突破2021中考数学压轴题培优《07几何动点综合性问题》(江苏专版)（解析版）

专题07几何动点综合性问题

【真题再现】

1.(2019年南通中考第27题)如图，矩形ABCQ中，AB=2,AD=4.E,尸分别在A。，BC上,点A与

点C关于E尸所在的直线对称，P是边。C上的一动点.

(1)连接4凡CE,求证四边形AFCE是菱形；

DP

(2)当△PEF的周长最小时，求女的值；

CP

(3)连接BP交E尸于点M,当NEMP=45°时，求CP的长.

【分析】(1)由“A4S”可证△4EO/△CFO,可得4E=CF,可得四边形AFCE是平行四边形，且AC

LEF,可证四边形AFCE是菱形；

(2)作点F关于CD的对称点H,连接EH,交CD于点P,此时△EFP的周长最小，由勾股定理可求

AF的长，由平行线分线段成比例可求解；

(3)延长E凡延长48交于点N,过点E作EH_LBC于，，交BP于点G,过点。作BOJ_RV于点O,

可证四边形ABHE是矩形，可得AB=EH=2,BH=AE=|,由相似三角形的性质依次求出BN,NF,BO,

EM,EG的长，通过证明由相似三角形的性质可求CP的长.

【解答】证明：(1)如图：连接AF,CE,AC交EF于点。

•.•四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD,AO=8C,AD//BC

:.NAEO=NCFO,ZEAO=ZFCO,

..•点A与点C关于EF所在的直线对称

."0=C0,ACLEF

,：ZAEO^ZCFO,ZEAO^ZFCO,AO=CO

：./\AEO^ACFO(AAS)

：.AE=CF,且AE〃CF

四边形AFCE是平行四边形，且ACLEF

四边形AFCE是菱形；

(2)如图，作点尸关于C。的对称点H,连接EH,交CD于点P,此时的周长最小,

•四边形AFCE是菱形

.AF=CF=CE=AE,

'AF2=BF2+AB2,

.4产=(4-AF)2+4,

,A-F=25

.AE=|=CF

3

.DE=|

,点F,点”关于C。对称

.CF=CH=l

'AD//BC

DPDE3

*CP-CH-5

(3)如图，延长EF,延长AB交于点M过点E作EHLBC于H,交BP于点、G,过点8BOLFN

于点O,

ED

由（2）可知I,AE=CF=^fBF=DE=

•；EH±BC,ZA=ZABC=90°

・・.四边形ABHE是矩形

:.AB=EH=2,BH=AE=|

：.EF=y/EH2+FH2=V5,

'：AD//BC

:ABENsAAEN

BN_3_NF

BN+2-5-NF+V5

:・BN=3,NF=^-

・・・4N=5,NE=g

*：NN=/N,ZBON=ZA=90°

:.△NBOsXNEA

BNBONO

EN~AE~AN

3BONO

'运=~=T

F2

・・.30=誓NO=^

■:NEMP=NBMO=45°,BOLEN

：.ZOBM=ZBMO=45°

o/r

：.BO=MO=^-

7©

：.ME=EN-NO-M0=寄

\*AB//EH

:・/\BNMs/\GEM

・BNNM

EG-EM

9Vs

.二

..茄=运

10

7

：.EG=z

o

：.GH=EH-EG=I

6

'：EH//CD

:.ABGHsABPC

.GHBH

"PC~BC

55

.._2

""PC_4

4

:.CP=]

点评：本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键.

2.(2019年苏州中考第27题)己知矩形ABCD<^,AB=5cm,点P为对角线AC上的一点，且AP=2y[5cm.如

图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运

动时间为f(s),△4PM的面积为S(cl),S与，的函数关系如图②所示.

(1)直接写出动点M的运动速度为2cmk,BC的长度为10cm：

(2)如图③，动点"重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点

N从点。出发，在矩形边上沿着。fC-B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为u(CTM/S).已知两

动点M,N经过时间x(s)在线段8c上相遇(不包含点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动，记

22

此时△APM与的面积分别为SiCem),S2(ent)

①求动点N运动速度v(cmis)的取值范围；

②试探究Si畤2是否存在最大值，若存在，求出&畤2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说

明理由.

