2021年湖北省鄂州市胡家畈中学高三数学理期末试卷含解析

2021年湖北省鄂州市胡家畈中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f(x)＝sin()是偶函数，则＝()A.

B.

C.

D.参考答案：C2.设椭圆的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足=9，则||?||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15参考答案：D【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，?=9，即||?||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||?||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=16，∴|PF1|?|PF2|=15，故选：D．3.从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（）A．24个 B．30个 C．36个 D．48个参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】根据先选再排的原则，从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，考虑0的特殊性，再进行全排列，问题得以解决．【解答】解：由题意，选出一个偶数和两个奇数，有0时，=3种，此时满足题意的三位奇数有：3×2=6种．没有0时，=6种选法，组成没有重复数字的三位奇数，有6×2×2=24种．共有6+24=30种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解偶的含义，以及计数原理，且能根据问题的要求进行分类讨论，本题考查了推理判断的能力及运算能力．4.若函数的定义域为，则实数的取值范围是(

)．． ． ． ．参考答案：D略5.函数的图象可能是参考答案：6.已知等差数列的通项公式为，则的展开式中含项的系数是该数列的（

）A．第项

B．第项

C．第项

D．第项参考答案：D7.

一动圆过点A(0，)，圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为（

）A．x=

B．x=

C．y=－

D．y=－参考答案：答案：D

8.已知等差数列中,是方程的两根,则等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略9.若双曲线C：的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B10.某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为,出现丙级品的概率为,则对产品抽查一次抽得正品的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是_____________．参考答案：12.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为

参考答案：13.函数的图像关于（

）对称A.x轴 B.y轴 C.原点 D.y=x参考答案：C略14.记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____．参考答案：如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，，，因此所求概率为．15.已知函数的图像在某两点处的切线相互垂直，则的值为

.参考答案：016.若正数满足，则的最小值为________.参考答案：417.在中，为钝角，设,则的大小关系 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，=．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R，=．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：xP=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=?，由=．，则2×=?，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R，=．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．19.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积．【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，从而所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：【点评】解决平面图形翻折问题的关键是看准翻折后没有发生变化的位置关系，抓住翻折后仍然垂直的直线作为条件，从而解决问题．20.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.

参考答案：略21.已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.参考答案：（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【分析】（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在上单调递增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ)证明:平面A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD