光电子技术第三章

光电子技术第三章1第1页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1光波在各向同性介质中的传播3.1.1单色平面波的复数表达式

单色平面波是指电场强度E和磁场强度H都以单一频率随时间作正弦变化（简谐振动）而传播的波。

在任意方向上传播的平面电磁波的复数表达式为：

式中，Φ0为初相位，K为矢量(简称波矢)，K的方向即表示波的传播方向，k的大小，表示波在介质中的波数。上式中，指数前取正或负是无关紧要的，按我们的表示法，指数上的正相位代表相位超前，负相位代表相位落后。矢径r表示空间各点的位置，如图所示。

2第2页，共138页，2023年，2月20日，星期一沿空间任意方向传播的平面波xyzrkαβγp(x,y,z)3第3页，共138页，2023年，2月20日，星期一E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波谷kk单色平面波4第4页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色平面波的复数表达式时空分离其中5第5页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色平面波复振幅的复数表达式令初相位Φ0＝0，上式可写为：传播方向与z方向一致时6第6页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色平面波复振幅的复数表达式7第7页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色球面波

平面波只是亥姆霍兹方程是一种最简单的解，对于二阶线性偏微分方程式，可以分别求出E和H的多种形式的解。另一种最简单的解或最简单的波是球面波，即在以波源为中心的球面上有相同的场强，而且场强变化沿径向传播的波。这种波的场强分布只与离波源的距离r和时间t有关，而与传播方向无关。因此，当以标量波考虑时，亥姆霍兹方程的球面波解可以写为如下形式：E=E(r)

8第8页，共138页，2023年，2月20日，星期一简谐波是波动方程的解，有两类重要的基本解，即平面波和球面波。点光源发出的光波可认为是球面波。可得球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则k与r的方向永远相同，E的大小只与半径r及时间t有关，所以可写成E=E（r，t），把它代入单色球面波9第9页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色球面波的推导选取波源位于直角坐标源点，则有：10第10页，共138页，2023年，2月20日，星期一亥姆霍兹方程11第11页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色球面波的推导12第12页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色球面波的推导Φ0=013第13页，共138页，2023年，2月20日，星期一单色球面波（3.10）式即为单色球面波的表达式，因为时间因子是可分离变量，且在讨论空间某一点的光振动时，时间因子总是相同的，所以常常略去不写。讨论中经常用的是单色球面波的复振幅表达式(3.11)式。(3.11)式中，E0为一常数，表示在单位半径(r=1)的波面上的振幅。E0/r表示球面波的振幅，它与传播r成反比。从能量守恒原理不难理解这一结果。14第14页，共138页，2023年，2月20日，星期一波峰波谷kk单色球面波15第15页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播1能流密度——坡印廷(Poynting)矢量2平均能流密度——光强度16第16页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播

电磁场是一种物质，它具有能量。在一定区域内电磁场发生变化时，其能量也随着变化。能量按一定方式分布于场内，由于是运动着的，场能量也随着场的运动而在空间传播。描述电磁场能量的两个物理量：能量密度w表示场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，w=w(x,t)；能流密度S描述能量在场内的传播，S在数值上等于单位时间内垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传播的方向。17第17页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播光强是和电磁场的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒表现为单位时间内流出（入）闭合体积的电磁波能量等于单位时间内闭合体积内的能量减少（增多）。

一、电磁波的能量密度w表示场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，w=w(x,t)；电场能量与磁场能量体密度分别为：电磁场能量体密度为：18第18页，共138页，2023年，2月20日，星期一

二、坡印廷矢量

它表示电磁场的能量的传播，即垂直通过单位面积的功率。其大小代表电磁波波强，这里指光强(intensityoflight

)。其方向为光能量传播的方向。

S辐射强度（能流密度）单位时间内，通过垂直于波的传播方向的单位面积的辐射能。19第19页，共138页，2023年，2月20日，星期一考虑到：=EHSw=v=E12με2H12+()εμ12εμ=v1，EHεμ==2εμ1EHεμEHεμ()+=2εμ1EHεμEHεμ()+20第20页，共138页，2023年，2月20日，星期一坡印廷矢量(poyntingvector)S=EH+SEHEHεμ=

在各向同性介质中坡印廷矢量S的方向与光波矢量k的方向（相位传播方向）一致。但在各向异性介质中，二者的方向不同。S=EH21第21页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播电矢量E与磁矢量H互相垂直于波矢方向K，与(3.21)式比较可知，在各向同性介质中，波矢(波面法本)方向K与能流方向(光线方向)S是一致的，波速(相速V)也就是能流速度。能流密度S和能量密度变化率()的表示式:22第22页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播

2.光强度

光波属高频电磁波，其频率为V≈1015Hz数量级，即其振动的时间周期为T=10-15s数量级。人眼的响应能力最小可达Δt≈10-1s，感光胶片Δt≈10-8s，而目前最好的光电探测器的时间响应能力也跟不上。

我们需要了解的是同一波场中不同空间位置的能流的强弱，则不必考虑瞬时能流值，而只需求能流对时间的平均值以突出其空间分布。

光强度：即接收器观测到光波在一个比振动周期大得多的观测时间内的平均能流密度。

23第23页，共138页，2023年，2月20日，星期一

坡印廷矢量的大小，即光在介质中传播的（瞬时光强）为若用复指数形式表示：若对光强取平均值24第24页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2平面电磁波场中能量的传播

2.光强度平均能流密度:

不同介质中的平均能流密度同一介质中的平均能流密度25第25页，共138页，2023年，2月20日，星期一光强与光场的平方成正比,在同种介质中常简单地表述光强为3.1.2平面电磁波场中能量的传播

2.光强度26第26页，共138页，2023年，2月20日，星期一个人太阳望远镜

(能观测太阳表面细节的廉价装备)