【分析】(1)由题意得f=2.5s时，函数图象发生改变，得出f=2.5s时，M运动到点8处，得出动点M

的运动速度为：—=2cm/s,由f=7.5s时，S=0,得出f=7.5s时，M运动到点C处，得出BC=10(c/n)；

2.5

(2)①由题意得出当在点C相遇时，v=1(cm/s),当在点B相遇时，v=与翟=617W/S),即可

得出答案；

AFAP

②过P作于F,交CD于E,则EF〃BC,由平行线得出——=——，得出AF=2,CE=AF=2,

ABAC

CE=BF=3,由勾股定理得出PF=4,得出£尸=6,求出S,=S&APM=S^APF+SPFBM-5AABM=-2x+15,

7157225

S2—S^OPM—SADEP+Sw)t,EPMC-SADCM—2x,得出Si・S2=(-2x+15)X2x=-4.r+30x=-4(x—工厂+-^—，

即可得出结果.

【解析】(I)；f=2.5s时，函数图象发生改变，

：.t=2.5s时，M运动到点8处，

动点M的运动速度为：—=2cm/s,

2.5

；r=7.5s时,S=0,

.••f=7.5s时,M运动到点C处，

:.BC=(7.5-2.5)X2=IO(an),

故答案为:2,10；

(2)①：两动点M,N在线段2C上相遇(不包含点C),

/.当在点C相遇时，v=衾=|(ends'),

当在点8相遇时，y=泊-=6（cm/C,

2

・••动点N运动速度u(cm/s)的取值范围为i7n/sVu《6o〃/s：

②过P作E/LLA8于R交CO于£如图3所示：

则EF//BC,EF=BC=10,

.AFAP

••~~~=,

ABAC

'：AC=7AB2+BC2=5V5,

•竺_独

555/5

解得:A尸=2,

：.DE=AF^2,CE=BF=3,PF=y/AP2-AF2=4,

:.EP=EF-PF=6,

.•.51=SiMPM=SAAPf+S梯形PFBM-SAABM=；x4X2+：(4+2x-5)X3—ix5X(2x-5)=-2x+15,

111

52=54。P知=5△。£7>+5梯形£尸例。-54£>。知=2乂2><6+2(6+15-2x)X3—^x5X(15-2x)=2x,

2

：.S\-S2=(-2X+15)X2r=-4,r+30x=-4(x-苧)？+竿，

：2.5<苧<7.5,在8c边上可取，

当犬=学时，S「S2的最大值为勺一.

点评：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、函数的图象、三角形面积公式、梯形面积公式、平

行线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，正确理解函数图象是解题的关键.

3.（2019年扬州中考第27题）如图，四边形A8CD是矩形，AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部

作等腰直角△GOC,/G=90°.点M在线段A2上，且AM=a,点P沿折线AO-10G运动，点。沿

折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段尸。〃AB.设尸。与A8之间的距离为

X.

(1)若a=12.

①如图1,当点尸在线段A。上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为3；

②在运动过程中，求四边形4Mop的最大面积；

(2)如图2,若点尸在线段Z)G上时:要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.

【分析】(1)①P在线段A£>上，PQ=AB=20,AP=x,AM=12,由梯形面积公式得出方程，解方程即

可：

②当P,在A力上运动时，P到。点时四边形4MQP面积最大，为直角梯形，得出0<x<10时，四边

形AMQP面积的最大值=今(12+20)10=160,

当P在DG上运动，10<x<20,四边形AMQP为不规则梯形，作PK_LA8于K,交CO于M作GEJ_

CD于E,交AB于F,则PKa=x,PN=x-10,

1

E尸=8C=10,由等腰直角三角形的性质得出GE=»CO=10,得出GF=GE+E尸=20,GH=20-x,证明

△GPQMGDC,得出比例式，得出PQ=40-2x,求出梯形AMQP的面积=^(12+40-2x)Xx=-(x

-13)2+169,由二次函数的性质即可得出结果；

1

(2)P在OG上，则1O0V2O,AM^a,尸。=40-2x,梯形AMQP的面积5=方(a+40-2r)Xx=-

/+竺笄犬,对称轴x=]0+g得出1OW1O+§415,对称轴在10和15之间，得出10«20,二次函

数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出-2()2+当股X2O>5O,〃<5；即可得出答案.

