指向核心素养的高中数学实验案例研究 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选指向核心素养的高中数学实验案例研究摘要：2022年高考数学中的立体几何客观题侧重于考察学生的直观想象、逻辑推理和数学计算等核心素养。在对高二学生进行调查与试验后，发现直观想象素养的不足是普遍的问题，数学实验是促进直观想象素养提升的有效途径，也为逻辑推理与数学计算等素养的提升奠定基础，但立体几何方面的数学实验难以开展，这是教师要思考和解决的问题。本文的案例设计是以高考题为背景，提炼出一般原理后运用GeoGebra软件设计动态的立体几何数学实验，探究数学实验的方法与形式。关键词：数学实验，GeoGebra软件，核心素养，高考试题2022年高考已经落下帷幕，新的高考数学试卷揭开面纱，作为最权威的资料，高考试卷是高中数学教师重要的研究对象之一。研究高考试卷的目的，一方面是为课堂教学确立合理的目标和内容，以提高教与学的效率，另一方面是反思自己在教学中存在的不足和误区，以校正教与学的方向和方法。笔者首先关注了试卷中客观题的立体几何试题，从题量来看，各套试卷中立体几何的客观题为两题或三题；从考察的知识点来看，主要是空间中位置关系的判断以及表面积、体积和空间角的计算；从考察的几何体上看，有长方体、正方体、圆锥、棱锥、棱台和球体。其中，全国乙卷理科数学第9题（文科第12题）和新高考数学Ⅰ卷第8题都是以球的内接几何体为载体，这是典型的题型，师生的关注度都比较高，同时难度也较高，对于学生的数学核心素养有较高的要求。所以笔者着重对这两题进行了研究，引发了对即将到来的高三数学教学的思考。一、通过调查与试验发现教学中存在的问题 为了调查即将升入高三的学生解决立体几何问题的能力，随机抽取20名高二学生，将下面的两道高考题发给学生进行试验。2022年全国乙卷理科数学第9题（文科数学第12题）：已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.1B.1C.3D.2323212022年安徽省中小学教育教学论文评选2022年新高考数学Ⅰ卷第8题：已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.B.C.D.[18,27]这两道试题在命题形式上延续了全国卷的特点，是立体几何中的典型试题，试题基于棱锥和球面，考察学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学计算能力，难点是在立体几何中融入用导数求函数最值的环节，提高了试题的难度，对学生的数学核心素养提出了更高的要求。试题考察对象为棱锥和球的相关知识，对“知识和能力”的要求是画出直观图，根据直观图或轴截图推导出棱锥的底面外接圆半径与球的半径满足的关系，建立体积的函数关系式，并运用导数求出体积的最值。对“数学核心素养”的要求是具备较高的直观想象、逻辑推理和数学计算素养。试验学生中有约1学生因不能画出直观图而导致失分，3在能画出直观图的学生中，只有约1的学生能够推出棱锥的底面外接圆的半径与球的半2径满足的关系并建立函数关系式。从试验的结果看，存在的问题是学生的空间想象能力严重不达标，最直接的体现是不能根据语言描述绘制准确的直观图，从而导致后续的逻辑推理和数学计算成为空中楼阁。二、根据课程标准提出教学中要解决的问题2020年修订的课程标准指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。从课程标准的角度看全国乙卷和新高考Ⅰ卷的考题，这两题的解决步骤完美呈现了课程标准的要求，第一步是借助直观图认识棱锥与球的位置关系、形态变化，第二步是利用直观图或轴截图建立形与数的联系，构建几何问题的函数模型，第三步是对函数模型进行计算，得到几何问题的答案。课程标准同时指出：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是22022年安徽省中小学教育教学论文评选探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。按课程标准的要求反思调查与试验的结果，要解决的突出问题是：怎么培养“直观想象”素养？反思我们的课堂教学，对于有图象的立体几何试题，学生往往善于并乐于探究；对于没有图形的立体几何试题，教师往往首先作出图形，然后在引导学生探究。这样的教学直接剥夺了学生锻炼“空间想象能力”的机会，课堂上获得的分析问题、解决问题的能力没有根基。所以，在教学中要培养学生“直观想象”的素养，就要给予充足的时间保证学生直接经验的积累。三、以“数学实验”作为解决问题的方法课程标准的教学提示中指出：立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。解决问题的关键是“提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征”，方法之一的“实物模型”难以实现空间几何体的动态变化，同时不能保证有足够的数量让所有学生都能得到动手操作的机会，所以计算机软件就成为首选的方法。在函数和平面几何领域许多软件都可以完美实现动态化，教师们广泛使用的是“几何画板”软件，但该软件有两个明显的缺点，一是其立体几何功能非常弱，空间几何体的动态演示很难实现，二是没有Android版本，不能安装在智慧课堂的学生平板电脑中。而2019年人教版普通高中数学教科书推荐的GeoGebra软件很好的解决了问题。GeoGebra软件是一款结合几何、代数与微积分的动态数学软件，不仅有“几何画板”的优点，还有更加强大与丰富的功能，其“3D视图”功能可以完美实现空间几何体的动态演示，是高中数学教与学的好帮手。该软件是一款跨平台的免费软件，可以安装在各种电脑、手机和智慧课堂的平板电脑中，为实现立体几何的数学实验提供了可靠的工具。反思学生“直观想象”素养不达标的主要原因是在课堂教学中教师将主要时间和精力放在逻辑推理和数学计算上，而缺失了“认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能”。所以给予充足的时间，让每个学生都能参与到对空间几何体的分析与探究是解决问题的策略，数学实验就是最好的手段。数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物。数学实验的目的是提32022年安徽省中小学教育教学论文评选高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识去认识问题和解决实际问题的能力。不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主的数学学习方式，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。四、“利用GeoGebra软件开展数学实验”的实验设计方案1．实验设计整体思路对2022年全国乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的试题分析可以看出，棱锥（棱台）的底面顶点都在球面上可以转化为圆锥（圆台）的底面圆在球面上，棱锥（棱台）的底面问题可以用圆锥（圆台）的底面半径解决。图1和图2为GeoGebra软件的截图，本实验案例仅针对棱锥问题，棱台问题另行设计实验方案。 图1 图2