制造了hydrogen-alpha滤镜的科罗拉多技术公司开发出了这种便宜的个人太阳望远镜。尽管通过hydrogen-alpha滤镜人们能够异常清晰地观测太阳的表面活动，但是它的售价也非常昂贵。于是科罗拉多技术公司利用多重滤镜技术和经过特殊设计的镜片，制作出了这种相对便宜的个人太阳望远镜，用它可以观测到太阳焰等丰富的细节。/500美元/

27第27页，共138页，2023年，2月20日，星期一重力探测器B

(以实验来证明爱因斯坦的相对论)

根据爱因斯坦的广义相对论，地球围绕地轴的自转将导致时间空间的弯曲，这种现象就好比一条落网的鱼扭动身体会导致渔网的变形。但是由于地球引起的时间空间的弯曲是如此轻微，以致没有人能用实验来证实爱因斯坦的预言。为了证实这一预言是否正确，在2004年4月，科学家们发射了重力探测器B—一颗装备了超精确设备的卫星，它能监测到地球每8.8万年里发生的1度转角的变化。卫星上装有4只人类制造过的、最灵敏的陀螺仪，其中的4个石英球体是有史以来最圆的物体。/7亿美元/28第28页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3相速度与群速度

相速度：单色波的等相位面传播的速度。 群速度：合成波波包上等振幅面传播的速度。

λ为单色波的波长，T为单色波振动的周期，ω=2πν为圆频率，k=2π/λ为波数。29第29页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3相速度与群速度复色光可视为若干单色波列的叠加，所以复色光在真空中传播的相速等于单色光在真空中传播的相速。但在媒质中，各单色光以不同的相速传播，复色光传播，复色光传播的问题也随之复杂化。为简明起见，假设复色光由两列单色光波组成，其振幅均为E0，频率分别为ω1=ω0+dω，ω2=ω0-dω；波数分别为k1=k0+dk，k2=k0-dk，向z方向传播，则这两列单色光波分别为：合成波30第30页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3相速度与群速度其中余弦项起调制因子的作用，即形成波包形式，如图所示。图中实线表示合成波，称为波包，虚线表示合成波的振幅变化。合成波的速度，即波包上任一点向前移动的速度，亦即波包上等振幅面向前推进的速度。它代表着波包具有的能量传播速度，为群速度。

31第31页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3相速度与群速度群速度32第32页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3瑞利群速公式(3.32)式中振幅恒定的条件为：

dk·z-dω·t=常数因dk和dω不随z、t而变，微分上式得：

dk·dz-dω·dt=0所以，群速度为：

33第33页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3瑞利群速公式相速与群速二者关系为：

k=2π/λ，dk=-(2π/λ2)dλ

上式为瑞利群速公式。在正常色散区域dvp/dλ>0，群速小于相速；在反常色散区域dvp/dλ<0，群速大于相速；在真空中无色散dvp/dλ＝0，群速等于相速。34第34页，共138页，2023年，2月20日，星期一瑞利(英国1842-1919)

原姓斯特拉特(Strutt)，封爵后改称瑞利。生于埃塞克斯郡的朗福德园。1861年进剑桥大学三一学院学习，1865年毕业，以优异成绩获得史密斯奖金。1865—1871年在三一学院任教。1879年继麦克斯韦之后任卡文迪什实验室主任。1873年被选为英国皇家学会会员。1884年任皇家学会自然哲学教授。1905年被选为皇家学会会长。1903-1914年任剑桥大学校长。

瑞利是一位杰出的实验物理学家。在声学、振动理论、光学理论及热辐射等方面都有贡献。研究线度小于光的波长的微粒对入射光的散射现象，于1871年首先从理论上得出这种散射光的强度与散射方向有关，并与波长的四次方成反比的结论。还与金斯共同建立在波长较长。温度较高时黑体辐射能量按波长分布的公式，称为瑞利—金斯辐射公式。瑞利精确测量了大气的密度和组分，发现空气中氮的密度比从氨中获得氮的密度大。从而导致氩和其他惰性气体的发现。因此于1904年获得诺贝尔物理学奖。瑞利发展麦克斯韦所阐述的光的电磁理论，并建立了电阻、电流和电动势的电学单位。瑞利的实验技术高超，只用很简单的仪器就能得到很多有价值的结果。在卡文迪什实验室工作期间，为迅速扩大实验室规模做出很大努力。瑞利的主要著作有《声的理论专著》等。35第35页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.3瑞利群速公式相速表征一个无穷的正弦波，其频率、振幅处处相同。这样的波不仅不存在，而且也是无法传递信号的。要实现信号传递，必须对波进行调制(振幅或频率的调制)，不论采用哪种方式，都涉及到不止一种频率的波。任何一个实际信号总是由不止一个频率的波所组成的群波。所以群速就表示信号的传播速度。不计其吸收时，也是能量传播速度。

36第36页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.4高斯光束的传播特性平面电磁波具有确定的传播方向，但却广延于全空间。而从激光器发射出来的光束一般是很狭窄的光束。研究这种有限宽度的波束在自由空间中的传播特点对于光电子技术和定向电磁波的传播问题都有重要意义。

激光束是一种高斯光束，激光的光强在波面上不相等，中心强，边缘弱。

37第37页，共138页，2023年，2月20日，星期一亥姆霍兹(德国182l-1894)

生于波茨坦。1838-1842年在柏林弗雷德里克威廉皇家医学院学习。1843-1848年在波茨坦任军医。1849年成为柯尼斯堡大学生理学教授。1855年任波恩大学解剖学和生理学教授。1859年任海德堡大学生理学教授。1871年任柏林大学物理学教授。1888年任夏洛滕堡物理技术研究所所长。1860年被选为英国皇家学会会员，1873年获该会科普利奖章。还是爱丁堡皇家学会和其他一些学会的会员。