【解答】(1)解：①P在线段4。上，PQ=AB=20,AP=x,AM=\2,

1

四边形AMQP的面积=2(12+20)尸48,

解得：x=3；

故答案为：3；

②当P,在4。上运动时，P到。点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形,

.♦.OVxWlO时，四边形AMQP面积的最大值=2(12+20)10=160,

当尸在QG上运动，10<xV20,四边形AM。？为不规则梯形，

作PK_LA8于K,交C£>于N,作GE_LCD于E,交A8于F,如图2所示：

则PK=x,尸N=x-10,EF=BC=10,

•••△GOC是等腰直角三角形，

:.DE=CE,GE=|CD=1O,

：.GF=GE+EF=20,

：.GH=20-x,

由题意得：PQ//CD,

:.△GPQS/XGDC,

.PQGH

••=,

DCGE

解得：PQ=40-2x,

梯形4WQP的面积=；(12+40-2x)Xx=-/+26x=-(x-13)2+169,

...当x=13时，四边形AMQP的面积最大=169；

(2)解：P在。G上，则10Wx<20,AM=a,尸Q=40-2x,

梯形AMQP的面积S=*(a+40-2x)Xx=-/+生养心对称轴为：x=10+*

：0—0,

.•.10=^10+^<15,对称轴在10和15之间,

V10^x<20,二次函数图象开口向下,

...当X无限接近于20时,S最小,

，-202+^4^0^+Qx20>50,

：.a>5i

综上所述，a的取值范围为5—0.

点评：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、

梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键.

4.(2019年无锡中考第28题)如图1,在矩形ABCD中，BC=3,动点P从8出发，以每秒1个单位的速

度，沿射线8C方向移动，作△■R48关于直线力的对称△物夕，设点P的运动时间为r(s).

(1)若AB=2y/3.

①如图2,当点B'落在AC上时，显然△%8,是直角三角形，求此时r的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△PC"是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的f的值？

若不存在，请说明理由.

(2)当P点不与C点重合时，若直线PB'与直线CD相交于点M,且当r<3时存在某一时刻有结论/

%M=45°成立，试探究：对于f>3的任意时刻，结论“N1mM=45°”是否总是成立？请说明理由.

图1图2备用图

CB,PBf

【分析】(1)①利用勾股定理求出AC,由△PCS'-AACB,推出力即可解决问题.

②分三种情形分别求解即可：如图2-1中，当/PCB'=90°时.如图2-2中，当NPC8'=90°时.如

图2-3中，当NCPB'=90°时.

(2)如图3-2中，首先证明四边形A8CD是正方形，如图3-2中，利用全等三角形的性质，翻折不变

性即可解决问题.

【解析】(1)①如图1中，

•.•四边形ABC。是矩形，

AZABC=90°,

：.AC=\/AB2+BC2=V21,

,：ZPCB'=ZACB,NPB'C=NA8C=90°,

：./\PCB'S^ACB,

*CB>PB'

••=♦

CBAB

.>/21-2y/3PBi

二3~~二运

：.PB'=2A/7-4.

:.t=PB=2巾-4.

②如图2-1中，当NPCB'=90°时，

图2-1

•.•四边形ABC。是矩形，

/.ZD=90°,AB=CD=2y/3,AD=BC=3,

：.DB'=J(2V3)2-32=V3,

：.CB'=CD-DB'=V3,

在RlZXPCB，中，"：B'P^Pd+B'C2,

.12=(V3)2+(3-t)2,

.\t=2.

如图2-2中，当NPCB'=90°时,

：.CB'=3V3

在RlZSPCB'中则有：（3b产+«-3尸=12,解得f=6.

如图2-3中，当NCPB'=90°时，易证四边形ABP'为正方形，易知f=2次.

