人教版初中数学2020年中考数学题型卷-与圆有关的证明与计算题（含解析）

与圆有关的证明与计算题

一、单选题

1.如图，是。的弦，OC_LAB交。于点C,点。是。上一点，ZADC=30°,则ZBOC的度

数为（）.

B.40°C.50°D.60°

2.如图，AB为。的切线，切点为A，连接AO、BO,BO与。交于点C,延长3。与。交于点

连接AO,若NABO=36°，则/AOC的度数为（）

A.54°B.36°C.32°D.27°

3.如图，AA3C是。的内接三角形，NA=119°,过点C的圆的切线交50于点P,则NP的度数为（）

C.29°D.61°

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是这段弧所在圆的圆心，A3=40加，点C是AB的中点,

且CD=10加，则这段弯路所在圆的半径为（）

A.25mB.24/7?C.30mD.60m

5.如图，点。为扇形。43的半径08上一点，将AQ4c沿AC折叠，点O恰好落在AS上的点。处，且

3。'：4y=1:3（8D'表示50的长），若将此扇形。A3围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比

C.1:4D.2:9

6.如图，边长为26的等边AABC的内切圆的半径为（）

D.26

7.如图，在位中，ZABC=90°，AS=243>BC=2,以46的中点为圆心，物的长为半径作半圆交4。

于点。，则图中阴影部分的面积为（)

C.2△-兀D.4^-|

8.如图，△/比1的内切圆。。与8aCA.48分别相切于点久E、F,且/8=5,BC=13,。=12,则阴影

部分（即四边形】£明的面积是（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

9.如图，A3是。的直径，C,。是。上的两点，且平分NA3D，AO分别与8C，0C相交

于点E，/，则下列结论不一定成立的是（）

不

A.OCBDB.AD1OCC.ACEF=A5EDD.AF=FD

10.如图，在RrAABC中，ZACB=90°,NA=30°,BC=4,以纤为直径的半圆。交斜边46于点

则图中阴影部分的面积为（）

A

COB

C.1^---D.-TT-y/3

A-B-r-T

323

二、填空题

11.如图，。的两条相交弦AC、3。，ZACB=ZCDB=60°，AC=20，则。的面积是—

AD

12.如图,边长为2的正方形4式》中心与半径为2的。。的圆心重合，氏厂分别是力的延长与。。的交

点，则图中阴影部分的面积是.(结果保留万)

13.如图，CD为。的直径，弦A3LC。，垂足为E，AB=BF，CE=1,AB=6,则弦A尸的长

度为.

14.如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧

围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为“，则勒洛三角形的周长为.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知。经过原点0,与x轴、轴分别交于A、3两点，点3坐标为

(0,26)，0c与。交于点C,ZOCA=30°,则圆中阴影部分的面积为

16.如图，AB是圆。的弦，OCA.AB,垂足为点C,将劣弧AS沿弦AB折叠交于0C的中点O,若

AB=2V10-则圆。的半径为.

17.如图，扇形。钻中，ZAOB=90°.P为弧AB上的一点，过点尸作PC_LQ4,垂足为C,PC与AB

交于点。，若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为

18.如图，在圆心角为90°的扇形Q钻中，OB=2,P为AB上任意一点，过点尸作于点E,

设M为aOPE的内心，当点P从点A运动到点3时，则内心M所经过的路径长为

19.如图，NAO3=90°,ZB=30°,以点。为圆心，。4为半径作弧交AB于点A，点C，交OB于点。,

若Q4=3,则阴影部分的面积为____.

20.如图，在扇形/仍中，NAQB=120°，半径必交弦用于点〃，且OCLQ4.若0A=2耳,则阴影

部分的面积为

D

B

三、解答题

21.如图，AABC内接于。，直径AD交于点反延长至点E使DF=2OD,连接FC并延长

交过点4的切线于点G且满足AG/ABC,连接0C,若COS/A4C=L,BC=6.

3

(1)求证：NCOD=NBAC；

(2)求。的半径0C；

(3)求证：CF是。的切线.

22.如图，心A48C内接于。，4。8=90。,8。=2.将斜边48绕点4顺时针旋转一定角度得到4£＞，

过点。作OE_LAC于点E,NOAE=NABC,OE=1,连接。。交。于点F.

