三角形单元有限元

结构有限元法第1章 三角形常应变单元的有限元法第2章有限元程序设计与分析软件第3章平面问题高阶单元的有限元法第4章空间实体的有限元法第5章杆系结构的有限元法第6章板壳问题的有限元法第7章结构动力问题的有限元法？第8章弹塑性问题的有限元法结构有限元分析

第1章三角形单元的有限元法1.1有限元法的基本思想

有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算容易地在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS,SAP2K把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。○○①②③④⑤⑥⑦⑧12345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号有限元法主要优点：（1）概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题）（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。1.1.1有限元法的分析步骤

（1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。l/2l/2P123①②1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4单元的节点上有位移和力F（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4l/2l/2P123①②1.1.2有限元法分析思路流程解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散（剖分）结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)（1-1）2、单元内任意点的体积力列阵qV（1-2）1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV·qs·1.2基本力学量矩阵表示图1-1ijmxy·uv3、单元内任意点的位移列阵f（1-3）4、单元内任意点的应变列阵（1-4）ijmxy·5、单元内任意点的应力列阵（1-5）6、几何方程（1-6）将上式代入式(1-4），ijmxy·（1-4）7、物理方程矩阵式（1-7）式中E、——弹性模量、泊松比。上式可简写为（1-8）其中对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：(1-9）矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）中的E换为，换为。(1-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变分量)有区别，弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。1.3位移函数和形函数1、位移函数概念由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。图1-2是一个三节点三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：（1-10） 一个三角形单元有3个节点（以i、j、m为序），共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：(1-12）式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、a3、a5、a6代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。(1-11）ijmuiujumvivjvmxy·uv选取位移函数应考虑的问题

（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；

（3）位移函数中待定常数个数

待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；

（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。

（5）位移函数中必须包含单元的常应变。

（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。（7）位移函数的形式

一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。

(a2,a6,a3+a5)

位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单元，如③单元，取位移函数：①、②灿、③、你④单元务的位移虫函数都亚是可以看价出：位移函鹅数在单蕉元内是辽连续的蛇；以③、④掏的边界2始6为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线扭上有两个张点重合，慈此两条直删线必全重啊合。位移函数宁在单元之械间的边界短上也连续廊吗？是。3、形桶函数形函数是诸用单元节辩点位移分法量来描述馅位移函数性的插值函顽数。(1-呢13）（1）形出函数确定现在，誉通过单嘱元节点胆位移确宁定位移互函数中搭的待定狗常数a1、a2、…、a6。设节点i、j、m的坐标护分别为汤（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），节苗点位移筑分别为留（ui、vi）、劳（uj、vj）、逗（um、vm）。将滑它们代嫁入式（描1-1朗2），惊有从式(1贝-13）丘左边3个僻方程中解擦出待定系象数a1、a2、a3为(1-本14）式中，辆A为三角典形单元的蕉面积，有(1-哄15）特别指出盼：为使求得义面积的值俊为正值，张本单元节题点号的次负序必须是逆时针转向，怒如图所凯示。至货于将哪帽个节点遵作为起绝始节点i，则没洲有关系补。将式(牺1-1靠4）代内入式(这1-1训2）的活第一式深，整理张后得同理ijmxy（2）（1）（7）(1-1对6）式中(1-17）

ijm式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下标，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情况时，照此推理。式(1-17）表明：aj、bj、cj～am、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。(1-16）令(1-18）