综上所述，满足条件的/的值为2s或6s或2员

图3-1

/加历=45°

；./2+/3=45°,ZI+Z4=45°

乂•.•翻折，

二/1=/2,/3=/4,

又M,AM=AM,

J.△AMOg△AM8'(AAS),

.'.AD=AB'=AB,

即四边形A8C£＞是正方形,

如图，设NAPB=x.

图3-2

：.ZPAB=90Q-x,

：.ZDAP^x,

易证AM(HL),

：.ZBAM=ZDAM,

•••翻折，

：.ZPAB^ZPAB'=90°-x,

：.ZDAB'=ZPAB'-NOA?=90°-2x,

：.ZDAM=^ZDAB'=45°-x,

AZMAP=ZDAM+ZPAD=^5°.

点评：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问

题，属于中考压轴题.

5.(2019年淮安中考第27题)如图①，在△A8C中，AB=AC=3,ZBAC=100°,。是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究：在线段上任取一点尸，连接PS将线段PB绕点尸按逆时针方向旋转

80°,点B的对应点是点£连接BE,得到aBPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点

E的位置也在变化，点E可能在直线A。的左侧，也可能在直线AQ上，还可能在直线AQ的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线A。上时，如图②所示.

（D/BEP=50°；

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是EC〃A8.

（2）请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关

系，并说明理由.

【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明N48C=40°,NECB=40°,推出N48C

=NECB即可.

（2）如图③中，以P为圆心，尸3为半径作OP.利用圆周角定理证明/BCE=：/BPE=40°即可解决

问题.

（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值

最小，此时AE的最小值=48=3.

:./PEB=NPBE=5Q°,

②结论：AB//EC.

理由：VAB=ACfBD=DC,

J.ADLBC,

：.ZBDE=90°,

:・NEBD=90°-50°=40°,

TAE垂直平分线段8C,

：.EB=EC,

：.ZECB=ZEBC=40°,

u

：AB=ACfZBAC=100°,

AZABC=ZACB=40°,

:.NABC=NECB,

：.AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

(2)如图③中，以尸为圆心，尸片为半径作OR

〈AO垂直平分线段BC,

：.PB=PC,

；・/BCE=±/BPE=40。,

VZABC=40°,

.'.AB//EC.

(3)如图④中，作A"_LCE于〃,

•.•点E在射线CE上运动，点尸在线段AD上运动，

当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时4E的最小值=48=3.

点评：本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题.

6.（2018年苏州中考第28题）如图①，直线/表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABC。是一块边长为

100米的正方形草地，点A,。在直线/上，小明从点A出发，沿公路/向西走了若干米后到达点E处,

然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路/上的点G处，最后沿公

路/回到点A处.设4E=尤米（其中x>0）,GA=），米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三

角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由.

【分析】（I）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式；

（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立，连接EC,通过计算

可得出Ef）=GD,结合C£）_LEG,可得出CE=CG,根据等腰三角形的性质可得出/CGE=/CEG、N

FEOZCGE,进而可得出FE#旧G；②考虑FG=EG是否成立，由正方形的性质可得出8C〃EG,进

而可得出△FBCS/XFEG,根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC,进而可得出CG、DG

的长度，在Rt^CDG中，利用勾股定理即可求出x的值；③考虑Ef=EG是否成立，同理可得出若EF

=EG则/进而可得出BE的长度，在中，利用勾股定理即可求出x的值.综上即可得

出结论.

【解析】(1)设线段MN所在直线的函数表达式为y=fcr+b,

将例(30,230)、N(100,300)代入y=Ax+。，

f30k+b=2304SZB(k=1

tl00Zc+b=300,作侍：b?=200'

・•・线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200.

(2)分三种情况考虑：

①考虑FE=FG是否成立，连接EC,如图所示.

,：AE=x,AD=100,GA=x+200,

：.ED=GD=x+]00.

又・.・CDJ_EG,

：.CE=CG,

：.ZCGE=ZCEG,

：.ZFEG>ZCGE,

：.FE^FG；

②考虑FG=EG是否成立.

・・•四边形ABC。是正方形，

:,BC〃EG,

:•△FBCS/\FEG.