亥姆霍兹在许多科学领域取得重要成就。1847年发表关于能量守恒和转换定律的重要著作《论力的守恒》，成为能量守恒学说的创立者之一。研究人眼的光学结构，色视觉和色盲，发明了检眼镜。正确解释耳骨的机制，研究耳蜗功能。把最小作用原理应用到电动力学中，发展了电学理论，并研究电在导体中的运动。对热力学也有贡献，首先把热力学原理应用于化学方面。亥姆霍兹除上述著作外，还有《生理光学手册》。38第38页，共138页，2023年，2月20日，星期一沿z方向传播的激光束的复振幅为其中高斯光束包括了平面波因子

球面波因子和二维高斯函数

激光光波的波面（等相位面）是球面，但其球面半径R随距离z而变；当z=0或时，R都为无穷大，即为平面波。39第39页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.4高斯光束的传播特性波束的场强在横切面上的一种比较简单和常见的分布形式是高斯分布。这种波束能量的分布具有轴对称性，中部场强最大，靠近边缘处的能量逐步减弱。设波束的对称轴为z轴，则高斯分布函数为：到波束中心轴(z轴)的距离波束的宽度，在激光束场合则表示光斑的大小40第40页，共138页，2023年，2月20日，星期一

激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强在中心（x=y=0）处最大，为（ω

0/ω

）。随着x、y增大，场强减小。当x2+y2=

ω2时，场强降低到中心处的1/e，ω为光束的宽度。激光束的宽度在z=0时最小，ω

0为光束的腰。zω0x，yx，yz1z2z=0处的光场振幅分布z=z1处的波面z=z2处的波面光场振幅降为e-1处的轨迹θ/2e-141第41页，共138页，2023年，2月20日，星期一

由于在腰处的光束最小，故离腰较远处的光波可看作是以腰为球心的球面波。高斯光束的发散角42第42页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.4高斯光束的传播特性综上所述，可知高斯光束的特点：光束横切面的强度变化呈高斯函数分布。束腰处光斑最小，振幅最大，波阵面为平面。离开束腰愈远，光束宽度愈大，振幅逐渐减弱，在z>>kω0

2处的波阵面趋于球面。43第43页，共138页，2023年，2月20日，星期一复习单色平面波的复数表达式单色球面波波印廷矢量相速度与群速度瑞利群速公式高斯光束44第44页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.5光波在介质界面上的反射与折射

实验总结——>从单色平面波在介质交界面所必须满足的边界条件出发，证明反向和折射定律正是电磁波传播到介质界面的所必然表现出来的规律。反射与折射规律包括两方面的内容：①入射角、反射角和折射角的关系；②入射波、反射波和折射波的振幅比和相位关系。45第45页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.5光波在介质界面上的反射与折射任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，对于电磁波来说，是由E和B的边值关系确定的。因此，研究光波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质面上的边值关系。46第46页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.5光波在介质界面上的反射与折射47第47页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.5反射与折射定律反射和折射定律，即斯涅尔定律：48第48页，共138页，2023年，2月20日，星期一斯涅尔（荷兰1591-1626）

威里布里德．斯涅耳（WillebrordSnellVanRoijen），荷兰莱顿人，数学家和物理学家，曾在莱顿大学担任过数学教授。斯涅尔最早发现了光的折射定律，从而使几何光学的精确计算成为了可能。

斯涅耳在数学上也颇有成就。他善于实验和测量。1617年，他运用三角方法，精确地测量了地球的大小，且测出了纬度一度为66.66英国法定里。他得出的这一数据比前人的数据精确的多，所以后来被引用在《函数尺和直角仪的说明》以及《地理学》等书中。

49第49页，共138页，2023年，2月20日，星期一斯涅尔定律的推导平面波表示式边界条件50第50页，共138页，2023年，2月20日，星期一斯涅尔定律的推导上式必须对整个界面成立。选界面为x=0的平面，则上式应对任意时刻t和交界面上的任意点坐标(y,z)都成立，因此，必须各项的指数因子中t,y,z的系数都分别相等。取入射波矢在xz平面上，有k1y=k’1y=k2y=0。所以反射波矢和折射波矢都在同一平面上。51第51页，共138页，2023年，2月20日，星期一斯涅尔定律的推导以θ1、θ’1和θ2分别代表入射角，反射角和折射角，有：52第52页，共138页，2023年，2月20日，星期一2、振幅关系

——菲涅尔（Fresnel）公式

由于对每一波矢k有两个独立的偏振波，所以需要分别讨论E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形，并分别用脚标S和P表示。E0H0k0E2H2k2E1H1k1zxn1n2(a)水平激化波sE0H0k0E2H2k2E1H1k1zxn1n2(b)垂直激化波p53第53页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式——E⊥入射面54第54页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式

——E⊥入射面边界条件55第55页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式

——E//入射面边界条件56第56页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式反射波折射波E垂直分量的反射系数E平行分量的反射系数E垂直分量的透射系数E平行分量的透射系数57第57页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅耳（法国1788-1827）

菲涅耳曾任土木工程师，1814年开始研究光学实验和理论，1823年被选为巴黎科学院院士，1825年被选为英国皇家学会会员。

菲涅耳对光的本性进行了研究，独立提出光的波动说，完成了光是横波的理论。他发展了惠更斯理论，对光的偏振和双折射现象、旋光理论都有深刻的研究。58第58页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式分析从以上的反射系数和透射系数可知，垂直于入射面偏振的波与平行于入射面偏振的波的反射和折射行为是不同的。如果入射波为自然光(即两种偏振光的等量混合)，经过反射和折射后，由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而反射波和折射波都变为部分偏振光。布儒斯特(Brewster)定律在θ1+θ2=90o的特殊情况下，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。这情形下的入射角为布儒斯特角。59第59页，共138页，2023年，2月20日，星期一布儒斯特(Brewster)定律