位移模式办(1-1喝6）可以渗简写为(1-19）

式(1-至19）中虹的Ni、Nj、Nm是坐标的纵函数，反牌应了单元的的位移形示态，称为晴单元位移驶函数的形宪函数。数纪学上它反最应了节点浊位移对单斩元内任一伯点位移的量插值，又欣称插值函森数。(1-16）用形函数穴把式(1扎-16）戒写成矩阵温，有缩写为(1-20）形函数是虹有限单元着法中的一凉个重要函辨数，它具竿有以下性污质：[N]非为形函挨数矩阵励，写成严分块形霞式：(1-鸦21）其中子矩皱阵(1-2咐2）[I]辰是2×桐2的单需位矩阵乳。（2）形虫函数性质性质1形函数渠Ni在节点i上的值互等于1甲，在其隔它节点上的值等前于0。对侦于本单元破，有（i、j、m）性质2在单元汤中任一阔点，所凡有形函连数之和踩等于1军。对于本单元脆，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm图1-3？？？xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1图1-役4也可利渠用行列价式代数巴余子式输与某行泉或列元摸素乘积径的性质其（等于努行列式押值或0展）证明忽。性质3在三角犯形单元裤的边界ij上任一点旺（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证图1-所5（1）性质4腐形签函数在单婆元上的面稳积分和在有边界上的艰线积分公院式为(1-23）式中为边的长度。1.4饿单元旷应变和应俩力根据几道何方程判(1-对6）和活位移函摄数(1酬-16鲜）可以这求得单蛾元应变此。1、单元曾应变(1-6）对位移函雀数（式(僻1-16值））(1-24）(1-16）求导后阵代入式猪(1-虫6），傻得到应披变和节配点位移芦的关系比式。上式简写暗一般式：(1-25）式中，窑[桶B]—态—单元黎应变矩冒阵。对本问题齐，维数为墙3×6。爸它的分块粗形式为：子矩阵(1-26）由于与x、y无关，都是常量，因此[B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。2、单购元应力将式(1瞎-25）解代入物理餐方程式(躁1-8）扎，得单勒元应力(1-27）也可写剥为(1-28）其中：估[S]恋称为单元应力狐矩阵，并有(1-29）这里，些[D]痰是3×歇3矩阵鹊，[B轮]是3扔×6矩储阵，因便此[S因]也是件3×6盘矩阵。帜它可写涌为分块件形式(1-30）将弹性煎矩阵（泥式(1拘-9）另）和射应变矩句阵（式晶(1-绢26）降）代入愿，得子顾矩阵[须Si]由式(仅1-2处9）(1-31）式(1-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成，换成即得。(1-32）由于同一支单元中的撑[D]、介[B]矩丑阵都是常狠数矩阵，药所以[S菠]矩阵也能是常数矩厕阵。也就甘是说，三矩角形三节奔点单元内典的应力分窗量也是常仍量。当然，相酱邻单元的依bi、ci(i，j，m)一般笛不完全滤相同，麻因而具酸有不同暮的应力腊，这就久造成在尖相邻单沿元的公身共边上案存在着应力突变霉现象。但是随羽着网格的峰细分，这撤种突变将或会迅速减欲小，收敛弦于平衡被薪满足。1.5钉单局元平衡大方程1、四单元应沸变能对于平面停应力问题境中的三角蔽形单元，口设单元厚丝式度为h沟。将式(貌1-2牙5）和炮(1-给8）代泊入上式艇进行矩克阵运算话，并注援意到弹亏性矩阵狡[D]版的对称围性，有应变能锦U为ijmxyh(1-25)(1-8）由于和T是常量诊，提到何积分号悟外，上贪式可写底成引入矩到阵符号剪[k]勿，且有(1-33a）式(1酬-33水a）是轨针对平储面问题狠三角形逼单元推刃出的。催注意到酸其中hdx翼dy的实质是填任意的微膝体积dv垦，于是得详计算[k输]的一般式。(1-33）式(1星-33龙）不仅丙适合于必平面问闯题三角线形单元来，也是未计算各报种类型役单元[幕k]的名一般式苹。dv1.6节存中将明确声[k]的泪力学意义矩是单元刚扰度矩阵。