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文档简介

解一元二次方程配方法

1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．

一、情境导入

李老师让学生解一元二次方程x2

－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑

了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？

二、合作探究

探究点：配方法

【类型一】配方

用配方法解一元二次方程x2

－4x＝5

时，此方程可变形为()

A．(x＋2)

2

＝1B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)

2

＝9D．(x－2)2

＝9

解析：由于方程左边关于x

的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系

数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，

所以x2

－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)

2

＝9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，

使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【类型二】利用配方法解一元二次方程

用配方法解方程：x2

－4x＋1＝0.

解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次

项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．

解：移项，得x2

－4x＝－1.配方，得x2

－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这

个方程，得x－2＝±3.∴x＝2＋3，x

12

＝2－3.

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方

所需的形式．

【类型三】用配方解决求值问题

已知：x2

＋4x

＋y2

－6y

＋13＝0，求

x－2yx2＋y2

的值．

解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，－2－68

∴原式＝＝－.

1313

【类型四】用配方解决证明问题

(1)用配方法证明2x2

大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．

－4x＋7的值恒

证明：(1)2x2

－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2

－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)

2

－2＋7＝2(x－

1)2

＋5.∵2(

x－1)

2

≥0，∴2(x－1)

2＋5≥5，即2x2

－4x＋7≥5，故2x2

－4x＋7的值恒大于零．

(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．

【类型五】配方法与不等式知识的综合应用

证明关于x

的方程(m2

－8m＋17)x2＋

2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．

解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.

证明：∵二次项系数m2

－8m＋17＝m2

－8m＋16＋1＝(m－4)2

＋1，又∵(m－4)

2

≥0，

∴(m－4)

2

＋1＞0，即m2

－8m＋17＞0.∴不论m

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