自然光在两种各向同性媒质分界面上反射、折射时，反射光和折射光都是部分偏振光。反射光中垂直振动多于平行振动，折射光中平行振动多于垂直振动。

60第60页，共138页，2023年，2月20日，星期一布儒斯特(Brewster)定律当入射角满足关系式时，反射光为振动垂直于入射面的线偏振光，

该式称为布儒斯特定律，i0为起偏振角或布儒斯特角。当光线以起偏振角入射时，反射光和折射光的传播方向互相垂直，即：61第61页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式分析由斯涅耳法则可知，上述情况是在入射角满足下列条件时产生的。以布儒斯特角入射的任意偏振光的反射光将是纯直线偏振光。利用这一原理（使用多层膜结构），可以制成使s偏振光几乎100％反射、使p偏振光透射的偏振光束分离器。此外，布儒斯特角还用在使激光器无反射损耗地透射窗口。62第62页，共138页，2023年，2月20日，星期一布儒斯特(苏格兰1781--1868)

布儒斯特是苏格兰物理学家。1781年12月11日出生于苏格兰杰德伯勒，1800年毕业于爱丁堡大学，曾任“爱丁堡杂志”、“苏格兰杂志”、“爱丁堡百科全书”编辑，爱丁堡大学教授、校长等。1815年被选为皇家学会会员，1819年获冉福德奖章。

布儒斯特主要从事光学方面的研究。1812年发现当入射角的正切等于媒质的相对折射率时，反射光线将为线偏振光（现称为布儒斯特定律）。他研究了光的吸收，发现人为各向异性介质中的双折射。1816年发明万花筒，1818年发现双轴晶体，1826年制造出马蹄形电磁铁，1835年制造出灯塔用透镜，1849年改进了体视镜。63第63页，共138页，2023年，2月20日，星期一复习波印廷矢量相速度与群速度瑞利群速公式高斯光束斯涅尔定律菲涅尔（Fresnel）公式布儒斯特(Brewster)定律64第64页，共138页，2023年，2月20日，星期一菲涅尔（Fresnel）公式分析

菲涅尔公式同时也给出了入射波、反射波和折射波的相位关系。半波损失在E⊥入射面的情况，为当ε2>ε1时θ1>θ2，因此，E’1/E1为负数，即反射波电场与入射波电场反相，这现象即为反射过程中的半波损失。65第65页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、全反射设光波从光密介质射向光疏介质(n1>n2)，折射角θ2大于入射角θ1。当sinθ1＝n2/n1时，θ2为90o，这时折射角沿界面掠过。若入射角再增大，使sinθ1>n2/n1，这时不能定义实数的折射角。使θ2=90o的入射角θ1称为临界角，记作θc即当θ1≥θc时，没有折射光，入射光全部返回介质1，这个现象为全反射。66第66页，共138页，2023年，2月20日，星期一古斯－汉森(Goos-Haenchen)位移表示反射波与入射波具有相同的振幅，即入射光能量全部返回介质1。表示反射的垂直分量和水平分量有一定的相位改变。

全反射波的相位比入射波的相位超前Φ，因为Φs和Φp不相等，所以反射光中会出现两个成分的相位差，成为椭圆偏振光。菲涅耳棱镜正是利用这一原理，通过2次全反射将直线偏振光变成圆偏振光。67第67页，共138页，2023年，2月20日，星期一椭圆偏振光

光矢量端点在垂直于光传播方向的截面内描绘出椭圆轨迹。检偏器旋转一周，光强两强两弱。

椭圆偏振光可用两列沿同一方向传播的频率相等、振动方向相互垂直的线偏振光叠加得到。这两列线偏振光的相位差不等于0、π；如果二线偏振光的振幅相等，它们的相位差应不等于0、±π/2、π。68第68页，共138页，2023年，2月20日，星期一古斯－汉森(Goos-Haenchen)位移

平面波的入射点与反射点不是同一点，反射点离开入射点有一定距离，这就是所谓古斯一汉森(Goos-Haenchen)位移，在研究光波导与纤维光学中，这是一个很重要的量。

69第69页，共138页，2023年，2月20日，星期一古斯－汉森(Goos-Haenchen)位移

平面波的入射点与反射点不是同一点，反射点离开入射点有一定距离，这就是所谓古斯一汉森(Goos-Haenchen)位移，在研究光波导与纤维光学中，这是一个很重要的量。

70第70页，共138页，2023年，2月20日，星期一xy安贝尔位移（Imbertshift，β）如果p偏振光和s偏振光同时存在时，介质2中的S矢量的x分量一般不为零。这意味着反射光除了存在古斯——汉森位移外，在横方向上也有偏离。后者称为安贝尔位移（Imbertshift）。αβ71第71页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.2光波在各向异性介质中的传播

从光学的观点看，介质各向异性的特征是，介质对入射光的作用的反应能力在各个方向上有所不同，这个反应可以看成是电荷在光波场作用下所发生的位移。换言之，折射率或光速，将随着光波的传播方向和偏振方向而改变，并产生双折射现象。72第72页，共138页，2023年，2月20日，星期一D与E的关系电场强度E和电位移矢量D存在如下关系：如果适当地选取坐标轴可得：这样的坐标系称为电的主轴坐标系，εx、εy

、εz称为主介电常数。另外，由nx＝(εx/ε0)1/2,ny＝(εy/ε0)1/2,nz＝(εz/ε0)1/2来定义主折射率。晶体的三个主折射率中有两个相同时称为单轴晶体，三个主折射率都不相同时称为双轴晶体。三个主折射率都相同的晶体，其光学特性为各向同性。73第73页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.1.2各向异性的透明介质中传播的单色平面波假设介质中存在单色平面波的表达式为：74第74页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.2.1各向异性的透明介质中传播的单色平面波由此可知，D、H、k互相垂直，遵循右手法则。另外，因为E与H垂直，所以E、D、k处于同一平面。一般，因为D不平行于E，所以能流密度矢量S的方向与k方向不一致。需要注意的是，S方向是电磁波的能流的方向，因而光线是沿这一方向传播的。S光前进方向k波面法线方向DEH75第75页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3薄膜波导光波导:光波被约束在确定的导波介质中传播，由这种介质构成的光波通道，可称为光学介质波导。薄膜波导是光波导中最简单最基本的结构，其理论分析也具有代表性。射线法波动理论76第76页，共138页，2023年，2月20日，星期一光波导折100万次也不断欧姆龙的光波导膜77第77页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3薄膜波导概述