配式(1-纪33）便绣是计算单屯元刚度矩近阵的基本未矩阵式。毙它适合于俗各种类型欺的单元。单元应曾变能写五成(1-34）2、单适元外力势薄能单元受拐到的外剩力一般读包括体积力、表面力和集中力。自重属乡丰于体积力炼范畴。表生面力指作仓用在单元睡表面的分主布载荷，准如风力、漫压力，以翻及相邻单刊元互相作艘用的内力穴等。(1-33）（1）系体柔积力势召能单位体积租中的体积葱力如式(1须-35）煮所示。单元上体六积力具有息的势能Vv为(1-35）ijmxy·qVxqVyijmxy·uv注意到若式(1专-20午）有(1-20）（2）障表互面力势山能面积力井虽然包灭括单元幸之间公呆共边上哨互相作熔用的分骂布力，千但它们拆属于结仪构内力纱，成对锡出现，漏集合时你互相抵扔消，在脱结构整剩体分析饼时可以关不加考凭虑，因景此单元买分析时保也就不维予考虑网。现在，只柜考虑弹性怜体边界上兴的表面力连，它只在询部分单元穴上形成表马面力（右宏下图）。藏设边界面落上单位充面积受辛到的表侍面力如下式来：l—单元边谱界长度h—单元厚谜度A—表顾面力作饱用面积①②③④qsqs沿厚佛度均匀老分布，则单元表呜面力的势温能Vs为（3）挣集中力宣势能当结构河受到集房诚中力时值，通常浅在划分争单元网炒格时就旷把集中局力的作嫂用点设凡置为节才点。于望是单元港集中力Pc的势能Vc为p①②③④③③p/2C（4）总势能把(1防-35歇）式中喉原括符坚内的部刃分用列驾阵Fd代替，综合以上非诸式，单巩元外力的港总势能V绞为(1-35）Fd具有和滋相饮同的行、肯列数。则(1-36）由单元的误应变能U粪(1-3蜂4）和外证力势能V筑(1-3顽6），可矛得单元的阶总势能(1-37）将式(1氏-37）衡代入，根据弹米性力学谜最小势烟能原理凉：结构陡处于稳定平衡的必要称和充分思条件是总势能有颗极小值。3、单伪元平衡程方程于是有，(1-34）(1-36）式(1-淹38）是张从能量原鹿理导出的醋单元平衡垦方程。这在个方程表嫁达了单元勿力与单元宝位移之间酒的关系。蜂其中，Fd和单元柏节点力栗F具有饥相同的意敏义。(1-血38）即得单元叙平衡方程1.6天单元刚哪度矩阵平衡方程线(1-3狱8）中的贯矩阵[k欺]是单元虑力和单元管位移关系摘间的系数塞矩阵，代符表了单元惑的刚度特傅性，称为齿单元刚度籍矩阵。单押元刚度矩挽阵的体积傍为nj×nj，nj是单元沿位移总修数。其腿一般计仅算公式详为：1、一伶般计算胖公式它与单元亮应变矩阵研[B]和籍弹性矩阵瞒[D]有落关。(1-33）对于平近面应力灯三角形滋单元，拘应变矩课阵[B船]是常伞数矩阵娃，同时冷弹性矩虹阵[D胳]也是尽常数矩腰阵，于索是式(哲1-3柔3）可及以化简斩为式中A跟表示三豪角形单警元的面甩积。h能是单元世厚度。2、平尖面问题耽三角形驳单元刚亭度矩阵（1）恭平面应覆力三角场形单元(1-39）将式(1杏-9）和盗(1-2鹿6）代入果上式，即得平茅面应力伏三角形悠单元刚芹度矩阵匆。写成炊分块形丢式，有(1-40）(1-9）(1-26）式(1-落40)中暑子矩阵[么krs]为2×林2矩阵，框有(1-众41）（2）怒平面应容变三角瓣形单元对于平面应变问题，须将上式中的E换为，换为，于是有，组合见式(1-40）其中，罚bi(j犬,m)、ci(j铃,m)是形函数尸式(1-僵16）中炒的系数(帽式2-1肚7)。(1-宪42）平面问允题的单慢元刚度舱矩阵[派k]不光随单元闯（或坐卡标轴）恼的平行惕移动或厅作n角度（n为整数）居的转动而毙改变。由公式(知1-41墨）、(1弓-42）转知，[krs]矩阵和倡其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。①篮单元平河移时，bi、ci不变。，组合见式(1-40）(3)筋三角欢形单元笨刚度矩申阵与坐脂标系无辅关ijmxyo②夕单元转向动时，bi、ci不变。当单元循旋转时上，各节帜点的编着号保持子不变。惧如图1浪-7所去示，图内a所示牙的单元亡旋转时，到达牧图b所示月位置。(1-17）

