2022-2023学年九年级数学专家点拨-方案设计型问题

一、考点突破方案设计型问题在中考试卷中频频出现，充分说明此类问题已成为中考的热点题型之一。方案设计型问题就是给出符合要求的解决问题的方法，这种类型的问题，有时会给出设计要求，也可能让学生自己设计方案。有时需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比较等手段寻找解决实际问题的方法，得到最佳答案。方案设计题往往带有浓郁的生活气息，能让学生充分体验知识的应用的价值，改变重结果轻过程的学习模式。重视动手操作和实践，把知识的产生过程放在突出的位置，是近几年中考命题的热点。常以解答题的形式出现，所占分值较大。二、重难点提示解决方案设计问题，首先要熟练掌握方程、不等式、函数、概率、统计等基础知识，并且要具备利用这些知识解决实际问题的能力，还要有观察图形、分析图形的能力，具有较强的发散思维的能力。一、知识脉络图二、知识点拨1.设计图形型几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它条件来分割，做此类题一般用尺规作图。2.设计测量方案型该题型已渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题解法的不唯一。3.设计最佳方案型此类题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常与函数、几何联系在一起。能力提升类例1如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出△ABC。请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形。（2）图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形。（3）图③中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等。一点通：对于（1）和（2），按照要求画出△ABC的轴对称图形和中心对称图形即可;对于（3），设相邻两个格点之间的距离为1，则△ABC的面积为3，则图⑥、⑦、⑧的情形均满足题意。另外，图⑨的情形不合题意，注意要舍去。解：（1）如图④（2）如图⑤（3）答案不唯一，如图⑥、⑦、⑧所示的三角形面积均与△ABC的面积相等，且不与△ABC全等。评析：格点问题是在假定了问题背景的前提下而设置的问题。对于格点问题，常要结合格点特征，合理使用单位正方形，适当的时候，还要进行相应的计算。例2义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元。（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据义洁中学的实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号小黑板总数量的。请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？一点通：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型需（x－20）元，根据购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元可列方程求解。（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60－m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元。并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的QUOTE13，可列不等式组求解。解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，5x+4（x－20）=820，x=100，x－20=80，所以购买A型小黑板需100元，B型小黑板需80元。（2）设购买A型小黑板m块，QUOTE&100m+80（60﹣m）≤5240&m＞60×∵m为整数，∴m为21或22，∴当m=21时，60－m=39；当m=22时，60－m=38，∴有两种购买方案方案一：购买A型小黑板21块，购买B型小黑板39块；方案二：购买A型小黑板22块，购买B型小黑板38块。评析：处理不等问题的关键是找出不等关系，找不等关系时要关注题目中的关键词，如“不超过，不少于”等。综合运用类例3在一次数学探究型学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。它们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二。（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。一点通：能否制成圆锥，关键是看能否剪出一个圆的周长等于扇形的弧长，这是问题（1）的出发点，需通过计算来判断；问题（2）的答题关键是利用“圆锥底面周长等于侧面展开图弧长”与“的长恰好等于正方形的对角线的长”构造方程组求解。解：（1）理由如下：∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm。由于所给正方形纸片的对角线长为16cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋4＝（20＋4）cm，20＋4＞16，∴方案一不可行。（2）方案二可行。求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则由①②可得，r＝。故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm。评析：本题从阅读（学习）能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生进行了全面的考查，试题突出了数学本质，强化了对数学通性通法的考查。例4随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加，某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，两种轿车的进价和售价如下表：（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润。（注：其它费用不计，利润=售价－进价）。一点通：根据“经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车”，建立不等式组，而采购车辆数为整数，变无限解为有限解，方案也就出来了。解：（1）设订购甲种车为辆，则订购乙种车为辆，由题意，得，解得，∵为整数，∴取11，12，13，30－取19，18，17。答：该经销商订购甲、乙种车共有3种方案：方案一：甲车11辆，乙车19辆；方案二：甲车12辆，乙车18辆；方案三：甲车13辆，乙车17辆。（2）设经销商全部售出甲、乙两种车后获利万元，由题意，得：，∵，∴随的增大而减小。∴当=11时，（万元）。∴当售出甲种车11辆，乙种车19辆时，该经销商获得的最大利润为22.9万元。评析：解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答。思维拓展类例5在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，。现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水。【方案设计】某班的数学兴趣小组设计了两种铺设管道的方案：图（1）是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图（2）是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）。【观察计算】（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图（3）所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，km（用含的式子表示）。【探索归纳】（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考下边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？一点通：题中设计了两种管道铺设方案，方案一中长度可直接求得，方案二中长度可利用勾股定理来求。比较两种方案管道长度时要认真阅读题中的方法指导，同时要注意分类讨论思想的应用。解：【观察计算】（1）；（2）。【探索归纳】（1）①；②；（2）。①当，即时，，。；②当，即时，，。；③当，即时，，。。综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一。例6某中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）。其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）。（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性。一点通：（1）由于小汽车在距离考场15千米的地方出现故障，所以另一辆小汽车把自己车上的人送到市区后再回来送这一批人所走的路程应该为15×3，如果根据已知条件计算即可判断是否进考场的时刻前到达考场；（2）方案1：设这车送4人到达后返回，再经过x小时后碰到另外步行的4人，那么车和步行的人是相遇问题，由此即可路程方程解决问题；方案2：用车送4人，另4人同时步行，车送到某一地点时让车上4人下车步行，车返回去接先期步行的4人，当8人同时到达考场时。解：（1）（分钟），，不能在限定时间内到达考场。（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场。先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）。0.25小时内另外4人步行了1.25km，此时他们与考场间的距离为（km）设汽车返回与步行的4人相遇，，解得。汽车由相遇点再去考场所需时间也是。所以用这一方案送这8人到考场共需。所以这8个人能在截止进考场的时刻前到达考场。方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场。由处步行前往考场需，汽车从出发点到处需，先步行的4人走了，设汽车返回（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，所以相遇点与考场间的距离为。由相遇点坐车到考场需。所以先步行的4人到考场的总时间为，先坐车的4人到考场的总时间为，他们同时到达，则有，解得。将代入上式，可得他们赶到考场所需时间为（分钟）。。∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场。评析：此题比较难，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是：（1）根据题意建立函数关系式；（2）根据实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）根据函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。问题：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：方案1所有评委所给分的平均数。方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数。方案3所有评委所给分的中位数。方案4所有评委所给分的众数。为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验。下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。一点通：本题关键是理解每种方案的计算方法：（1）方案1：平均数=总分÷10。方案2：平均数=去掉一个最高分和一个最低分的总分÷8。方案3：10个数据，中位数应是第5个和第6个数据的平均数。方案4：求出评委给分中出现次数最多的分数。（2）考虑时应涉及不受极值的影响，不能有两个得分等原因，从而进行排除。解：（1）方案1的最后得分：；方案2的最后得分：；方案3的最后得分：；方案4的最后得分：或。（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案。因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。评析：本题用到的知识点：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数。中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间的数据（或中间两个数据的平均数）叫做中位数。平均数=总数÷个数。学会选用适当的统计量分析问题。（答题时间：60分钟）1.认真观察图①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征。特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________。（2）请在图②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征2.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案。图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形。种植花草部分用阴影表示。请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案。提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种。3.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？4.某校九年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位。（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？5.甲、乙两地工厂分别生产17台，15台同一种型号的检测设备，全部运往A,B两个场馆。A馆需要18台，B馆需要14台。（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式。（2）要是总运费不高于20230元。请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案。（3）x为多少时，总费用最小，最小值是多少？表1出发地目的地甲地乙地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台表2出发地目的地甲地乙地A馆（台）（台）B馆（台）（台）6.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题。两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积（单位：m2/个）使用农户数（单位：户/个）造价（单位：万元/个）A15182B20303已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2（1）满足条件的方案共有几种?写出解答过程。（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱。7.2011年我国云南盈江发生地震，某地民政局迅速组织了30吨饮用水和13吨粮食的救灾物资，准备租用甲、乙两种型号的货车将它们快速运往灾区。已知甲型货车每辆可装饮用水5吨和粮食1吨，乙型货车每辆可装饮用水3吨和粮食2吨。已知可租用的甲型货车不超过4辆。（1）若一共租用了9辆货车，且使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？（2）若甲、乙两种货车的租车费用每辆分别为4000元、3500元,在（1）的方案中，哪种方案费用最低？最低是多少？（3）若甲、乙两种货车的租车费用不变,在保证救灾物资一次性运往灾区的情况下，还有没有费用更低的方案？若有，请直接写出该方案和最低费用，若没有，说明理由。（租车数量不限）8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个。商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p的关系为p=；试通过计算，判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！9.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系。（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元。试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

1.解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积……（2）满足条件的图形有很多，只要画出正确的一个即可。2.解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一。3.解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。由题意，得，解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台。（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器的日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元，新购买机器的日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元，新购买机器的日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约了2万元资金，故应选择方案二。4.解：（1）设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x＋15）个，依题意有解之得：x1＝45，x2＝－90（不合题意，舍去）答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个。（2）①若单独租用中巴车，租车费用为×350＝2100（元）②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400＝2000（元）③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有45y＋60（y＋1）≥270解得y≥2，当y＝2时，y＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝270符合要求这时租车费用为350×2＋400×3＝1900（元）故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元。5.解：（1）如表出发地目的地甲地乙地A馆（18－）（台）B馆（17－）（台）（－3）（台）（2）依题意解之得，因为为正整数，、4，故有两种方案。方案1：从甲地运往A馆