2022年湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：12．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ A． B． C． D．yaxbyax28xb的图象可能是A． B． C．D．如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A．32

B．323

C．2 32

D．2 3340cmacm2的长方形，a的值不可能为（）A．20 B．40 C．100 D．120如图，O中，弦、BD相交于点E，连接BC，若30，，则（ ）A．30 B．50 C．70 D．100在平面直角坐标系中，对于二次函数y(x2)21，下列说法中错误的是（ ）A．y的最小值为1．图象顶点坐标为（，1，对称轴为直线xC．当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到7．设A2,y1

，By2

，Cy3

y(x1)2k y，y，y是抛物线 上的三点，是抛物线 上的三点，

的大小关系为（ ）yy y1 2 3

yy y1 3 2

y2

y y3 1

y3

yy1 2ab(a对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝a(ab) b

，那么函数y＝2★x的图象大致是（ ）A． B． C． D．AB是O的直径，点CD在O上．若，则ACD的度数为（）A．50 B．30

C．25 D．20yax2bxcx=1(2，y)，(8，y是抛物线上两点，则y<y，其中正确的结论有( )个3 1 3 2 1 2A．1 B．2 C．3 D．4如图是二次函数＝a2bx（a≠）＝；②＞；③方程ax2bxc＝1的两根分别为﹣3和1；④当x＜1时，y＜1．其中正确的命题是（ ）A．②③ B．①③ C．①② 12．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等 B．四个角相等 C．对角线相等 D．四条边相二、填空题（每题4分，共24分）如图，AB是⊙O的直径是⊙O上一点的平分线交⊙O于D且AB10则AD的长为 ．如图，在Rt ABC中，ACB90,AC2,tanB则DE ．

3,CD平分ACB交AB于点D,DEBC，垂足为点E，4如图，DE是ABCAFBC边上的中线，DEAFM△ADE；②MAMF；③MD1BC：④S 1S

，其中正确的是 （只填序号．4 △AMD 4 △ABCRt△ABC中，∠C＝90sinA＝3cosB＝．4如图，矩形纸片ABCD中，AB8cm，BC12cm，将纸片沿EF折叠，使点A落在BC边上的A处，折痕分别交边AB、AD于点F、E且AF5.再将纸片沿EH折叠使点D落在线段上的D处折痕交边CD于点H.连接FD，则FD的长是 cm.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEFO重合，点Ax轴上，点Bykk的值为．x三、解答题（共78分）19（8分）如图，已知点P是O外一点，直线PA与O相切于点B，直线PO分别交O于点C、D，PAOPDBOABDE．OA//BC；当O的半径为10BC8AE的长．20（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+2x+c与x轴交于（，）（，）两点，与y轴交于点CD是该抛物线的顶点．求抛物线的解析式和直线AC的解析式；yM，使的周长最小，求出点M的坐标；试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，CP的坐标；若不存在，请说明理由．21（8分）在平面直角坐标系中，抛物线x﹣（＞）的图象记为，将G1绕坐标原点旋转180得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．（）当以（（﹣，（，（）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公n的取值范围．22（10分）如图，在R△ABC中，∠AC＝9°，∠BA＝3°，点O是边AC的中点．1中，将△ABCOn°得到△A1B1C1A1B1Cn的值．122AA1、、CC1AA1CC1是矩形；3中，将△ABCOm°得到△A2B2C2A2B2A、A2C、CC2．2 mAACC2 2②若AB＝ ，请直接写出2

的长．23（10分）如图1和不完整的扇形图如图其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多查了 人．24（10分）如图，四边形ABCD中，ABACAD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD.；ACBDEAB1,CECP2:3AE的长.25（12分）已知二次函数yx2kxk5．k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；.26．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B＝∠ACD．求证：△ABC∽△ACD；AC＝6，AD＝4DB的长．参考答案一、选择题（4481、D【解析】根据题意直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查中心对称与轴对称的概念即有轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2、C【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．3、A△ 【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以故是等边三角形设点GAB与⊙O的切点，连接则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=SOAB-S OMN△ 【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，3∴OG=OA∙sin60°=2×2

= 3，阴影 △ 扇∴S =S OAB-S OMN阴影 △ 扇

1 602×2×3-2360

3

3．2A．【点睛】4、D【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）=a，整理，得x2﹣20x+a=0，∵△=400﹣4a≥0，解得a≤100，故选D．5、C【分析】根据圆周角定理可得DC30，再由三角形外角性质求出A，解答即可．ABAB30，∴AEB，A100D70C．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6、C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．y(x2)21a10，x2，顶点为(2,1)x2yx2yx值x2yx值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y

x2的图象向右平移2个单位长度得到y(x2)21个单位长度得到y(x2)21；DC．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7、Ay=－（x+1）2+k（k为常数的开口向下，对称轴为直线【详解】解：∵抛物线y=－（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而A（2，y1）离直线x=﹣1的距离最远，C（﹣2，y