假设FG=EG成立，则尸。=8。成立，

・"C=8C=100.

,•*AE=XrGA=x+200,

FG=EG=AE^GA=2x+200,

:・CG=FG-FC=2x+200-100=2x+100.

在RlZ\C7?G中，C0=100,GD=x+100,CG=2x+100,

A1002+(x+100)2=(21-+100)2,

解得：xi=-100(不合题意，舍去)，X2=等：

③考虑EF=EG是否成立.

同理，假设EF=£G成立，则FB=BC成立，

J.BE^EF-FB^2x+2W-100=2r+100.

在RtzMBE中，AE=x,A8=l00,BE=2x+100,

/.1002+x2=(2x+100)2,

解得：xi=0(不合题意，舍去)，必=一竽(不合题意，舍去).

综上所述：当》=苧时，△EFG是一个等腰三角形.

点评：本题考查/待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、

正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式;

(2)分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值.

【专项突破】

【题组一】

1.(2019•东台市模拟)如图1,在△ABC中，BA=BC,点。，E分别在边3C、AC上，连接。E,且。E

=DC.

(1)问题发现：若/ACB=NEC£)=45°,则一=V2.

BD——

(2)拓展探究，若NACB=NECD=30°,将△EDC绕点C按逆时针方向旋转a度(0°<a<180°),

图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中二的大小有无变化？如果不变，请求出二的值，如果变化，

BDBD

请说明理由.

(3)问题解决：若/ACB=/ECO=B(0°<p<90°),将△£：£(€1旋转到如图3所示的位置时，则诉的

值为2cosB.(用含(3的式子表示)

图1

【分析】（1）如图I，过E作E尸，48于凡根据等腰三角形的性质得到N4=NC=NOEC=45°,于

是得到/B=/EQC=90°,推出四边形EFBQ是矩形，得到EF=8£>,推出△AEF是等腰直角三角形,

根据等腰直角三角形的性质得到结论：

（2）根据等腰三角形的性质得到/4。8=/。18=/日7。=/。£。=30°,根据相似三角形的判定和性

质即可得到结论；

（3）根据等腰三角形的性质得到/ACB=/C4B=/ECD=NCE£>=0,根据相似三角形的性质得到

BCACBCDCAEAC

一=一,即一=—,根据角的和差得到NACE=N8C£>,求得△ACES/^BCD,证得——=一,过

DCCEACECBDBC

点2作8BLAC于点-，则AC=2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）如图1,过E作£尸1_48于尸，

'：BA=BC,DE=DC,NACB=NECD=45°,

.•./A=NC=NOEC=45°,

:.NB=NEDC=90°,

四边形EF8O是矩形，

：.EF=BD,

J.EF//BC,

...△AEF是等腰直角三角形，

AEAEr-

：.—=—=V2,

BDEF

故答案为：V2；

AP

(2)此过程中r的大小有变化，

BD

由题意知，△48C和△EQC都是等腰三角形,

AZACB=ZCAB=ZECD=ZCED=30°,

JA/IBC^AEDC,

BCAC「BCDC

；・—=—,即—=—,

DCCEACEC

又ZECD+ZECB=NACB+ZECB,

:./ACE=/BCD,

：.AACESABCD,

AEAC

•e•~,

BDBC

在△A8C中，如图2,过点8作8凡LAC于点尸，则AC=2CF,

在RtZ\BC尸中，CF=BC*cos30°=^BC,

：.AC=V3BC.

(3)由题意知I,△ABC和△E£)C都是等腰三角形，且/ACB=/£CQ=B，

/4C8=/CAB=NECD=/CEO=0,

:./\ABCsWDC,

BCACBCDC

—=—fRP—=—,

DCCEACEC

又ZECD+ZECB=NACB+ZECB,

・•・NACE=NBCD,

：./XACES/XBCD,

AEAC

•••—，

BDBC

在△ABC中，如图3,过点3作8RLAC于点尸，则AC=2CF,

在RizXBC尸中，CF=fiC-cosp,

AAC=2BCcosp.

.AEAC

•.=-2cosB>

BDBC已

故答案为2cosp.