ijmyjymijm图1-7xyo(b)xyo(a)jim可以证吴明，这裁两种情骂形的[我k]是何相同的辽。其实，熔推演公懒式(1揭-40焰）、(烘1-4销1）、墨(1-半42）住时并没首有规定辰坐标系敬的方位奴，当坐约标系旋违转任意犁角度时劝，也不叹影响刚泰度矩阵达的结果总。因此柜，平面问割题的单疗元刚度座矩阵可掌以认为漏是结构繁坐标系哭中的单椒元刚度圈矩阵，怕没有坐型标变换爬问题。(1-3扩8）（1）单源元刚度矩爱阵中每个惕元素有明翅确的物理狮意义例如，kij表示单际元第j个自由度昨产生单位少位移(j=1)，其他自由杨度固定（绣=0）时侄，在第i个自由度玩产生的节伟点力Fi。主对角烫线上元村素kii(i=1,熔nj)恒为正乱值。3、单元封刚度矩阵数性质（2）驰[k]链的每一长行或每词一列元根素之和陈为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式锈中第i行为例圈，当所有拣节点沿x向或y向都产生单显位位移时蚕，单元作衡平动运司动，无炎应变，柜也无应算力。则有：即：[k陶]的每一炊行元素之左和为零。扭根据对称直性，每一乓列元素之的和也为零从。rstxy图1-6（3）剥[k]斑是对称站矩阵由[k]各笼元素的表达飞式，可职知[k龙]具有宵对称性狗。njnj对于主对架角线元素述对称。对量称表达式龟：kij=kji证明①kij表示当单灶元位移中跪第j个元素钱为1(j=1)其余元素惕为零时，单引起的单条元力中的雨第i个节点力喊Fi②kji表示当初单元位够移中第i个元素为迅1(i=1)其余元削素为零券时，引呜起的单纲元力中末的第j个节点力胳Fj第i自由度第j自由度位移i=1j=1力Fi=kijFj=kji虚功Fi

i=kijFj

j=kji由虚功原专理，得kij=kji（4）昂单元刚凡度矩阵切是奇异优矩阵即[k]畏的行列式尊为零（由查行列式性为质）。单元刚匠度矩阵侦是在单营元处于魂平衡状烫态的前适提下得软出的。夕单元作裕为分离认体看待坚，作用丛在它上牺面的外沃力（单茧元力）测必定是旅平衡力绒系。然年而，研培究单元愈平衡时恶没有引时入约束坐。承受平峰衡力系跳作用的险无约束厌单元，姑其变形嫩是确定吐的，但渣位移不世是确定封的。所以出现断性质（3惯）中的“改平动问题分”，即单曲元可以发瓜生任意的派刚体运动奏。从数学步上讲，方萝程(1-威28）的钉解不是唯津一的或不宴能确定的讽。由此，陶单元刚度叙矩阵一定仁是奇异的啊。（5）棋单元刚规度矩阵功是常量鸡矩阵单元力和请单元位移织成线性关肯系是基于竭弹性理论赞的结果。4、例珠：平面辛应力直看角三角棵形单元另刚度矩洋阵图1-8丽示出一平翅面应力直录角三角形鞠单元，直院角边长分宜别为a、吩b，厚度至为h，弹求性模量为广E，泊松掏比为，计算挪单元刚本度矩阵取。图1-搂8ijmabxy第一步：己计算bi、ci和单元面积A。图1-8（1-17）

ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表2-1棉单元节点省坐标和bi、ci值（i、j、m）参数节点单元面但积:A=a千b/2①计平算步骤第二步：向求子矩阵由式(康1-4忌1），萌算得其他从仔略。第三步存：形成怀[k]将[kii]等按皆式(1墙-40版）组集赚成[k瓣]。(1-4荡3a）2i-紫1蹦2i脏2杏j-1坦2闹j社2m-接1喂2洲m2i-12i2j-12j2m-12m红色号节码是单元位丙移（1、2、…）叨在结构理中对应岔的节点相位移的帖序号。ijmijmi、j、m表示单元竖中3个节心点在结构匪系统中的宝编号。当a=b束时，即等聋腰直角三孕角形单元其，有(1-4翅3b）i岗j草mijm1.7健等价节厚点力从前面单梅元分析可韵以看出：肺单元平衡酱所用到的访的量均要鸭属于节点笨的量，如肃单元位移榨、单元力腐。载荷亦定应如此，摩必须将体侮积力、表出面力转化呼到节点上蝇去，成为讽等价节点都力（载荷罩）。在第意2.5节拆中已经得篇到了公式蓝(1-3疫5）和(真1-36副）。这里，Fd就是作体积力苗、表面速力和集损中力之仙和的总劝等价节割点力。(1-35）(1-36）(1-44）把总等价晋节点力Fd分解成体良积力、表汇面力和集栏中力的等杂价节点力助之和，有FV——间单元上现体积力喉的等价夜节点力FS——惊单元上颠表面力蛙的等价奶节点力pC——交单元上板节点上框的集中膜力注意到式快(1-3奔5），得嘱体积力等轰价节点力桂计算公式杜：表面力撤的等价田节点力钟计算公禽式：(1-45）(1-46）1、体致积力的穴等价节回点力2、表华面力的细等价节枣点力3、等鞋价节点盗力计算胀举例（1）成单元自蕉重图1-帅9所示递平面应届力三角艺形单元支，单元捆厚度为段h。单饿元单位删体积自茂重为，自重酸指向y械轴的负春方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmy(1-45）①耳计算式(1-21）图1-9xyijm-注意到形狡函数的性吉质4：(1-23）得自重荷换载的等价乞节点力(1-22）（i,j,m）根据体纪积力和涛式(1愚-45晚）、(卡1-2倘1）、糠(1-届22）分，得(1-4兆7）上式表明钩：自重载赔荷的等价嫌节点力为崭单元重量炮的1/3铲。（2）均孕布面力ijm图1-10xyqs单元边界信上作用了盆均匀的分违布力，如粮图1-1违0所示，初其集度为qs。(1-46）(1-21）根据式(岛1-46偶）、(1角-21）量和(1-圾22）①巩计算式注意到紧形函数蓬性质4洲：(1-23）得(1-48）(1-22）均匀分翠布力的祝等价节训点力为式(1-府48）表底明：在i份j边上受桥均布面力作的平面问撕题三角形条单元，其脆等价节点监力等于将移均布面力橡合力之半寻简单地简献化到i、j节点上，徐方向与分挡布力方向粉相同。m穗节点上为核零。(1-48）ijmxyqsxFs1Fs3ijmxyqsyFs2Fs4（3）直线性分答布面力ijm图1-11xys表面力集度在i点为[qsxqsy]T，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向，。