）点离直线x=1最近，∴yy y．3A．【点睛】

1 2 3本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．8、C【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故、D错误；2＜x≤2，B【点睛】

x，yx本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的关键．9、C【分析】根据圆周角定理计算即可．，AOD 50AOD 50，∴ACD【点睛】

12AOD25，此题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10、A【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0b＞0c＞0，进而即可得出abc＜0，结x=2y＞0，进而可得出4a+2b+＞y1=2上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，b∴a＜0，2a=1，c＞0，∴b=-2a＞0，∴abc＜0，结论①错误；②抛物线对称轴为直线x=1，b∴2a=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，结论②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x=，与x轴的一个交点坐标是-，，∴另一个交点坐标是，0，∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，结论③错误；④1(2)=5，815，3 3 3 3∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，∴y1=y2，结论④错误；故选择：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11、Bx=1时，y=1可对①进行判断；利用对称轴方程可对②进行判断；利用对称性确定抛物线与x个交点坐标为（-，，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；利用抛物线在x围可对④进行判断．【详解】∵x＝1时，y＝1，∴a+b+c＝1，所以①正确；b∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2a＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，，ax2+bx+c＝1的两根分别为﹣31当﹣3＜x＜1时，y＜1，所以④错误．故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线的性质及对称性，掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的关系是关键．12、D矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．【详解】解答：解：A、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；B、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故B错误；C、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C错误；D、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故D正确；故选D．考点：菱形的性质；矩形的性质．二、填空题（42413、52【分析】连接OD，由AB是直径，得∠ACB=90°，由角平分线的性质和圆周角定理，得到△AOD是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求出AD的长度.【详解】解：连接OD，如图，ABO的直径，1AB 1∴∠ACB=90°，AO=DO=2∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，∴△AOD是等腰直角三角形，

2105，∴AD AO2DO2 525252；52.【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理进行解题.814、7【分析】首先解直角三角形得出BC，然后根据DEBC判定DE∥AC，再根据平行线分线段成比例即可得出BE DEBC

AC，再利用角平分线的性质，得出CE=DE，然后构建方程，即可得出DE.【详解】∵ACB90,AC2,tanB3,4∴BC

AC 23

8,tanB 4 3又∵DEBC∴DE∥ACBE DE∴BCAC又∵CD平分ACB∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=45°∴CE=DEBCDE DE∴ BC AC∴DE878故答案为.7【点睛】此题主要考查利用平行线分线段成比例的性质构建方程，即可解题.15、①②③DE是ABC的中位线可得DE∥BCDEDE是ABC的中位线

1BC,即可利用相似三角形的性质进行判断即可.2∴DE∥BCDE

1BC2△ADE，故①正确；∵DE∥BCAD AM∴BD

MF1∴MAMF，故②正确；∵DE∥BC∴△ADMAD MD 1∴ AB BF 2∴MD

1BF2AFBC边上的中线∴BF∴MD

1BC21BC4∵△ADM1∴S S

,故④错误；△AMD 4 △ABF综上正确的是①②③；故答案是①②③【点睛】本题考查三角形的中位线、相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用三角形的中位线得到平行线.316、4 ．【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．3【详解】解：由∠C=90°，若sinA=4，3得cosB=sinA=4，3故答案为4．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．17、89EEG⊥BCEG=AB=8cm，∠A=90ADBC12cm，然后根据AF5cmAEA90EDED，根据勾股定理和锐角三角函数cosFD.【详解】过点E作EG⊥BC于GABCDAB8cmBC12cm，∴EG=AB=8cm，∠A=90°，ADBC12cm根据折叠的性质AF5cm，AE，A90，ED ED∴BF=AB－AF=3cmAB

2BF24cm∴cos∠

AB45∵18090，90∴∴cosAEGEGcosBAF45解得：AE10cm∴AE=10cm，∴ED=AD－AE=2cm∴ED ED 2cm∴根据勾股定理可得：FD故答案为：89.【点睛】

AF2 89此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.18、9 3【解析】试题分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=10°．∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形．∴OA=OB=AB=1．∴BM=OB•sin∠BOA=1×sin10°=33，OM=OB•COS10°=2．∴B的坐标是（23∵B在反比例函数

3．位于第一象限的图象上，∴k=2×33= ．三、解答题（共78分）19（）（）．【分析】（1）连接OB，由切线的性质可得OB⊥PA，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠CBD=90°，再根据等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代换得到∠CBO=∠BOA，即可证平行；先由勾股定理求出BD，然后由垂径定理得到DEOE，再利用△ABE∽△DOEAE．【详解】（1）如图，连接OB，PA与