2.(2019•六合区二模)【初步认识】

(1)如图①，将△A3。绕点。顺时针旋转90°得到△MNO,连接AM、BM,求证△A0MS/\80M

.V

【知识应用】

（2）如图②，在△A8C中，/BAC=90°,AB=V2,AC=3日将△ABC绕着点A旋转得到△ADE',

连接08、EC,直线£>&EC相交于点F,线段AF的最大值为_2、后_.

（3）如图③，在等边△4BC中，点E在△A8C内部，且满足A^nB^+CE2,用直尺和圆规作出所有

的点£（保留作图的痕迹，不写作法）.

【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明.

（2）如图②中，取8c的中点。，连接OF,OA,AF,设80交4E于K.首先证明N8FC=90°,利

用直角三角形斜边中线的性质求出。凡0A,根据AFWOF+OA,即可解决问题.

（3）如图3中，如图点E即为所求，点E在船上（不包括端点）.理由①构造NBEC=150°.②将△

BCE绕点C顺时针旋转60°得到△4b,可证△£；€1厂是等边三角形，/AFE=90°,由人乒二人尸+后尸，

即可推出AE1=BE1+EC2.

【解答】（1）证明：如图①中，

.U

*/△A8。绕点。顺时针旋转90°得到△MNO,

：.AO=OM,

BO=ON,

NAOM=NBON=9C,

..40MO

・BO-NO'

・•・/XAOMsABON.

(2)如图②中，取8c的中点O,连接OROA,AF,设BD交AE于K.

NADK=NFEK,

■:NEKF=NAKD,

：.ZEFK=ZDAK=90°,

；・NCFB=90°,

在Rt/XABC中，9：AB=V2,AC=3y12,

：.BC=J(V2)2+(3V2)2=2V5,

VOB=OC,NBAC=NBFC=90°,

：,OA=OF=®

•1AFWOF+OA,

：.AF^2\[5,

的最大值为2遥.

故答案为：2县.

（3）如图3中，如图点E即为所求，点E在比上（不包括端点）.

图。

理由要点：①构造NBEC=150°.

②将△BCE绕点C顺时针旋转60°得到△4CF,可证△£：（7尸是等边三角形，ZAFE=90°,由4炉=

A产+EF2,即可推出AE2=BE2+EC2.

3.（2019•建邺区校级二模）如图1,在四边形A8CD中，NBAD=NBDC=90：AB=AO,ZDCB=60",

C£>=8.

（1）若P是8。上一点，且％=CD,求的度数.

（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°,点。落在边8c上的E处，AE交8。于点O,连

接OE.如图2,求证：DF=DO*DB；

②将图1中△ABD绕点B旋转a得到△48。'（4与4,。与£>'时对应点），若力O'=CD,则cosa

的值为_1_•

-6-

AA

D

BEC

（图1）（图2）

【分析】（1）根据勾股定理求出8C、BD,分点P在点线段。，上、点P在点线段8”上两种情况，根

据余弦的定义解答；

（2）①证明根据相似三角形的性质证明结论；

②作，DGlBir,根据三角形的面积公式求出3G,根据勾股定理求出8G,根据余弦的定

义计算即可.

【解答】解：（1）在RtZXBCO中，NBDC=90",NDCB=60°,CD=8,

：.BC=\6,BD=8®

在RtZSBAO中，AB=AD,

...NA8O=NADB=45°,

V2「

：.AB=AD=BD--=4后，

2

作AHLBD于H,

则ZBAH=45°,

当点尸在点线段。“上时，cos/B4H=^=坐，

，NB4H=30°,

二/勿8=30°+45°=75°,

当点P'在点线段8”上时，/以8=45°-30°=15°,

综上所述，NB48的度数为75°或15°；

(2)①证明：由题意得，BD=BE,NDBE=30°,NAEB=45°,

：.ABDE=ZBED=J5°，又NBDE=NED0,

:.丛BDEs丛EDO,

DEBD,

一=一，即unD『=DO-DB-,

DODE

②解：如图3,符合条件的点有两个。'和。

由题意得，NDBD，=NDBD'',它们的余弦值相等，

作BH1.DD',DGA.BD',

则DH=HD'=4,

在RtABD/7中，BH=>JBD2-DH2=4711,

△BDD'的面积XBH=^XBD'XDG,即工X8X4VH=1x8^xDG,

解得，OG=警，

由勾股定理得，BG=ylBD2-DG2=当工

cosa-cosZDBD'=器=9'

故答案为：j.