(1)求证：是。的切线；

(2)连接FC交A8于点G,连接FB

求证：FG?=GO・GB.

23.如图1,有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心。(保留作图痕迹，不写做法)

如图2,设A3是该残缺圆。的直径，C是圆上一点，NC钻的角平分线AO交。于点0，过点。作。

的切线交AC的延长线于点E.

(1)求证：AELDE-,(2)若力E=3,AC=2,求残缺圆的半圆面积.

图①图②

24.如图1,已知。。外一点尸向。。作切线为，点4为切点，连接P0并延长交。。于点8,连接/。并延

长交。。于点C,过点C作CDLPB,分别交外于点区交。。于点。，连接

图1图2

(1)求证：△力2?〜

(2)如图2,当AP=AO时

①求NP的度数;

②连接在。。上是否存在点0使得四边形/觞是菱形.若存在，请直接写出鬻的值；若不存在，请

说明理由.

25.四边形ABCD是。的圆内接四边形，线段A6是。的直径，连结AC、8D.点H是线段BD上

的一点，连结A”、CH,且ZACH=NCBD,AD=CH,84的延长线与CO的延长线相交与点P.

(1)求证：四边形ADC”是平行四边形；

(2)若AC=BC,PB=4^PD,AB+C£>=2(不+1)

①求证：ADHC为等腰直角三角形；

②求C”的长度.

26.如图，点/是A4BC的内心，BI的延长线与AABC的外接圆。交于点。，与AC交于点E,延长CD、

BA相交于点口，NADF的平分线交4尸F点G.

AG

(1)求证：DGCA；

(2)求证：AD=ID；

(3)若。石=4，BE=5,求8/的长.

27.如图，在矩形A8CO中，CD=2,AQ=4,点P在上，将AABP沿AP折叠，点3恰好落在对

角线AC上的E点.。为AC上一点，。经过点A，P.

（2）在边上截取C「=CE，点F是线段的黄金分割点吗？请说明理由.

28.宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的

实物图，图②是其示意图，其中都与地面/平行，车轮半径为32cm,N5CQ=64。，3c=60c〃7,

（1）求坐垫E到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫E到8的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80cm,

现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求££’的长.

（结果精确到0.1cm,参考数据：sin64°«0.90,cos64°々0.44,tan64°«2.05）

29.（材料阅读）：地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的。）.人们在

北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”）,

尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观

测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.

（实际应用）：观测点A在图1所示的。上，现在利用这个工具尺在点A处测得a为31°,在点A所在

子午线往北的另一个观测点3,用同样的工具尺测得a为67°.PQ是。的直径，PQVON.

(1)求NPO3的度数:

(2)已知OP=64（X）觊，求这两个观测点之间的距离即。上AB的长.（乃取3.1）

30.如图，A、B、C、D、E是。上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图

形和五边形MNFG”.

(1)计算NC4D的度数;

(2)连接4E，证明：AE=ME；

求证：ME2=BMBE-

G

D

与圆有关的证明与计算题

一、单选题

1.如图，A8是。的弦，OC_LAB交。于点C,点。是。上一点，ZADC=30°,则ZBOC的度

数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出/的小/曲=//况；得出是等腰三角

形，得出/6戊三//彼60°即可.

【详解】解：如图，vZADC=3OP,

：.ZAOC=2ZADC=60°.

是。的弦，OC_LA5交。于点C,

AC=BC-

：.ZAOC=N3OC=60°.

【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明AC=80.

2.如图，AB为。的切线，切点为A，连接AO、BO,BO与。交于点C,延长3。与。交于点

连接AO,若4480=36°，则/AZX?的度数为（）

B

A.54°B.36°C.32°D.27°

【答案】D

【分析】由切线性质得到NAOB,再由等腰三角形性质得到NQ4£>=NOD4,然后用三角形外角性质得

出NADC

【详解】切线性质得到ZR4O=90。

.-.ZAOB=90°-36°=54°

QOD=OA

：.ZOAD=ZODA

QZAOB=ZOAD+ZODA

:.ZADC^ZADO=2T

故选〃

【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键

3.如图，AA3C是。的内接三角形，NA=119°,过点C的圆的切线交50于点P,则NP的度数为（）

C.29°D.61°

【答案】A

【分析】根据题意连接笫ACO尸为直角三角形，再根据况■的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可

计算的NCO尸的度，再根据直角三角形可得N尸的度数.