O相切于点B，∴∠PAO+∠BOA=90°∵CD是O的直径∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°又∵∠PAO=∠PDB∴∠BOA=∠BCD∵OB=OC∴∠BCD=∠CBO∴∠CBO=∠BOA∴OA∥BC（2）∵半径为BC 8，21∴BD= CD2= 20282=421∴OE⊥BD21121 ∴E是BD的中点，DE=2BD= ∴OE= OD2DE2=1022 21 =4∵，∴ABE DOE，2 212 21∴AEBE，即AE 2 212 21DE OE 4∴AE

2 212 4

=21．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键．20、（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；7 20 10 13P的坐标为（39）或（3，﹣9），（设交点式y=（x+）（x--2a=a（，，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；利用二次函数的性质确定D的坐标为，，作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于，如图，则（-，，利用两点之间线段最短可判断此时MB+MDBDM的周长最小，然后求出直线的M的坐标；CAC的垂线交抛物线于另一点P2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式x22x31 1 为y=-3x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-3x+3，再解方程组y＝1x3

得此时P点 3AAC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P（）设抛物线解析式为y=（x+）（﹣），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，pq0 p3把A（﹣1，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，q3 q3∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，1PC3x+b，把C（0，3）代入得b=3，1PCy=﹣3x+3， 7x22x

x0x

7 20解方程组 1

，解得 或

3，则此时P点坐标为（， ）；x3

y3 20 3 9 3

y9AAC的垂线交抛物线于另一点PPCy=﹣x+b，1 1A（﹣1，0）3+b=0b=﹣3，1 1PCy=﹣3x﹣3，x22x

x10x1

10 13解方程组

1 1

3或 ，则此时P点坐标为（

，﹣ ）.x y0 13 3 9 3 3

y97 20 10 13综上所述，符合条件的点P的坐标为（3，9）或（3，﹣9）.会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．21（）n的值为3或（）①＝±6或4或，②﹣﹣10≤≤﹣（）当＝，＝，＜＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．（1）G2的顶点坐标和解析式，然后就PG1G2上两种情况讨论求解即可；①先分别求出图象G1G2的解析式，然后就PG1G2上两种情况讨论求解即可；②结合图像如图1，即可确定k的取值范围；2，根据分n的取值范围分类讨论即可求解．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，∴顶点坐标为（，﹣，∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，∴图象G2的顶点坐标为（，﹣n+，G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，P（﹣1，2）G1上，∴2＝9+n﹣4，∴n＝﹣3；若点P（﹣1，2）在图象G2上，∴2＝﹣1+4﹣n，∴n＝1；综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；（2）①当n＝﹣1G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5，Q（t，1）G1上，∴1＝（t﹣2）2﹣5，∴t＝2±6，若点Q（t，1）在图象G2上，∴1＝﹣（t+2）2+5，∴t1＝﹣4，t2＝0②如图1，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，∴x＝2+ 10＞3，对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，∴x＝﹣2﹣10，∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，∴﹣2﹣10≤k≤﹣2；（3）如图2，∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，∴图象G2的顶点坐标为（，﹣n+，与y轴交点为（，﹣，图象G1的顶点坐标为（，﹣，与y轴交点为（，，n≤﹣1G1ABCD1G2ABCD1交点，当﹣1＜n＜0G1ABCD1G2ABCD3交点，n＝0G1ABCD1G2ABCD2交点，共三个交点，0＜n≤1G1ABCD1G2ABCD1交点，当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，3≤n＜7G1ABCD23≤n＜5G2ABCD2时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，∴n＝5，当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图像的性质、二次函数的解析式以及二次函数图像上的点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.2 2 22（）＝6°（）见解析（）①＝12°，四边形AACC是矩形；AA＝3 32 2 1（）COC（）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可（）①12 2 2 求出∠COC即可，根据矩形的判定证明即可解决问题．②解直角三角形求出ACAA2 2 2 【详解】（1）解：如图1中，1 1 由旋转可知：△ABC≌△ABC1 1 ∴∠A1＝∠A＝30°，1∵OC＝OA，OA＝OA，1∴OC＝OA1，∴∠OCA1＝∠A1＝30°，1 ∴∠COC1＝∠A+OCA＝60°1 ∴n＝60°．2中，∵OC＝OA，OA1＝OC1，∴四边形AA1CC1是平行四边形，∵OA＝OA1，OC＝OC1，∴AC＝A1C1，∴四边形AA1CC1是矩形．3中，①∵OA＝OA2，2∴∠OAA2＝∠OAA＝30°，22∴∠COC2＝∠AOA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，2∴m＝120°，2 ∵OC＝OA，OA＝OC2 2 AACC2 ∵OA＝OA2，OC＝OC2，2 ∴AC＝AC2 2 AACC2 2 ②∵AC＝AC＝AB•cos30°＝