集成光学和光通信的发展促进了对光波导的研究，光波导理论同时也是纤维光学的理论基础，因而在光纤通讯和光纤传感的研究中也是必须涉及的内容。集成光学发展初期，田炳耕曾对集成光学作了三条定义：（1）光波导能限制光束在其中传播。（2）利用光波导可制成各种光波导器件；（3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路。集成光学在一开始就将光纤通信作为其主要应用目标之一。78第78页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3薄膜波导概述

集成光学器件伴随着光纤通信的兴起和发展已经走过了几十年。集成光学器件不仅成为光纤网络的重要组成部分，而且也促使光纤通信容量爆炸性增长、光纤通信技术和产业的迅猛发展，加上集成光学器件技术的进一步发展和成熟还将掀起光纤通信技术及其相关产业发展的新高潮。

集成光学基于薄膜能够传输光频波段的电磁能的原理。故其诞生主要受微波工程和薄膜光学的影响。在1962年前，平面介质波导已应用于微波工程中，但直到1965年才由Anderson和他的研究小组把微波理论和光刻技术结合起来制作出应用于红外区域的薄膜波导和其它平面器件和光路。1969年，贝尔实验室的S.EMiller首次提出了“集成光学”（integratedoptics）的概念，宣告了大力研究和发展光通信用的完善而可靠的薄膜技术的开始。

79第79页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3薄膜波导概述

上世纪70年代初，研究人员对制作波导的材料和制作工艺作了大量的研究。此间，发光二极管（LED）、激光二极管（LD）、光纤的制造技术取得了很大进展。光纤传播损耗的降低加速了光纤通信系统的发展。70年代晚期，和光纤通信相关的技术进一步成熟，企业和研究机构开始集中发展光纤通信系统；对集成光学的研究反而减少了，他们认为集成光学器件的商品化在近期内难以实现。80年代研究人员开始重新关注集成光学的发展，因为光纤通信系统中的分立元件较难准直，且其性能又不够稳定。光波导是集成光学的重要基础性部件，它能将光波束缚在光波长量级尺寸的介质中。用集成光学工艺制成的各种平面光波导器件，有的还要在一定的位置上沉积电极，两端接上电压，用以控制在波导中传输的光波的相位或强度。然后，光波导再与光纤或光纤阵列耦合。激光信号在光波导中耦合、传输、调制。80第80页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3薄膜波导概述用射线分析法研究光波沿介质波导的传播过程，简单、具体、直观，对多数问题的分析结果也是正确的。但因薄膜波导的厚度只有几微米到十几微米，与光波长(如1.3～1.5μm)的红外光相当，因而射线法严格地说是不准确的，所以在处理一些较复杂的问题时，还须用波动理论来分析。81第81页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

1导波与辐射模导波设在薄膜与下界面平面波产生全反射的临界角为θc12，而薄膜与上界面上，平面波产生全反射的临界角为θc13，根据全反射原理：yzxdθ1n2n1n3衬底薄膜敷层

n1>n2>n3当入射角满足

时，入射平面波在上下界面均产生全反射，此时形成的波称为导波。82第82页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

1导波与辐射模当θc13<θ1<θc12时，在下界面的全反射条件被破坏，当θ1<θc13<θc12时，上下界面的全反射条件均被破坏，此时有一部分能量从薄膜中辐射出去，这种情况下的波称为辐射模。

只有导波能将能量集中在薄膜中导行，在薄膜波导中即是由它来传输光波。而辐射模却通过界面向外辐射能量，是不希望存在的寄生波。83第83页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

2薄膜波导中的导波

导波的特征方程当平面波的入射角θ1大于临界角θc时才能形成导波。但在θ1>θc范围内，θ1的取值并不是连续的。只有当θ1满足某些条件时，才能在薄膜中传播形成导波。如图所示是构成导波的平面波示意图实线ABCD和A’B’C’D’代表平面波的两条射线。虚线BB’，CC’则代表向上斜射的平面波的两个波阵面，可见由B到C和由B’至C’所经历的相位变化之差为2π的整数倍。

dAA’BC’B’CD’Dθ1射线等相面84第84页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

2薄膜波导中的导波导波的特征方程从B’到C’，在平面波的传播方向上没有经过反射，它的位相变化了k0n1B’C’，从B到C在平面波的传播方向上在B点和C点各经历了一次全反射。在C点(下界面)全反射时相位变化了2φ2，而在B点(上界面)全反射时相位变化了2φ3。2φ2与2φ3都以反射波比入射波超前计算。根据(3.76)式与(3.77)式，对于电场强度矢量E在波导横切面上(即传播方向上只有磁场强度分量)的波，也称为水平极化波或TE波[如图(a)所示];对于磁场强度矢量在波导的横切面上(即传播方向上只有电场强度分量)的波，也称垂直极化波或TM波(如图(b)所示)

薄膜yzxdθ1n2n1n3衬底敷层

n1>n2>n3EHyzxdθ1n2n1n3衬底敷层

n1>n2>n3HE薄膜85第85页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

2薄膜波导中的导波导波的特征方程射线从B到C的相位变化为(k0n1BC-2Φ2-2Φ3)，两射线的相位差为：式中，n1，d是薄膜波导的参数，k0=2π/λ0是自由空间的波数，它决定于工作波长λ0。φ2，φ3是在边界处反射时古斯－汉森位移引起的相位变化，由(3.111)式给出，该式确定了形成波导的入射角θ1的条件，因而叫薄膜波导的特征方程，特征方程是讨论波导特性的基础。86第86页，共138页，2023年，2月20日，星期一图解C’dAA’BB’CD’Dθ187第87页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

2薄膜波导中的导波横向谐振特性特征方程(3.113)式中，k0n1cosθ1是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是薄膜中的横向相位常数，可表示为：k1x=k0n1cosθ1