【详解】根据题意连接戊：因为NA=119。

所以可得6。所对的大圆心角为ZBOC=2x119°=238°

因为划为直径，所以可得NCOD=238°-180°=58°

由于ACOP为直角三角形

所以可得NP=90°-58°=32°

故选4

【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,点。是A8的中点,

且CD=10〃z,则这段弯路所在圆的半径为（）

【答案】A

【分析】根据题意，可以推出/吐劭=20,若设半径为r,则阳=7-10,OB=r,结合勾股定理可推出半

径r的值.

【详解】解：OC±AB,

AD-DB—20m,

在中，=002+4。2

设半径为r得：r2=（r-10）2+202,

解得：r=25m.

,这段弯路的半径为25机

故选：A.

【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出如、OB

的长度.

5.如图，点C为扇形Q45的半径06上一点，将A。4c沿AC折叠，点。恰好落在AB上的点。处，且

BD':AD'=1:3（8。表示的长），若将此扇形OA8围成一个圆锥,则圆锥的底面半径与母线长的比

为（）

0

D

A.1:3B.1:乃C.1:4D.2:9

【答案】D

【分析】连接勿，求出//必，利川弧长公式和圆的周长公式求解即可.

【详解】解：连接0。交〃'于

由折叠的知识可得：0M=,。4,Z0MA=90°，

2

NQ4M=30°，

ZAOM=60°.

且8。'：A。'=1:3，

：.ZAOB=SO°

设圆锥的底面半径为r，母线长为/，

：.r:l=2:9.

故选：D.

【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.

6.如图，边长为2G的等边△ABC的内切圆的半径为（）

【答案】A

【分析】连接加、CO,8的延长线交MT于〃，如图，利用内心的性质得/平分乙完440平分NBAC,再

根据等边三角形的性质得/。田60°,CHLAB,则NOf"=30°,AH-BH=-AB=3,然后利用正切的定义计算

2

出0/即可.

【详解】设AABC的内心为0,连接加、B0,⑨的延长线交于〃，如图，

•；AA8C为等边三角形,

平分4c4,加平分NS4C,YAABC为等边三角形,

/.ZCAB=60°.CH±AB.

•••NQ4〃=3O°，AH=BH=—AB=/,

2

OH

在RtAAQH中，'/tanZOAH----=tan30,

AH

0〃=正x百=1,

3

即AABC内切圆的半径为1.

故选A.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三

角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.

7.如图，在中，//除90°，/庐2百，陷2,以4?的中点为圆心，物的长为半径作半圆交/C

于点〃则图中阴影部分的面积为（)

A5#)71B

A.------------------C.2g-兀D.4丛*

42”

【答案】A

【分析】连接切,过点。作OHLAC,垂足为H,则有4>=24/,NAHO=90°,在族△48。中，利用N4的正

切值求出N片30°.继而可求得OILzf〃长，根据圆周角定理可求得/88=60°,然后根据S研=必做-8”版S

非於进行计算即可.

【详解】连接OD,过点。作OHVAC,垂足为H,

则有49=24〃，/AHO=90",

Be2

在欣△4胸中，/月除90。，AB=2也，B(=2,tan/4=——=—==—

AB2G3

r.ZJ=30°,

.\0//--0A=—,Alf-AOcosZA=x,ZBOC=2ZA=60°,

2222

.♦.49=24^3,

60万x(6)5A/37t

S网影=Ss制S酿箔go产_x

236042

故选4

0B

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌

握和灵活运用相关知识是解题的关键.

8.如图，的内切圆。0与比；。、4?分别相切于点以E、F,且45=5,比'=13,。=12,则阴影

部分（即四边形/£丽的面积是（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

【答案】A

【分析】先利用勾股定理判断△/6C为直角三角形，且/劭小90°,继而证明四边形力助'为正方形，设。。

的半径为r,利用面积法求出r的值即可求得答案.

【详解】；心5,陷13,04=12,

:.AE+AC=BC,

二△成为直角三角形，且/协U90°,

为△48。内切圆，

吩/4梦90°,且

二四边形力陟为正方形，

设。。的半径为r,

：.OE^OF-r,

S四边彩M*12,

连接/。，BO,CO,

A

E

D

S^M>H+5zi,ia+S^BOI；

：.^(AB+AC+BC)r=^ABAC,

.•.尸2,

S网边心林：后产=4,

故选A.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关

知识是解题的关键.