利用GeoGebra软件绘制如图1、图2所示的几何体，圆锥PO’的底面圆在球面上运动，正n棱锥（底面边数n可变）的底面顶点在圆锥的底面圆上。实验一：如图1，当顶点P与球心O重合时，观察并验证圆锥和棱锥的最大值。实验二：如图2，当顶点P在球面上时，观察并验证圆锥和棱锥的最大值。2．实验教学目标：①通过实验掌握底面圆在球面上的圆锥半径与球的半径的关系；②通过观察了解球的内接圆锥和棱锥体积的变化规律；42022年安徽省中小学教育教学论文评选③通过实验建立球的内接圆锥和棱锥的体积的函数解析式；④通过计算验证球的内接圆锥和棱锥的体积的体积的变化规律。3．实验课件制作步骤： 第1步：打开GeoGebra软件、在“视图”菜单中调出“3D绘图区”，隐藏“xoy平面”；

第2步：作点O=(0,0,0),以O为球心，半径为1作球面a.以O为圆心，作半径为1的圆c；

第3步：在z轴上作点O’，过O’点作与z轴垂直的平面p，与球面交于圆d，隐藏平面p；

第4步：在“2D绘图区”建立整数滑动条n,取值范围为[3,10].在圆d上任取一点A，以z轴为旋转轴，将点逆时针旋转(360/n)°，得到点B.作以A、B为顶点，边数为n的正多边形poly1。拖动滑动条n可以改变圆d的内接正n边形的边数。第5步：在z轴上取一点P，以多边形poly1为底面，P为顶点建立棱锥b。第6步：以O’为底面圆心，P为顶点，线段O’A为底面半径建立圆锥e.第7步：连接线段OO’、线段OP、线段OA、线段O’A，隐藏坐标系。4．实验过程设计： 实验一：顶点与球心重合的圆锥和棱锥

（1）实验操作：将n的值定为4，P与球心重合，得到四棱锥P-ABCD(四棱锥b)和圆锥PO’(圆锥e)，在球O内拖动点O’改变棱锥和圆锥的形状。 （2）实验观察：,通过观察，说出四棱锥b(四棱锥P-ABCD)与圆锥e(圆锥PO’)的体积的取值范围。图3 图452022年安徽省中小学教育教学论文评选结论：如图3所示，四棱锥b体积的最大值是0.26，圆锥e体积的最大值是0.4。所以，四棱锥b(四棱锥P-ABCD)体积的取值范围是(0，0.26],圆锥e(圆锥PO’)的体积的取值范围是(0，0.4]。 （3）原理分析：已知球O的半径为1，设圆锥PO’的底面半径为r，请根据图形推出四棱锥P-ABCD的体积V1和圆锥PO’的体积V2。结论：∵PO'=1-r2，SABCD=2r2∴V1=。，V2=（4）验证结论：因为r2(1-r2)=r4-r6，设t=r2，所以V1和V2可以用函数ft()=t2-t3(0<<1)来考虑。因为f'()=2t-3t2=t(2-3t)，时，.所以当时，；当于是当时取得最大值，所以V1的最大值为，V2的最大值为 实验二：顶点在球面上的圆锥和棱锥

（1）实验操作：将n的值定为3，P在球面上，坐标为(0,0,1)，在球O内拖动点O’改变棱锥和圆锥的形状。 （2）实验观察：,通过观察，说出三棱锥b(三棱锥P-ABCD)与圆锥e(圆锥PO’)的体积的取值范围。62022年安徽省中小学教育教学论文评选图5图6 图7

结论：如图6所示，三棱锥b体积的最大值是0.51，圆锥e体积的最大值是1.24。所以，

三棱锥b(三棱锥P-ABC)体积的取值范围是(0，0.51],圆锥e(圆锥PO’)体积的取值范围是(0，1.24]。 （3）原理分析：已知球O的半径为1，设圆锥PO’的高为h，请用h表示三棱锥P-ABC的体积V1和圆锥PO’的体积V2。结论：∵