于是，特征方程可写为：上式中，k1xd是横过薄膜的横向相位变化，2φ2，2φ3是在边界上全反射时的相位突变。(3.114)式表明，由波导的某点出发，沿波导横向往复一次回到原处，总的相位变化应是2π的整数倍。这使原来的波加强，即相当于在波导的横向谐振，因而叫做波导的横向谐振条件。横向谐振特性是波导导波的一个重要特性。2k1xd-2φ2-2φ3=2πm(3.114a)k1xd-φ2-φ3=πm(3.114b)88第88页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.1薄膜波导的射线理论分析

2薄膜波导中的导波导波的模式

对给定的波导和工作波长，可由特征方程求出形成导波的θ1值。特征方程中的m可取不同的值。对给定的m值，可求出形成导波的θ1值。以该θ1角入射的平面波形成一个导波模式。当φ2、φ3以水平极化波的表示式代入时，得出模式为TE波，当φ2，φ3以垂直极化波的表示式代入时，得出的模式为TM波。当m=0，1，2…时，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2…模。m表示了各模式的特点，称为模序数。89第89页，共138页，2023年，2月20日，星期一各模式特性的参数表示轴向位相常数，它表示导波模式的纵向传播规律。横向相位常数，它决定导波模式在薄膜内的横向驻波规律。

决定导波在下界面和上界面的横向衰减规律，它们决定了导波模式的横向分布图形。90第90页，共138页，2023年，2月20日，星期一导波的横向分布规律

在薄膜中，导波在横向是按驻波分布的，跨过薄膜的厚度为d，其相位变化为k1xd，根据特征方程k1xd-φ2-φ3=πm

。

当m=0时，驻波有一个波腹，称为基模，得TE0、TM0，特征方程为：k1xd=φ2+φ3。它与参数n1、n2、n3及入射角θ1有关，n1、n2、n3、d及λ0是已知的，而φ2、φ3都是在0~90o之间变化，0<φ2+φ3<π，因此，其场沿x方向的变化不足半个驻波。当m=1时，得TE1、TM1，特征方程为：k1xd=π+φ2+φ3。k1xd在π与2π之间变化，其场沿x方向变化不足一个驻波，其他依此类推。因而m表示了导波场沿薄膜横向出现的完整半驻波个数。m越大，导波的模次越高。右图画出了几种模式的驻波图形。(a)TE0n2n3n1(b)TE1n2n3n1(c)TE2n2n3n191第91页，共138页，2023年，2月20日，星期一θ与m的关系由特征方程还可以看出，在其他条件不变的情况下，若θ1减小，则m增大，因而表明高次模是由入射角θ1较小的平面波构成的，如右图所示。92第92页，共138页，2023年，2月20日，星期一导波模式的轴向位常数β

β=k0n1sinθ1，由于θ1在90o与θc12之间变化，所以，k0n2<β<k0n1。对于给定的模式有确定的θ1值，因而也有确定的轴向相位常数β。由特征方程求出了θ1，就可确定各模式的β值。对于给定的模式，其β值是随工作波长λ0(或角频率ω)而变的。由特征方程可以看出，当m给定时，工作波长λ0

越长，k0

越小。图3-20是根据数值画出的β-ω曲线，它表明β的变化范围及变化规律。β不能小于k0n2，否则将会出现辐射模。β也不能大于k0n1。因而对于导波，β是被限制在k0n1~ω和k0n2~ω两条直线所夹的扇形面积之中。图3-20还画出了m为0，1，2三个导模的截止频率ωc0，ωc1，ωc2

。93第93页，共138页，2023年，2月20日，星期一Β－ω曲线ωβk0n1k0n2ωc2ωc1ωc0辐射模01294第94页，共138页，2023年，2月20日，星期一截止波长λc在薄膜波导中，任一界面的全反射条件被破坏，即认为导波处于截止的临界状态。因为n1>n2>n3，所以当θc=θc12时即处于截止的临界状态。特征方程(3.113)式可写为如下形式：对一个给定的模式，m是定值。如果工作波长λ0变化，必须调整平面波的入射角θ1，才能满足特征方程，形成导波。当θ1=θc12时，导波转化为辐射模，此时的波长就是该模式的截止波长。截止波长由λc

表示，由特征方程:95第95页，共138页，2023年，2月20日，星期一截止波长λc从(3.123)式及φ3的表达式可以看出，波导参数n1、n2、n3和d决定了各模式的截止波长。它是表示波导本身特征的物理量，与外加频率无关。不同的模式有不同的截止波长，模式越高，越止波长越短。TE0模和TM0模的截止波长最长。波序数m相同的TE模和TM模的截止波长不同。当m相同时，TE模的截止波长较长，因而在所有的波导模式中，TE0模的截止波长最长。96第96页，共138页，2023年，2月20日，星期一单模传输与模式数量由于TE0模的截止波长最长，因而它的传输条件最容易满足。在波导术语中，把截止波长最长(截止频率最低)的模式叫基模。薄膜波导中的TE0模即是基模。如果波导的结构或选择的工作波长只允许TE0模传输，其他模式均截止，则称为单模传输。单模传输的条件是

λc(TM0)<λ0<λc(TE0)

当单模传输的条件被破坏(如工作波长缩短时)，出现多模共存现象。波导中导波模式的数量是TE模和TM模的模式数量之和。d越大，λc越短，n1和n2的差别越大，波导中的模式数量越多。97第97页，共138页，2023年，2月20日，星期一对称薄膜波导、兼并当n2=n3时，称为对称薄膜波导，此时φ2=φ3，特征方程为：k0n1dcosθ1=mπ+2φ2

截止波长为：

该式对TE模，TM模都适用。这就是说模序数相同的TE模和TM模具有相同的截止波长λc。当TE0模出现时，TMm模也伴随出现，这就叫兼并。对于对称波导，TM0的模的截止波长λc=∞，没有截止现象，这是对称波导的特有性质。