ij边上任一租点的面力语集度qssqsiqsijm图1-12xysl在ij边上有傻：将qs和上式代丝式入式(1绍-46）里，有由形函数犹的性质3建：(1-49）式(1-轿49）表尤明：ij只边受线性惧分布面力船：i点为[qsx,qsy]T，j点为0时，其黄等价节尝点力可爹将总载蚕荷的2桂/3分宿配给i岁点，1酷/3分特配给j闯点，m拢点为零尊得出。xyijmqsiqs体积力和折表面力向嗽节点的移档置符合静魄力等效原恶理的前提浆条件是：掠线性位移六模式。1.7依系久统分析1.7浩.1圈坐健标系研究各贝离散单俯元集合煎成整体斧结构，屋集合整挖体结构巡寿的平衡徐和变形躬协调，局建立整半体结构奴平衡方亲程。单元分趋析时采蚀用的坐讽标系成姨为局部蜘坐标或挪单元坐丘标（单魔元刚度魔矩阵的姑通用性丙）。而邀结构系临统分析圆时，必捡须在统桑一的坐斤标系内添进行（佩各力学斜量才能嘉叠加）冬，称为“结钥构坐标”觉或“整体敞坐标”，如图1怪-13所写示。单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：XYXYP○○○○○P图（1-13）(a)平面桁架(杆件单元)悬臂深梁(平面三角形单元)xyxyxyxy如何从蝴单元坐帆标转化逼为结构都坐标将渔在第4盗章中讨柄论。1.7桐.2助整体俘刚度矩甜阵假设整体兄结构被划新分为ne个单元和会n个节点瞎，在整体理坐标系下纤，对于每范个单元均足有：将上述织这些方斗程集合床起来（么整体坐夹标下叠注加），郑便可得揪到整个酒结构的负平衡方轰程。为乏此，需舱要将[有k]、垃{δ}、{健F}体敌积膨胀蛙，分别追扩大为n1×n1、n1×1和n1×1的矩阵才杠能相加。伍膨胀后，到原有节点丸号对应位激置的元素均不变，而胸其它元素狭均为零。组装方挖法：建立一底个体积必为n1守×n1闸的方阵居，按单浓元序号会依次把拨结构坐岁标单元姿刚度矩熄阵的元击素放入映该方阵宋中。放入方法烟：（1）按亭单元节点案编码对号入辉座；推（2券）同位置雪元素累豪加。式中：[需K]为整财体刚度矩曲阵，{Δ}为整敞体节点关位移列采阵；{证P}为志整体等凶价节点屠荷载列伙阵。如坚下：（1-茄50）ijmijm例：平面陷三角单元双行双列1.7无.3毕结核构刚度辣矩阵特盲性1、结构姑刚度矩阵负元素的力架学意义把方程惭(1-派50）何写开，=1=0=0=0=0=0(1-5包1）2、结妈构刚度艰矩阵是奇对称矩山阵已知单默元刚度躲矩阵是遮对称矩闷阵（1乞.7节垒），用灾单元刚剩度矩阵锈组集结构刚栋度矩阵鲁的过程又乌没有破孙坏其对称高性，结抄构刚度矩阵侵必然也是对称欣的。当彩然，对称性量也可以寺通过虚功留原理得课到证明暗。结构刚度研矩阵中的兔任一元素kij是j为单位卡位移（j=1），其它央位移为黑零时的功Pi。3、结民构刚度窑矩阵主宵对角线跪上的元鸦素恒为本正值由性质(究1)可知诵，任一主名对角线上虎元素kii是使节点援位移i为一单妹位位移廊，其它网节点位炊移为零腥时必须碍在第i号位移方赠向施加的枝力Pi。它的佳方向自市然应与错位移方钟向相同注，因而储是正值会。4、结构策刚度矩阵宫是一个稀思疏矩阵稀疏矩阵裹指：存在劈燕大量零元摧素。非零扮元素稀疏必排列。矩阵的每贤一列都有拾很多零元嗽素。考察形矩阵中第j列。再分析店图（1谣-14偿）。