2021年湖南省郴州市市第八中学高三数学文月考试题含解析

2021年湖南省郴州市市第八中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,n∈N※,如果执行右边的程序框图,那么输出的等于(

)

A.18.5

B.37

C.185

D.370参考答案：A2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数参考答案：D略3.已知集合,则等于

（）A． B． C． D．参考答案：B略4.已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．5.使N展开式中含有常数项的的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C，令＝0，得，所以的最小值是56.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240参考答案：D7.在等差数列{an}中，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】先由题意求出，设等差数列的公差为，求出公差，进而可求出结果.【详解】因为，所以，即，设等差数列的公差为，又，所以，故，所以故选B．【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则（

）A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B设等差数列的公差为d,∵,∴a1+10d=13a1+d=13，解得a1=?17，d=3.则a9=?17+8×3=7.故选：B.

9.定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）?f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则（）A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞b＞c参考答案：A考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设g（x）=xf（x），易知g（x）是偶函数，由f（x）+xf'（x）＜0，得g'（x）＜0，从而可判断g（x）在∈（﹣∞，0）及（0，+∞）上的单调性，而a，b，c可化为g（x）在（0，+∞）上的函数值，利用单调性即可作出大小比较．解答：解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，a=3f（3）=g（3），b=（logπ3）?f（logπ3）=g（logπ3），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2）．又logπ3＜1＜2＜3，故a＞c＞b．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．10.“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，则预测2019年捐赠的现金大约是(

)34562.5344.5

A.5万元 B.5.2万元 C.5.25万元 D.5.5万元参考答案：C【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【详解】由已知得，，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在ABC中，点E在AB边上，点F在AC边上，且，BF与CE交于点M，设，则的值为______。参考答案：略12.在中，依次成等比数列，则B的取值范围是

参考答案：因为依次成等比数列，所以，即，所以，所以，所以，即B的取值范围是。13.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：14.△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．参考答案：

考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cosC=，可得角C的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b??cos=b2，∴a=b．再根据cosC===，故有C=，故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．15.

若，且，则参考答案：答案：716.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是

（

）A．46，45，56

B．46，45，53C．47，45，56

D．45，47，531.参考答案：A.

根据茎叶图可知样本中共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的是45，最大数与最小数的差为68-12=56.故选A.17.在△ABC中，已知a,b,c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p=q=满足p∥q,则∠C=

.参考答案：由∥，得,则.由余弦定理得，故.又由正弦定理得，所以，所以.又，所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

利用时间充分利用时间不充分总计走读生50

住宿生10

总计60

100K2=参考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），推导出第①组1人，第②组4人，第③组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100…K2=≈5.556…由于K2＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图可知：P1=×30=，P2=×30=，P3=×30=，∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．…则X的所有可能取值为0，1，2，3，，∴，…..∴X的分布列为：P0123X．…..19.(12分)如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；(2)求弦AB中点M的轨迹的普通方程。参考答案：⑵

设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

……10分消去参数k，得

；即为M点轨迹的普通方程略20.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）试证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由题…………2分故在区间上是减函数;…………3分（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，…5分再取则故在上单调递增，而，…7分故在上存在唯一实数根，故时，时，故故…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：令，………………10分又……12分即：………………14分21.在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【