2021年福建省泉州市南安天山中学高三数学理月考试题含解析

2021年福建省泉州市南安天山中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则m的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，因为，所以，即，即正数m的最小值为．

2.在中,点是的中点,过点的直线分别交直线与不同的两点,若则的最小值为(

)A.2

B.4

C.

D.9参考答案：C3.若展开式的常数项等于-80，则a=（

）A.－2 B.2 C.－4 D.4参考答案：A【分析】用展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上展开式中的系数乘以1即得已知式展开式的常数项．【详解】由题意，解得．故选A．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．4.若m＞0且m≠1，n＞0，则“logmn＜0”是“(m－1)(n－1)＜0”的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为,则椭圆的方程为

参考答案：B6.“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出不等式：|x﹣1|＜2，x（x﹣3）＜0，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知集合，，则为（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：A略8.若A为全体正实数的集合，，则下列结论正确的是：A．

B．C．

D．参考答案：D

【解析】，∴，故选D。9.设a，b，c均为正数，且2a=，，，则(

)A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合．【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．【解答】解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．10.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于（

）A． B． C． D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___

的学生.参考答案：37因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学。所以第8组中抽出的号码为号。12.设，则二项式展开式中的第项的系数为

;参考答案：

13.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为多，则a的值为

．参考答案：24214.在2013年3月15日那天，海口市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销量y1110865根据上表可得回归直线方程是：则__________.参考答案：4015.曲线（θ为参数）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，则|AB|=

．参考答案：2【考点】圆的参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形可得其普通方程，求出其圆心坐标及半径，分析可得圆心在直线上，则|AB|=2r，即可得答案．【解答】解：根据题意，曲线的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为（0，1），半径r=1，而直线的方程为x+y﹣1=0，圆心在直线上，则AB为圆的直径，故|AB|=2r=2；故答案为：2．【点评】本题考查圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，关键是将圆的参数方程化为普通方程．16.已知F为抛物线C：的焦点，直线与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则________.参考答案：【分析】联立直线与抛物线，根据弦长公式以及点到直线的距离可得三角形的面积．【详解】联立得，设，则，则||AB|＝，点O到直线的距离．故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，属于中档题．17.已知向量，则在方向上的投影为_______.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数（，为自然对数的底数）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.参考答案：解：（1）由，得.

又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，.（2）

当时，，为R上的增函数，无极值.当时，令，得，

时，；时，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，在处取得极小值，无极大值.（3）当时，，则方程在R上无实数解.即在R上无实数解，令则，令，得，由表格可知在上递增，在上递减，在上递减，且在上的最大值为，当时，所以，所以的最大值为.

略19.前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：解：（1）众数：8.6；

中位数：8.75；（2分）（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则

；

（4分）（3）的可能取值为0，1，2，3.

；；；

所以的分布列为：.

（12分）略20.设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）若OA⊥OB，弦AB是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（I）对直线l的斜率是否存在进行讨论，利用中垂线的性质列方程组得出直线l的截距b的范围，从而得出结论；（II）设AB方程为y=kx+b，联立方程组，根据根与系数的关系和x1x2+y1y2=0求出b的值，从而得出定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x2，即，∴，∴焦点为．（1）若直线l的斜率不存在，显然有x1+x2=0，（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+b，则，，，即l的斜率存在时，不可能经过焦点．∴当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F．（Ⅱ）设弦AB的方程为y=kx+b，联立方程组，得2x2﹣kx﹣b=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣．∴y1y2=4x12x22=b2，若OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，∴﹣+b2=0，解得b=或b=0（舍）．∴弦AB过定点（0，）．21.（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在△中，角、、所对的边分别为、、，已知（），且．（1）当，时，求，的值；（2）若为锐角，求实数的取值范围．参考答案：（1）由正弦定理得，，所以，

…………（2分）又，所以或

…………（5分）（少一组解扣1分）（2）由余弦定理，，……（1分）即，

…………（2分）所以．

…………（4分）由是锐角，得，所以．

…………（6分）由题意知，所以．

…………（7分）22.（本小题满分14分）

已知数列和满足：

，

其中为实数，为正整数．（Ⅰ）对于给定的实数，试求数列的通项公式，并求前项和；（Ⅱ）设数列，试求数列的最大项和最小项；（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）因为……………(2分)又，所以当，，此时……………(3分)当时，，，此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列.

…（5分）故：

…（6分）(Ⅱ)，当为正奇数时，为递减数列，时，，故，；当为正偶数时，为递增数列