98第98页，共138页，2023年，2月20日，星期一可与爱迪生的灯炮相提并论的发明

位于美国亚利桑那州梅瑟市的灯具制造商Enlux公司（）找到了解决这个问题的办法。首先，他们去掉了发光二极管的塑料外壳，将它们一束一束地安装在一小片圆板上—也就是所谓的光发动机。这样散热效果要比将许多完整的发光二极管集中在一起好得多，这就使得在一个狭小的空间内集中大量的发光二极管成为可能。其次，带有散热片的铝质灯罩（见右图）极大地增加了散热面积。22瓦的FLOOD（80美元）的照明效果和45～60瓦的普通白炽灯相当，而且使用寿命高达5万小时（如果一个家庭每天有4个小时开灯，那么一只FLOOD能用35年）。由于全世界有很多公司都在效仿ENLUX公司的做法，相信发光二极管灯普及的那天已经不远了。99第99页，共138页，2023年，2月20日，星期一T射线人类目前只采用电磁波谱中的很少一部分。除可见光外，X射线可拍照人骨骼的阴影，紫外线可用于消毒，而近红外线已用于夜视仪。

现在，研究人员正研究利用电磁波谱的另外一部分：万亿赫兹辐射或称T射线。T射线有可能改变诸如机场安全和医学成像等领域的现状。不仅可以揭示隐藏物体的外形，而且还能展现炸药的成分或癌病灶的内部情景。用它胸透拍片，辐射只是X光的百万分之一，环境监测时能看见红外线的盲点，还能分析农作物水分多少，观测不发光的遥远天体。

20世纪90年代末，在英国剑桥东芝研究实验室工作的阿诺恩认为，T射线将是牙科X射线的替代物。他认为，在深红外区的T射线能准确测试出牙损坏的位置，不必使用电离辐射，还可获得了牙齿的立体图像。东芝公司2001年成立了TeraView公司，并任命阿诺恩为首席行政官，去年8月TeraView公司开始销售评估型T射线扫描仪，扫描仪大小像一台复印机，并计划一至两年内大量生产。目前，消费品电子公司能采用T射线来检验器件的制造缺陷，食品加工商能探测密封包装食品的水含量，以确保其新鲜度。TeraView公司还在同英国和美国政府谈判，研发可置于码头的金属探测器，这种探测器可看到大衣口袋中的剃须刀以及上衣口袋中塑料炸药。

T射线系统还能显示癌症形状，帮助医生更精确地切除癌组织。日本照相机制造商尼康公司已研发出自己的T射线扫描仪，并已向美航天局出售这种扫描仪，以帮助查找航天飞机泡沫塑料绝缘体中的缺陷。

100第100页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.3.2薄膜波导的波导理论分析(自学)用射线法讨论薄膜波导，物理概念清楚、明确，得出的许多结论不仅对薄膜波导，而且对其他形式的介质波导也是很有价值的。用射线法讨论薄膜波导中导波的场方程、场分布、传输功率非常烦琐、复杂。讨论结构更复杂的介质波导时则不现实。当薄膜波导的厚度与入射波长相当时，射线法是令人难以接受的。

以波动理论对薄膜波导中的波进行分析。

101第101页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.4光纤传输原理

光纤通讯技术迅猛发展，目前石英光纤在0.85μm，1.3μm，和1.55μm波长时，衰减特性已接近理论上的极限值。

在实际光传输过程中，光纤易受环境因素的影响，由此而产生了光纤传感技术。

本节的内容即是以上各领域的理论基础，仍将从射线理论和模式理论(波动理论)两方面进行讨论。

102第102页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.4.1光纤——圆柱介质光波导光纤的基本知识

光学纤维（简称光纤OPTICFIBER

）是一种圆柱对称的介质波导，其导波原理及分析方法与介质波导相似，但由于其圆柱结构的折射率分布与界面分布，数学处理更为复杂。103第103页，共138页，2023年，2月20日，星期一光纤的结构外层直径1mm尼龙外层涂敷层玻璃纤维纤芯包层104第104页，共138页，2023年，2月20日，星期一光纤的分类%3.0~D%3.0~D%1~D%1~D（a）阶跃型多模光纤（b）梯度型多模光纤（）单模光纤（）双折射光纤105第105页，共138页，2023年，2月20日，星期一106第106页，共138页，2023年，2月20日，星期一光纤的结构参数纤芯直径2a包层直径2b数值孔径N.A.相对折射率Δ归一化频率V107第107页，共138页，2023年，2月20日，星期一1、直径光纤的直径包括纤芯直径2a和包层直径2b。从成本考虑，光纤的直径应尽量小，从机械强度和柔韧性考虑也应细些，这是因为石英光纤很脆，若粗了，很容易折断；但从对接、耦合、损耗等方面来考虑，光纤以粗为宜。综合二者因素，一般光纤总粗小于150µm。典型单模光纤芯径约10µm，多模阶跃光纤芯径约62.5µm，多模渐变型光纤芯径约50µm，但它们的包层外径一般均取125µm。108第108页，共138页，2023年，2月20日，星期一2、数值孔径数值孔径定义为光纤能够接受外来入射光的最大受光角Φ

的正弦与入射区折射率的乘积。Φθzθin1n2n22an0109第109页，共138页，2023年，2月20日，星期一2、数值孔径只有满足上式的子午线才可以在纤芯中形成导波，即这些子午线被光纤捕捉到了，表示光纤捕捉光线的能力的物理量被定义为数值孔径，用N.A.(NumericalAperture)表示纤芯能捕捉光线的最大入射角为Φmax，意味着只要射入角Φ<Φmax