6

4.(2020•常熟市校级模拟)如图，在矩形A8CQ中，A8=6,2为边CO上一点，把△8CP沿直线8P折

叠，顶点C折叠到C,连接8C与交于点E,连接CE与BP交于点。，若CE_LBE.

(1)求证：/XABE^ADEC；

(2)当AO=13时，AEVDE,求CE的长；

(3)连接CQ,直接写出四边形CQCP的形状：菱形.当CP=4时，并求CE・EQ的值.

【分析】(1)由题意可得NA£8+NCEO=90°,且NECD+NCED=90°,可得NAEB=NECD,且NA

=ZD=90°,则可证△A8Es△OEC；

4EABX6

(2)设AE=x,则OE=13-x,由相似三角形的性质可得——=——，即：一=——，可求x的值，即

DCDE613-X

可得DE=9,根据勾股定理可求CE的长；

(3)由折叠的性质可得CP=CP,CQ=C。，NCPQ=NCPQ,NBCP=/BCP=90°,由平行线的性

质可得ZC'PQ=NCQP=/CPQ,即可得CQ=CP=CQ=CP,则四边形CQCP是菱形，通过证△CE。

EQC'Q

s2EDC,可得，=—,即可求CE・EQ的值.

DCEC

【解答】证明：(1)'：CE1BE,

：.ZBEC=W°,

:.NAEB+/CED=9Q°,

又•.•/ECO+/CE£)=9(r,

NAEB=NECD,

又；NA=N£>=90°,

:AABEsADEC

(2)设AE=x,贝!]DE=]3-X,

由(1)知：△ABEs^DEC,

AEABX6

----=-----,即an：-=-------

DCDE613-X

：.x-13x+36=0,

Ax]=4,X2=9,

又・；AE<DE

：.AE=4fDE=9,

在RtZkCQE中，由勾股定理得：CE=%2+92=3VH

(3)

•••折叠,

：.CP=CP,CQ=CQ,ZCPQ^ZCPQ,NBCP=NBCP=90°,

,:CELBC,N8CP=90°,

J.CE//CP,

：.ZCPQ^ZCQP,

：.ZCQP=ZCPQ,

：.CQ=CP,

：.CQ=CP^CQ=CP,

四边形CQC尸是菱形，

故答案为：菱形

:四边形CQCP是菱形，

J.CQ//CP,CQ=CP,NEQC=NECD

又；NCEQ=NO=90°

:.△CEQsXEDC

.丝_

"DC~EC

即：C£>EQ=OC・CQ=6X4=24

【题组二】

5.(2019秋•沙坪坝区校级月考)如图①，在矩形ABC。中，AB=Ucm,BC=6,"，点尸从A点出发，沿A

fB—C—D路线运动，到。点停止：点。从。点出发，沿Z5fCf8fA运动，到A点停止.若点P、

点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2c〃?，〃秒时点尸、点。同时改变速度，点

P的速度变为每秒6(CS),点。的速度变为每秒c(cm),如图②是△APO的面积Si(cm)与点P出

发时间x(秒)之间的关系：图③是△AQ。的面积S2(cm)与。点出发时间x(秒)之间的关系，根

据图象回答下列问题：

(1)则a=8；b—2；c—1.

(2)设点尸出发x(秒)后离开点A的路程为y(cm),请写出y与x的关系式，并求出点P与。相遇

时x的值.

【分析】（1）先观察图象②，由面积公式得出关于”的方程，解出4,进而可根据面积差除以时间差求

得仇再根据图象③，以路程相等为等量关系，求得C的值；

（2）由（1）可知相遇时间在8秒以后，分别写出点尸和点。关于x的函数关系，相遇时两个函数值相

等，从而可求得x的值.