9.如图，AB是。的直径，C,D是。上的两点，且8C平分NA8O，AO分别与BC，0C相交

于点、E，F，则下列结论不一定成立的是()

AD10CC.ACEFABEDD.AF=FD

【答案】C

【分析】由圆周角定理和角平分线得出NA£)B=90°，ZOBC=ZDBC,由等腰三角形的性质得出

NOCB=ZOBC,得出NDBC=NOC5,证出0cBD,选项A成立；由平行线的性质得出AD10C，

选项8成立；由垂径定理得出AF=£D，选项D成立；ACEF和ABED中，没有相等的边，ACEF与ABED

不全等，选项，不成立，即可得出答案.

【详解】:AB是。的直径，BC平分NABD，

二ZAZ)3=9()°，/OBC=ZDBC,

二AD1BD<

,:0B=0C，

ZOCB=/OBC,

：.ZDBC=ZOCB.

/.OCBD,选项｛成立；

AADIOC,选项4成立;

AAF=FD^选项。成立;

•••\CEF和XBED中，没有相等的边,

\CEF与ABED不全等，选项C不成立,

故选C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本

题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理.

10.如图，在mA4BC中，ZACB^90°,NA=3O°,3C=4,以比■为直径的半圆。交斜边46于点〃

则图中阴影部分的面积为（)

「

百1GD.-zr-V3

B.泊L・一71---------

3323

【答案】A

【分析】根据三角形的内角和得到NB=60。，根据圆周角定理得到NCOQ=120。，ZCDB=90°,根据扇

形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：...在用AA3C中，ZACB=90°,ZA=3O°,

.­.ZB=60°,

ZCOD=120°，

BC=4,6c为半圆。的直径，

ZCDB=90°,

OC=OD=2,

:.CD=—BC=2yf3，

2

图中阴影部分的面积=S^rnf-5s,J。,万'22_lx2V3xl=--V3,

故选：A.

【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。

二、填空题

11.如图，。的两条相交弦AC、80,NAC8=NC£>B=6O°，AC=26,则。的面积是

AD

少

【答案】4K.

【分析】由NA=N30C，而NACB=NCr>5=60°，所以NA=NACB=60°，得到八4cs为等边三角

形，又AC=2G，从而求得半径，即可得到。的面积.

【详解】解：•••NA=/BOC,

而ZACB=ZCDB=60°，

/•ZA=ZACB=60°，

/.AACB为等边三角形，

AC=2百，

...圆的半径为2,

二。的面积是4兀，

故答案为4Tl.

【点睛】本题考查/圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大.

12.如图,边长为2的正方形/腼中心与半径为2的。。的圆心重合，反尸分别是劭的延长与。。的交

点，则图中阴影部分的面积是.(结果保留力)

【答案】万一1

【分析】延长〃GC8交00于M,N,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：延长式1,CB交00于他N,

则图中阴影部分的面积=—X(S.41rSii.m)=—X(4"-4)="-1,

44

故答案为：Ji-1.

【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

13.如图，CD为。的直径，弦垂足为E，AB=BF，CE=l，AB=6,则弦A尸的长

度为.

【分析】连接Q4、0B,05交A尸于G,如图，利用垂径定理得到AE=3E=3，设0的半径为r,

则OE=r—1，=r,根据勾股定理得到32+(r-l)2=产，解得厂=5,再利用垂径定理得到OBYAF,

AG^FG，则AG2+OG2=52,AG?+(5—0G『=6?,然后解方程组求出AG，从而得到A尸的长.

【详解】连接。4、OB，0B交AETG,如图，

,/ABLCD,

：.AE=BE^-AB=3,

2

设。。的半径为厂，则OE=r—1，0A=r,

在HAQ4E中，32+(r-l)2=r2,解得r=5,

AB=BF，

:.0BLAF,AG^FG,

在R/AQ4G中，AG2+OG2=52.①

在用AABG中，AG2+(5-OG)2=62,②

解由①②组成的方程组得到AG=y,

48

/.AF^2AG^—.

5

48

故答案为二.

【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理.

