数学经典易错题会诊与高考试题预测10

高考数学经典易错题会诊(十)

考点10

空间直线与平面

A空间直线与平面的位置关系

A空间角

A空间距离

A简单几何体

A利用三垂线定理作二面角的平面角

A求点到面的距离

A折叠问题

经典易错题会诊

命题角度1

空间直线与平面的位置关系

1.(典型例题)如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD_L底面ABCD,

PD=DC,E是PC的中点，作EF_LPB于点F.

(1)证明：PA〃平面EDB；

(2)证明：BPJ_平面EFD；

(3)求二面角C—PD—D的大小.

［考场错解］第(2)问证明：•.¥口=0(：,E为PC的中点，...DE_LPC,

DF在平面PBC上的射影为EF,又由已知EF_LPB,所以根据三垂线定理可得：DF1PB,

又EF_LPB,；.PB_L平面EFD。

［专家把脉］直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DEJ_PC,不能得出EF为DF在

面PBC上的射影，应先证明DE,平面PBC,才能得出EF为DF在面PBC

上的射影，再利用三垂线定理。”

［对症下药］(1)如图，连接AC、AC交BD于O,连接EO。•.•底面ABCD”］

为正方形，二。为AC的中点，在APAC中，E。是中位线，.•.PA〃E0,“

又EOu平面EDB,且PAa平面EDB,所以PA〃平面EDB；

(2)：PD_L平面ABCD,二平面PDC_L平面ABCD,又底面ABCD为正方形，ABCl

CD,，BCJ_平面PCD,/.BC±DE,又DE_LPC,；.DE_L平面PBC,；.DF在平面PBC上

的射影为EF,又EF_LPB,；.DFJ_PB,又PB_LEF,PB_L平面DEF；

（3）由（2）知，PB±DF,故/EFD是二面角C—PB—D的平面角。由（2）知,

DE_LEF,PD±DB,设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a,BD=72a,PB=^a,

PC=V2a,DE=-PC=—a,^RtAPDBk,0F=PD*BDRtAEFD中，sinZ

22PB3

EFD=2^=3，...NEFD=纥所以二面角C—PB—D的大小为纥

DF233

2.(典型例题)下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别

为其所在棱的中点，能得出此面MNP的图形的序号是.(写出所有符合要求

的图形序号•)

［考场错解］由于I在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由

正方形的性质可得l_LMN,l±MP,l±NP,(1)中此面MNP；(2)中I在下底

面的射影与MP垂直，；.IJL面MNP；(3)中取AB的中点E,连接ME、

NE,在下底面的射影垂直于EN,，I_LEN,，I_L面MEN,...l_LMN,同理l_LMP,

二1_1_面MNP；(4)中I在面ADDiAi上的射影与MP垂直，，I_LMP,二1_1_面MNP：

(5)中取AA1中点E,连接ME,EP,I在面ADDiAi、面ABBiAi内的射影分别与

ME,EP垂直，.Ml.ME,.^.I_L面MP,得1_1_面MPN；综合知，本题的答案是(1)、

(2)、(3)、(4)、(5)

［专家把脉］直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直

线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。

［对症下药］(1)中I在面ADDiA、AiBiCiDi，内的射影分别为ADi，B1D1，而AD」MN,

BiDi±MP,AIJ-MN,l_LMP,二1_1_面MNP；(2)中若l_LMN,则取AAi的中点E,连

接ME、NE,I在面ADDiAi内的射影为ADi而AD」ME,.'.l_LME,结合IJ_MN,得I

_1_面MEN,这显然不可能，.'I与MN不可能垂直，，l与面MNP不垂直；(3)

类似(2)的证明，可得I与面MNP不垂直；(4)中l_LMP易证，而MN〃AC,I1AC,

，I_L面MNP；(5)中取AAN中点E,连接ME,PE,可证得l_L面MEP,，

l±MP,同理可证l_LNP,；.1_£面乂明，综上知，本题的正答案是(1)>(4)、(5)。

3.(典型例题)如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，ZBAC=30°,AB=a,平行于

AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；

(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC_L平面EFGH,请给出证

明。

［考场错解］(1)；AD〃平面EFGH,又平面ACDc平面EFGH=HG,；.AD〃HG,

同理AD〃EF,，EF〃HG,同理EH〃FG,...四边形EFGH为平行四边形；

(2)取AD中点P,连接BP、CP,「ABCD为正棱锥，所以BP_LAD,CP1AD,AAD

_1_面BCP,又由(1)知HG〃AD,，HG_L面BCP,；.P为所求，此时AP=J

2

［专家把脉］正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥

的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。

［对症下药］(1)：AD〃面EFGH,面ACDc面EFGH=HG,，AD〃HG,同理EF〃AD,

所以HG〃EF,同理EH〃FG,，EFGH为平行四边形。又A—BCD为正三棱锥，，A在

底面BCD上的射影0是4BCD的中心，，DOJ_BC,根据三垂线定理,AD1BC,AHG

±EH,四边形EFGH为矩形；

(2)作CP_LAD于P点，连接BP,VAD1BC,.*.AD±®BCP,；.HG〃AD,/.HG±

面BCP,XHGcgEFGH,BCPlffiEFGH,在RtZXAPC中，ZCAP=30°，AC=a,

AP*.