的光錐内的所有射线均可被光纤捕捉，从而在光纤中发生全反射而向前传播。数值孔径越大表示光纤捕捉光线的能力越强。对于λ＝1.55μm处典型值n1＝1.46，n2＝1.455，可算得N.A.=0.12。110第110页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、相对折射率光纤的纤芯和包层采用相同的基础材料SiO2，然后各掺入不同的杂质，使得纤芯中的折射率n1略高于包层中的折射率n2，它们的差极小，这个差值的大小直接影响着光纤的性能，在光纤的分析中，定义这个差值为相对折射率：当n1与n2相差极小时，Δ也极小，这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤，其相对折射率可近似表示为：111第111页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、相对折射率

一般n1只略大于n2；单模光纤Δ＝0.3％，多模光纤Δ＝1％

，于是：112第112页，共138页，2023年，2月20日，星期一4、归一化频率V表示在光纤中传播模式多少的参数，定义为：

a和N.A.越小，V越小，在光纤中的传播模式越少。一般地，当V<2.405时，只有基模能传播；而当V>2.405时，为多模传输态。113第113页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.4.2阶跃光纤的射线理论分析1、阶跃光纤中的光射线种类子午射线斜射线2、子午线的分析在薄膜波导中，光的轨迹都在一个平面内，只要用界面入射角θ就能描述光线的方位；而在光纤中仅用光线与界面法线的夹角来表示是不够的，还要用光线与轴线的夹角Φ。因为光线可能通过波导轴线（子午光线）而在同一平面内传播，也可不通过轴线（斜射线）在不同的平面内传播。114第114页，共138页，2023年，2月20日，星期一1、阶跃光纤中的光射线种类过纤芯的轴线OO’可做许多平面，这些平面均称为子午面。若光在光纤中传播路径始终在该平面内，这种射线称为子午射线，简称为子午线。纤芯OO’子午线子午面115第115页，共138页，2023年，2月20日，星期一1、阶跃光纤中的光射线种类光线的传播路径不在一个平面内，不经过光纤的轴心线，这种光线称为斜光线，斜光线在光纤端面上的投影为折线，它是一空间折线，可以找出与该射线相切的圆柱面(它在端面上的投影就是斜光线投影的内切圆)称为焦散面。焦散面OO’子午线子午面Φn1n0116第116页，共138页，2023年，2月20日，星期一2、子午线的分析携带信息的光波在纤芯中，由纤芯和包层间的界面引导前进，这种波称为导波。因此，分析纤芯中的子午线，实际上就是要讨论什么样的子午线才能在纤芯中形成导波，分明显，必须是能在纤芯界面上产生全反射的子午线。

一条光射线射到光纤端面的中心，它和端面法线之间的夹角即是入射Φ，光线从空气(折射率为n0)射向光纤端面时，遇到了两种不同介质的交界面，即发生折射，由于n0<n1，光线是由光疏介质射向光密介质，折射线应靠近法线而折射，这时光线在纤芯内沿角度θz的方向前进，当光线射到与包层交界面时，入射角θi，只有θi>θz时，才可能发生全反射。117第117页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播由于各种因素的影响，光纤可能发生形状上的变化。当光束入射到这类光纤时，会产生一些特殊的现象。光纤的直径不均匀光纤端面倾斜光纤弯曲118第118页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤的直径不均匀由于制作工艺等原因，制成的光纤很可能有粗细不均的现象出现。在正常的使用中是应该避免这种情况发生的，但有时为了达到某种需要，也有将光纤做成锥形光纤。用这种光纤接收入射的光束时，可实现数值孔径变换的作用，其原理如图所示。d1d2θ1θ2ααββ入射角入射光线119第119页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤的直径不均匀需要注意的是，锥状光纤是以直径较小端对着入射光的方向的，而不是用宽口径的一端对着来光方向，以为可以接受更多的“信息”。①如果这样做的话，光线从端面进入光纤后，入射到纤芯与包层的界面发生反射时的反射角，会随着反射次数的增加而越来越小，最终会因入射角小于临界角从侧面射出，无法达到光束传播的目的。②如果将小口径端对着入射光，光在光纤中传播时，每次在芯包界面上反射角会随反射次数的增加而越来越大，光的传播方向越来越平行于轴向，这就更有利于光束耦合到与锥状光纤输出端对接的光纤中去。因此，如果锥状光纤的输入端对着光源（LD或LED），则通过加锥状光纤的方法，能够提高光源与光纤的耦合效率。120第120页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤端面倾斜光线入射到与光纤轴线不垂直的端面时，有可能对光纤的集光本领产生影响。如图：n2NN’θ0θ1n0n1OO’απ/2-αΦα121第121页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤端面倾斜如果Φ是临界角如果光从法线另一侧入射，则可以求得上面两式为端面倾斜时入射光线最大入射角的表达式，当α＝0，θ0＝θ0’就是端面垂直于轴线所导出的结果。122第122页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤弯曲光纤的特点之一是柔软可弯曲。弯曲有两类：一类是有意的，必需的；一类是在制造，成缆，施工等过程中引起的微弯。123第123页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤弯曲设X点离O点的坐标为x,d/2≥x≥-d/2。在ΔAXC中，应用余弦定理：124第124页，共138页，2023年，2月20日，星期一3、光线在几种特殊形状光纤中的传播

——光纤弯曲式中，因为d/2≥x≥-d/2，所以sinΦ1≤sinΦ0，即Φ1≤Φ0利用ΔABC，同样可以求得：Φ2≥Φ0

这样，当R小到一定程度(即光纤弯曲严重)时，原来在直部能产生全反射的子午光线，到弯部就从弯曲部分逸出。R进一步减小，有可能使子午光线仅在外表面反射，而不反射到内表面，这意味着sinΦ2已经增大到1，可解出当R的值比(3.139)式的值小时，便会发生子午光线只在外表面反射的情况。125第125页，共138页，2023年，2月20日，星期一3.4.3梯度光纤的射线理论分析入射角不同的光线在阶跃光纤中传播时，几何程长是不同的，因而其轴向速度有所不同，引起模式色散。为了减小模式色散，设计制造了折射率沿半径渐变的光纤，称为梯度光纤或非均匀光纤。由于中心的折射率