14.如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧

围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为。，则勒洛三角形的周长为.

【答案】兀a

【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.

【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：如普•=:7ia.

1803

则勒洛三角形的周长为：；7tax3=7ra.

故答案为：兀a.

【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知。经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、5两点，点3坐标为

（0,2百），OC与D交于点C,ZOCA^30°,则圆中阴影部分的面积为一,

【答案】2乃一26

【分析】由圆周角定理可得NO84=NC=30°,在位△加»中，利用解直角三角形求出/、4?的长，然

后根据S阴=S,「幺制求解即可.

【详解】连接AB,

•••ZAOB=90°,

/.AB是直径，

根据同弧对的圆周角相等得NOBA=NC=30°，

•/OB=2也,

AOA=OBtanZABO=OBtan300=273=2.AB=AO+sin30°=4,即圆的半径为2,

3

S阴影=S半圆-SAABO=-2-x2x25/3=2%-.

【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念;

④圆、直角三角形的面积分式.熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

16.如图，A8是圆。的弦，OC_LA3,垂足为点C,将劣弧A8沿弦AB折叠交于OC的中点。，若

【答案】3亚.

【分析】连接以，设半径为x,用x表示在；根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果.

【详解】解：连接力，设半径为x,

将劣弧AB沿弦折叠交于外的中点D,

：.OC=-x,OC1AB，

3

:.AC=-AB=y/\0,

2

OA2-C>C2=AC2.

2

f一（铲）2=1（）,

解得,X=3A/2.

故答案为30.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程.

17.如图，扇形QW中，ZAOB^90°.P为弧A3上的一点，过点尸作PC_LO4,垂足为C,PC与AB

交于点。，若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为

B

【答案】5

【分析】连接8，设半径为八在直角三角形仅了中利用勾股定理将S用r表示，得到/C,又有△/3

△/仍，利用生=生，解出r即可

AOBO

【详解】连接0R设半径为八则小此施=八POP及CD=3,

在直角三角形OCP中,OC2+PC2=OP2.即得如=>-9,得到。仁J/-9

得到Jr?-9，又易知△/冲仍，所以---=----,即^....————=—,

AOBO「「

得到「_,产_9=1，解出尸5；故填5

B

【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连8,表示出

18.如图，在圆心角为90。的扇形（MB中，OB=2,P为A8上任意一点，过点P作尸后，。3于点E,

设M为AOPE的内心，当点P从点A运动到点8时，则内心M所经过的路径长为

【答案】旦兀

2

【分析】以0B为斜边在0B的右边作等腰Rt\POB,以P为圆心PB为半径作。P,在优弧OBI二取

一点//，连接“3，HO,BM.MP.求出NQMP=135°，证AOMB三△QMP(S4S),得

/。闻8=/0M尸=135°，由/"+/0苗8=180°，证0必6〃四点共圆，故点M的运动轨迹是，

由弧长公式可得.

【详解】如图，以08为斜边在08的左边作等腰R/APOB，以P为圆心P力为半径作。尸，在优弧08

AZPEO=9Q，

•••点M是内心，

•••NQ例P=135°，

•：OB=OP、/M0B=ZM0P，0M=0M,

：.bOMB=kOMP(SAS),

ZOMB=40Mp=135°，

ZH^-ZBPO^45°,

2

，NH+NOMB=180°，

。",民〃四点共圆，

...点M的运动轨迹是08，

内心”所经过的路径长="。兀/=显兀,

1802

故答案为1力.

2

【点睛】本题考查了弧长的计算公式：7=丝鸟，其中/表示弧长，〃表示弧所对的圆心角的度数.同时

180

考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.

19.如图，ZAOB=90°,ZS=30。，以点。为圆心，Q4为半径作弧交AB于点A，点。，交08于点0,

若。4=3,则阴影部分的面积为.

3

【答案】一7

4

【分析】根据题意连接6c可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧4c所对的阴影部分

面积等于弧力「所对圆心角的面积减去AQAC的面积，而不规则图形砥?的面积等于AOBC的面积减去弧

%所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.

【详解】解：根据题意连接汇

OA=OC,ZOAB=90°—NB=90°-30°=60"

.•.A4C。为等边三角形

:.ZAOC=6C)

阴影部分面积1=---XTVX32--X3X3COS30°=—7U——

360224

・•・阴影部分面积2-lx3^x---x^-x32=-

2236044

3

・•・阴影部分面积二阴影部分面积1+阴影部分面积2「冗

4

3

故答案为一)

4

【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.

