2021年山西省太原市尖草坪区第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021年山西省太原市尖草坪区第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的大小关系为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略2.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为()A.[0，3]

B.(1，3)

C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)参考答案：D由题可知f（x）＝ex－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1，若有f（a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]．即－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋．

3.下列四个选项中错误的是A．命题“若则”的逆否命题是“若则”.

B．若为真命题，则为真命题.

C．若命题则.

D．“”是“”成立的必要不充分条件.参考答案：D4.等差数列{}的前n项和为Sn，S3=6，公差d=3，则a4=A．8

B．9 C．’11 D．12参考答案：A5.集合A={x，B=，则= A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{-1，0，1}参考答案：A略6.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（

）A．30

B．45

C．90

D．186参考答案：【答案】C【解析】由,

所以【高考考点】等差数列的判定及等差数列的通项公式、前n项和公式7.等差数列{}的前n项和为.若是方程的两个根，则的值(

)A．44

B．－44

C．66

D．－66参考答案：D8.如图，已知梯形ABCD中,点E在线段AC上,且,双曲线过C、D、E三点，以A、B为焦点;则双曲线离心率e的值为（

）A．

B．

C.

D．2参考答案：B由，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系：设双曲线的方程为，则双曲线是以，为焦点.∴，将代入到双曲线的方程可得：，即.∴设，则.∵∴∴，，则.将点代入到双曲线的方程可得，即.∴，即.故选B.

9.已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：

A10.下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是(

) A．y=2sin（+） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（2x+） D．y=2sin（﹣）参考答案：B考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答： 解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为

．参考答案：5【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：512.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为

．参考答案：13.已知向量，满足且，则与的夹角为__________．参考答案：∵且，∴，∴，．14.将一颗骰子向上抛掷两次，所得的点数分别为m和n，则n≤2m的概率是

。参考答案：15.设等差数列的前项和为，若，则

.参考答案：答案：

16.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是CD的中点，则的值为

参考答案：略17.设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①； ②；③； ④；上述为“点射域”的集合的有__________（写正确的标号）参考答案：②略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=e3ax（a∈R）的图象C在点（1，f（1））处切线的斜率为e，函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）为奇函数，且其图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1?x2＜1．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据?x∈（﹣2，2），ex＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记，x∈（﹣2，0）∪（0，2），根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1?2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f'（x）=3ae3ax，∴，∵g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）为奇函数，∴b=0．（2）由（1）知f（x）=ex，g（x）=kx．∵当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，∴?x∈（﹣2，2），ex＞kx恒成立，当x=0时，e0=1＞0×k显然可以，记，x∈（﹣2，0）∪（0，2），则，由h'（x）＞0?x∈（1，2），∴h（x）在（﹣2，0）上单调减，在（0，1]上单调减，在[1，2）上单调增，∵，∴，∵k≠0，∴所求实数k的取值范围是．（3）证明：由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），∵，∴，，∴．要证x1?x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1?2μlnμ﹣μ2+1＜0，令?（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证?（μ）＜0，，∵μ＞1，∴?''（μ）＜0，∴?'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴?'（μ）＜?'（1）=0，∴?（μ）在（1，+∞）上单调减，∴?（μ）＜?（1）=0，∴x1?x2＜1．19.设数列是有穷等差数列，给出下面数表：

……

第1行

……

第2行

…

…

…

…

…

…

第行上表共有行，其中第1行的个数为，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为．（1）求证：数列成等比数列；（2）若，求和.参考答案：（1）由题设易知，，．设表中的第行的数为，显然成等差数列，则它的第行的数是也成等差数列，它们的平均数分别是，，于是.故数列是公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，故当时，，．于是．设，则

①

②①②得，，化简得，，故.

20.已知函数，，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（I）的定义域为，且，

………………1分所以实数的取值范围是

……14分.略21.在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），∴直线l的参数的标准方程可写成…代入