，求得，设直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标运算求得．【详解】椭圆方程为，，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，，所以，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．2、A【解析】

利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，即，∴，∴椭圆C的离心率．故选A．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．3、A【解析】

首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.【详解】设这五人分别为,若A单独为一组时，只要2种分组方法；若A组含有两人时，有种分组方法；若A组含有三人时，有种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有,故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等.4、C【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.5、C【解析】

在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得,在复平面内的对应点为.当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.6、D【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.7、C【解析】

①假设等式成立，由其推出a、b、c的关系，判断与题干是否相符；②假设其全部不成立，由此判断是否存在符合条件的数；③举例即可说明其是否能够同时成立.【详解】对①，假设（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0⇒a=b=c与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，∴①正确；

对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，∴②正确；

对③，举例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，∴③不正确．

故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，利用反证法、分析法等方式即可证明，有时运用举例说明的方式更快捷.8、D【解析】

由题意可知，用表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。【详解】由题意可知，用表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是，小明获胜的概率是故选D。【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力。9、B【解析】

结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．故选B．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．10、B【解析】

根据反解,代入即可求得结果.【详解】由伸缩变换可得:代入曲线,可得:,即.故选:.【点睛】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.11、B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B．12、C【解析】

设准线l与轴交于点，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，这两个条件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的长．【详解】设准线l与轴交于点，所以，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本题选C．【点睛】本题考查了抛物线的定义．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程．【详解】的导数为，在点处的切线斜率为1，可得，所以，切点纵坐标为：，可得切点为，即有切线的方程为，即为．故答案为．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．14、【解析】

由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：，，时，，时，；时，；时，；当时，由，解得或，若对任意，都有，则。故答案为：。【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．15、【解析】

根据题意，设B的坐标为，结合题意分析可得A、C的坐标，进而可得的直角边长为2，据此可得，即，计算可得m的值，即可得答案．【详解】根据题意，设B的坐标为，如图：

又由是以A为直角顶点的等腰直角三角形且点A，C的纵坐标相同，

则A、B的横坐标相同，故A的坐标为，C的坐标为，

等腰直角三角形的直角边长为2，

则有，即，

解可得，故答案为：【点睛】本题主要考查指数函数性质以及函数值的计算，属于中档题．16、2【解析】

根据前面几个多面体所满足的结论，即可猜想出【详解】由题知：三棱柱：，则，长方体：，则，五棱柱：，则，三棱锥：，则四棱锥：，则，通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为。【点睛】本题由几个特殊多面体，观察它们的面数、顶点数、棱数，归纳出一般结论，着重考查归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证与平面平行，而过的平面与平面的交线为，因此只要证即可，这可由中位线定理得证；（2）要证垂直于平面，就是要证与平面内两条相交直线垂直，正方形中对角线与是垂直的，因此只要再证，这由线面垂直的性质或定义可得．试题解析：证明：（1）连接，∵四边形为正方形，∴为的中点，∵是的中点，∴是的中位线.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面.考点：线面平行与线面垂直的判断．18、（1）;（2）分布列见解析，数学期望.【解析】

（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和数学期望．【详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，汽车在第3个路口首次停车的概率为：．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．则的可能取值为0，2，4，则，，，，的概率分布列为：024数学期望．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力.19、（1）（2）【解析】

（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．【详解】（1）由题意，由角的终边经过点，根据三角函数的定义，可得．由知，则．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i）（ii）见解析【解析】

（Ⅰ）将代入解析式，并求得导函数及，由求得极值点并判断出单调性，并根据单调性可求得的最小值，由即可证明在上单调递增，从而由即可证明不等式成立；（Ⅱ）（i）由极值点意义可知有两个不等式实数根，分离参数可得，构造函数，并求得，分类讨论的符号及单调情况，即可确定的最小值，进而由函数图像的交点情况确定的取值范围；（ii）由（i）中的两个交点可得，代入解析式并求得且令，分离参数可得并代入中，求得，从而证明在上单调递增，即可由单调性证明不等式成立.