20.如图，在扇形/如中，NAO8=120°，半径OC交弦力6于点。，且OC_LQ4.若Q4=2g，则阴影

部分的面积为.

O

【答案】加+兀

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AAO。的面积与扇形如C的

面积之和再减去的面积，本题得以解决.

E

解：作于点凡

在扇形｛缈中，4408=120°，半径宓交弦仍于点。，且OC_LQ4.OA=26，

..ZAO。=90°，ZBOC=90°.OA=OB,

：.N0A8=/OBA=3O°，

<?£>=OA-tan30°=2V3x—=2.AD=4,AB=2AF=2x2>/3x—=6•OF=6

32

;.BD=2,

・•・阴影部分的面积是：SMOD+S扇形08c-SRBDO=2垦2+30X4(2®-_2xy/3=石+万，

LSAUUWi/I^C/oCISDUU23602

故答案为：\/3+71-

【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

三、解答题

21.如图，A43C内接于0,直径AO交BC于点反延长A。至点凡使DF=2OD,连接FC并延长

交过点1的切线于点G,且满足AG//BC，连接0C,若cos/8AC=g,BC=6.

(1)求证：NCOD=NBAC；

(2)求。的半径0C；

(3)求证：CE是。的切线.

【答案】（1）见解析；（2）。的半径。。为弁；（3）见解析.

【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案;

（2）根据三角函数性质，得到/+32=9/，从而得出答案；

（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.

【详解】解：（1）；AG是。的切线，AO是。的直径，

二NGAF=90°.

；AG//BC,

：.AE±BC,

二CE=BE,

/.ZBAC=2ZEAC,

,/ZCOE=2ZCAE,

：./COD=/BAC；

（2）VZCOD^ZBAC，

OE1

二cosABAC=cosZCOE==—,

OC3

...设O£=x，0C=3x,

•••BC=6,

：.CE=3,

'：CE±AD,

二OE2+CE2=OC2，

x2+32=9x2>

9

-（负值舍去），

8

27

OC=3x=—,

8

27

。的半径OC为一；

8

（3）,:DF=20D，

二OF=3OD=3OC,

.QE_PC_1

■,6c-OF-3'

■:NCOE=/FOC，

：.△COES.OE,

ZOCF=ZDEC=9Cl>

...CF是。的切线.

【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平

行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.

22.如图，RtMBC内接于。，ZACB=90°,BC=2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，

过点。作DE_LAC于点==连接。。交。于点

（1）求证：AO是。的切线；

（2）连接尸C交A6于点G,连接FB

求证：FG?=G0・GB.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点。在4?上，48为直径,故只需证即

可.由N/L夕仆/为俏90°和NZM氏//8C可证得N"底N曲年90°,而£、/、C在同一直线上，用180°减

去90°即为/例氏90°,得证.

（2）由（1）利用勾股定理得出A3=百，公积金图形得出ABCA，可知名=丝=匹=2叵,

ADDOAO5

即可得到八46。~人。40,再根据相似三角形的性质得到NEG0=N8Gr,又因为AFG。~ABGF,

即可解答

【详解】（1）证明：•.,ND4£=ZA8C且NABC+NC4B=90°

ZEAD+ZCAB=90°

NZMB=90°

AO为0的半径

.•.A。为。的切线

（2）证明：由①知ND48=90。

AC=\BC=2AB=#）

由模型可知，AAED^\BCAAD=y/5

■：AO=^~DO=-

22

AEADDE275

~AD~~DO~~AO~~5~

:./SABD-M）AO

：.ZEBD=ZADO：.AEUDO

ZACF=ZCFO=ZABF

NFGO=/BGF

:.\FGO-\BGF

FGGO

"~BG~~FG

..FG2=GO»GB

【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明

23.如图1,有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心0（保留作图痕迹，不写做法）

如图2,设A3是该残缺圆。的直径，C是圆上一点，NC钻的角平分线A£）交。于点。，过点。作。

的切线交AC的延长线于点E.

（1）求证：AELDE；（2）若DE=3,AC=2,求残缺圆的半圆面积.