【解答】解：（I）由图象可得，S^APQ=1PA'AD=Ix（\Xa）X6=24

解得：（7=8

(22-8)c=(12X2+6)-2X8

解得：c=\

故答案为：8；2；1.

(2)依题意得：yi=1X8+2(x-8)

.•.yi=2x-8(x>8)

)2=(30-2X8)-IX(x-8)=22-x(x>8)

二•点尸与0相遇时,yi=j2

：.2x-8=22-x

...点P与。相遇时x的值为10.

6.（2019・常熟市二模）如图（1）,在平面直角坐标系中，点人（:分别在丫轴和1轴上*8〃犬轴,858=|.点尸从

B点出发，以lc/n/6的速度沿边BA匀速运动，点。从点A出发，沿线段AO-OC-CB匀速运动.点P

与点。同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设点P运动的时间为f（s）,△BP。的

面积为S（c"P）,己知S与f之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG.

（1）点Q的运动速度为4cmk,点B的坐标为（18,8）

(2)求曲线尸G段的函数解析式；

1

(3)当f为何值时，△BP。的面积是四边形OABC的面积的G?

【分析】(1)结合函数图象得出当2秒时，BP=2,此时45尸。的面积为8c后,进而求出A。为8c〃?，

即可得出。点的速度，进而求出AB的长即可；

(2)首先得出尸8=f,8。=30-4/,则(30-4/)=24-净，利用&户即=与⑵一岁)求出即

可；

(3)首先得出△BPQ的面积，进而得出厂点坐标，进而得出直线E尸解析式为：S=4f,当S=12时，

求出,的值，再将S=12代入S=-32+i2/求出，的值，即可得出答案.

【解答】解：(1)由题意可得出：当2秒时，的面积的函数关系式改变，则。在A。上运动2秒，

当2秒时，BP=2,此时△8PQ的面积为8°旭2,

.".AO为8cm,

.•.点。的运动速度为：8+2=4(CTW/S),

当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO=12c”?，

VcosB=1,二可求出A8=6+12=18(cm),

：.B(18,8)；

故答案为：4,(18,8)；

(2)如图(1)：PB=t,5(2=30-46

过点Q作QWLA8于点M,

则QM=((30-今)=24—当r,

:,SAPBQ=子(24—)=—5广+12f(5WrW7.5),

即曲线FG段的函数解析式为：5=-32+12/；

(3)YS稀般OABC=±(12+18)X8=120,

.*.5=^x120=12,

当t>2时，F(5,20),

直线E尸解析式为：5=4/,当S=12时，4f=12,解得：f=3,

将S=12代入S=-/+⑵，解得：/=竺苧匹，

士b,15+J105

•5W/W7.5,故t—-------，

综上所述：f=3或U1%1”,△BP。的面积是四边形O48C的面积的卷.

7.(2017秋•苏州期末)如图①，在四边形ABC。中，AB//CD,ZB=90°,Afi=2C£>.动点尸从点A出

发，在四边形A8C。的边上沿A-8-C的方向以k7Ms的速度匀速移动，到达点C时停移动.已知△4P。

的面积S(cw2)与点尸运动的时间/(s)之间的函数图象如图②所示，根据题意解答下列问题

(1)在图①中，AB=6cm,BC=4cm

(2)如图③，设动点P用了h(s)到达点Pi处，用了给仆)到达点P2处，分别过Pi、尸2作4。的垂

线，垂足为Hi、H2.当尸1”产「2“2=4时，求的值

【分析】(1)根据题意和图象可知AB=6a”，根据图象可知△A8O的面积为12,根据4B=2CO可得△

BCD的面积，再根据梯形的面积公式即可得出BC的长；

(2)求出△4PD的面积S(cw2)与点P运动的时间/(s)之间的函数关系式，然后根据三角形的面积

公式解答即可.

【解答】解：(1)根据题意和图象可知A8=6c〃?，

2

S^ABD~2AB-BC=2x6BC=12crn.

BC=4cm.

故答案为：6；4

VDE=BC=4,AE=AB-BE=AB-CD=3,

：.AD=y/DE24-AE2=V42+32=5,

当点。在A8