设铺节点b并发生单铃位位移j=1，迷其它位吸移为零瓣时，j只能在盯与点节过b有直及接联系剑的q匪、虹r节点恨引起节耐点力，亦不能在其它吗节点引啦起节点力。所以甘式（1-健52）中，只有蛙和q、p胖、r、b节点蚁位移的逮相关元躬素才不为兴零，其托余的元中素都是零元榆素。任一元素kij是j=1（其匆它=0僚）引起的熊Pi（i=1、2叮…）（1-52）j=1t图（1-14）pqrscbb其它各价列的情时况也是鞋类似的尚。结构的杨节点总转数通常铸都比直毒接环绕稻于任何缸一个节玻点的节疏点数大茶得多，玩因而，叫结构刚傅度矩阵如中很大摩一部分徐元素是车零，即女所谓的评稀疏矩磨阵。5、结构碗刚度矩阵站是一个奇倒异矩阵从单元童刚度矩促阵的奇宋异性讨申论中知繁，处于静草力平衡迈状态的已无约束步单元可枣以发生酒任意的育刚体位羽移。与单元报刚度矩阵岔是奇异矩济阵的理由绵一样，无棒约束结构框的结构刚县度矩阵[疲K]也是依奇异矩阵走，即[K皱]的行列衡式为零。1.7赔.6芽引雾入支承骂约束的胃结构节绑点平衡本方程6、结构惯刚度矩阵表是常量矩谋阵结构刚卖度矩阵彼是常量肃矩阵。角结构的痒节点力给和节点舟位移成叼线性关印系都是便基于弹徒性理论跟的结果蹄。（1-53）用平衡方乒程（1-树53）是蹄解不出结谱构的节点锹位移甜的，因删为结构膛刚度矩安阵是奇束异矩阵俯。因此怪，必须引入约以束，排笼除任何活刚体位米移，使筐结构为洪几何不遮变体系劝。方程（1母-53）纳中的刚度晨矩阵[K秃]和节点酱荷载向量与列阵P误可分割搅为约束萍和自由足两部分摸：（1-54）式中，Pr是支异承反力颂，约束黎位移自由约束(1-55）(1-56）展开（哗1－5执4），教有：[Kff]——傻引入约坝束后的俘结构刚帮度矩阵阶。它通查对[K挡]引入约束猎后获得，具体方法栏:从印无约束的悲结构刚度项矩阵[K终]中删去信与受约束姻位移号对拉应的行和布列，再将抢矩阵压缩分排列成n树×n阶方敬阵，即为铺约化后的拌结构刚度锐矩阵[Kff]。[Kff]这是迁一个非唱奇异矩袭阵，它对存在逆臣矩阵。方程(1毒-55）恰是引入约妄束后的结吵构节点平化衡方程，伟用于计算如结构所有谅非刚性约可束节点的晴节点位移计。而方程(1小-60）判可以用来伴计算结构罩所有受刚爸性约束节件点的反力返。(1-61）由式(1傅-55）田即可解出划全部未知皮的节点位款移：1.7错.7免节点唇位移和潜单元力混的解答1、结颗构节点待位移2、支概座反力把解出旷的f代入(搏1-56削），即得估支座反力狡Pr：关于方陕程(葛1-6折1）的与解算方永法，当叮[Kff]采用仗本章中啊上述方疏法组集浊时，可松直接采亩用结构努力学中犹的高斯票（Ga禁uss朋）法求得解。(1-56）至此，我凑们可以看基出：系统秤分析的主休要任务是壶：（1）祝组集引因入约束穴后的结吼构刚度劝矩阵[疏Kff]；（2）求吩解式(1客-55）退给出的线正性代数方个程组。算眨出全部未秋知的节点盯位移。至于支座悉反力的计缩慧算，实际驾计算时，足根本不去尿组集式(印1-56坚）中的矩茅阵[Krf]，不胆用式(童1-6抬2）而蛙是直接月对支承点赚使用节盯点平衡方程计蕉算。3、单元慈力(1-62）（1）全配解公式全解是鸭指结构宁在未经胁简化的杀实际荷叛载作用渡下（全跪解系统幕）的解堤答。余解是结构在节点荷载作用下（秋余解系统门）的解答堂。节点荷恩载包括原读来