【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5n

【分析】作弦PQ,TS，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点。即为圆心.

（1）连接。。交于由切线的性质可得OOLOE,然后证明。D〃AE即可；

（2）首先证明四边形CEDH是矩形，然后求出比；再利用勾股定理求出四即可解决问题.

【详解】解：图1做图题作法：

①在残缺的圆上取两条不平行的弦PQ和TS；

②以点P为圆心大于PQ-半长为半径在PQ两侧作圆弧；

③以点。为圆心，同样长的半径在尸。两侧作圆弧与②中的圆弧交于M,N两点；

④作直线MN即为线段PQ的垂直平分线：

⑤以同样的方法做线段TS的垂直平分线LK与直线MN交于点0即为该残缺圆的圆心.

图2解答过程：

(1)证明：连接8交于”

;DE为。的切线

OD1DE

平分NC4B

二ZCAD=ZDAB

•：OD=OA

二ZDAB=ZODA=ZCAD

：.OD//AE

•••AELDE

(2)解:

是。的直径

二ZACB^90°

'：OD//AE

:.8八BC

:.BC=2CH,四边形CEO”为矩形

:.CH=ED=3

BC=6

'：AC=2

/.AB=2西

•••AO=M

S半圆=；■万AO2=5兀

【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

24.如图1,已知。。外一点户向。。作切线为，点力为切点，连接0。并延长交。。于点6,连接4。并延

长交。。于点G过点C作分别交阳于点色交。。于点〃连接A9.

图1图2

(1)求证：△4Y〜△%!；

(2)如图2,当45=40时

①求NP的度数；

②连接48,在。。上是否存在点。使得四边形44将是菱形.若存在，请直接写出鬻的值；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)①NP=3()°；②存在，詈

【分析】(1)由切线性质和宜径〃1可得/PAO=/CDA=90°,由PBAD可得NPOD=/CAD，

即可得：AP0-DCA；

(2)①连接如，由AD=OA=OD可得是等边三角形，由此可得NTOA=60°，NP=30°；

②作BQLAC交③。于0,可证4以火为菱形，求富可转化为求.

【详解】(1):巴切。。于点44C是。。的直径,

/.4AO=/CDA=90。，

,/CD1PB,

.•./CEP=90。，

二/CEP=/CDA,

PBAD,

^POA=/CAO,

APO〜DCA，

(2)如图2,连接0D,

①•.•AD=AO,OD=AO，

••.△OAD是等边三角形，

，NOAD=60°.

PBAD.

/.^POA=/OAD=60°,

V^PAO=90°，

•••4=90。—^POA=90。—60。=30°.

②存在.如图2,过点8作BQ±AC交。。TQ,连接PQ,BC,CQ,

由①得：NPOA=60°，/PAO=90°，

40c=^POA=60。，

••OB=OC,

二/ACB=60。，

/BQC=/BAC=30。，

BQ±AC,

CQ=BC,

BC=OB=OA，

CBQgOBA(AAS)

BQ=AB

••NOBA=NOPA=30。

:.AB=AP.

:.BQ=AP,

,/PA_LAC,

BQ^AP,

二四边形48仍是平行四边形，

,/AB=AP.

.••四边形/戚是菱形，

PQ=AB,

/.—=—=tan/ACB=tan60°=6,

CQBC

图?

【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，

特殊角三角函数值，菱形性质等.

25.四边形ABC。是。的圆内接四边形，线段A3是。的直径，连结AC、3D.点”是线段3。上

的一点，连结AH、CH,且NACH=NCBD,AO=CH,8A的延长线与CD的延长线相交与点尸.

(1)求证：四边形ADCH是平行四边形;

⑵若AC=BC,PB=&口,AB+CD=2(V5+1)

①求证：ADHC为等腰直角三角形；

②求C”的长度.

【答案】(1)见解析；(2)①见解析;②=

【分析】(1)由圆周角的定理可得"BC=ND4C=NACH,可证4)//CB，由一组对边平行且相

等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形：

(2)①由平行线的性质可证NADH=NCHD=9()°，由NCDB=NC45=45°,可证AOHC为等腰立

角三角形；

②通过证明AAOPSACBP,可得竺=竺，可得且4=J=,通过证明ACHOSA4c5,可得

BCPBBC,5

CD