2

专家会诊

解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题,、”.

时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a〃a则过a作一平面B,使

Bca=b，再证a〃b；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线,；

定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习

时应予以重视。“"

考场思维训练

1如图10-5所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别

为其所在棱的中点，能得出AB〃平面MNP的图形的序号是.(写出所有

符合要求的图形序号)

答案：①③解析：①中平面MNP〃平面AB,，AB//平面

MNP；②中取下底面中心0,MP的中点C,连接N0,

NC,则由已知AB〃NO,ABHNC.，AB■面MNP；③

中AB〃MP,；.AB〃平面MNP；④中AB・面MNP.

/.填①③.

2如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AB=AAi，E是棱BBi的中点。”.

(1)求证：平面AiEC_L平面AAiGC；

答案：连接AiC与ACi交于点F,则由条件可得ECi=EAi，则EFJ_ACi，同理EC】=EA,则EF；

_LAiC所以EF上平面AAiGC,而EFu平面AiEC,所以平面AiEC_L平面AAiGC.

(2)若把平面AiEC与平面A1B1C1所成锐二面角为60。时的正三棱柱称为“黄金

棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。

答案:延长CE交CB的延长线于点H,则有CB=BiH=AR,故NHAC=90°且NCAiH=90°,所

以/CA6为平面AiEC与平面ABC所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”,则Z

CA,=60",应有CC尸百AQ与条件AB=AAi矛盾....此三棱柱不为“黄金棱柱

(3)设AB=a,求三棱锥A-AiEC的体积。

答案:VA-AEC=V-AAC=1•EF•1•AAI•AC

IIEI32

3已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面4PAB的重心，E是BC

上的一点，且BE=^BC,F是PB上一点，且

3

PF=-PB,如图

3

(1)求证：GFJ-平面PBC：

答案：连接BG并延长交AP于M,由C为APAB的重心，则MG=，BM,又由PF=,

3

AGF//MP

VAP±BP,AP±CP.，AP_L平面PBC,

；.GF_L平面PBC

(2)求证：EF±BC；

答案：在侧面PBC内作FD//PC交BC于D.VPF=lpB>r.DC=lBC.又BE=1BC,.\DE=1BC.

3333

故BE=DE,E为BD的中点，由aPBC为等腰三角形，得aEBD也为等腰三角形.；.FB=FD.

EF1BC.

(3)求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。

答案：..皿平面PBC,且EWC,...GE，BC,连PG交ABQ,则叫PH,过C作GN〃AB

交PB于N,则BN二LPB.VPH1AB,APG1AB,APG1GN.

3

VBN=iPB,BE=iBC,；.NE〃PC,而PC上平面PAB,NE_L平面PAB,又PGu面PAB,

33

，NEJ_PG,又PG_LGN,PG_L平面GEN,而GEC平面GEN.，PG_LGE,又由GEJ_BC,，

GE是异面直线PG与BC的公垂线.

命题角度2

空间角

1.(典型例题)如图10-8,在三棱锥S—ABC中，^ABC是边长为4的正三角形，平面SAC

1.平面ABC,SA=SC=2>/3,M、N分别为AB、SB的中点。

(1)证明：AC1SB；

(2)求二面角N—CM—B的大小；

(3)求点B到平面CMN的距离。

［考场错解］第(2)问：过N作NF_LCM,过F作FE_LCM交BC于E点，则NNFE为二面

角N—CM—B的平面角。(此题只做到此处，因为不知E、F的位置，/NFE等于多少计算不

出来)。

［专家把脉］求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或

根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。

［对症下药］(1)如图10-9,取AC中点D,连接SD,DB,VSA=SC,AB=BC,AAClSD,

且AC_LBD,，AC_L平面SDB。又SBu平面SDB,，AC_LSB。

图10-9

(2)取BD的中点E,连接NE,过E作EF1CM于F,连续NF,二,平面SAC_L平面ABCD,

SD1AC,.'.SDJL面ABCD,又N、E分别为SB、BD的中点，；.NE〃SD,此_1_面人8(：,又

EF_LCM,ANF±CM,，NNFE为二面角N—CM—B的平面角。

NE=，SD=后，在正aABC中，由平面几何知识可求得EF=，MB=L在Rtz^NEF中，tan

242

NNEF=^=2五,.•.二面角N—CM

EF

B的大小是arctan272；

(3)在Rt^NEF中，NF=7EF2+EV2=-,

2

•••SACMN=-CM•NF=->/3,SACMB’BM•CM=2后.设点B到平面CMN的距离为h,；VB-

222

CMN=VN-CMB,NE_L平面CMB,-SACMN•H=-!-SACMB*NE,；.h=^.即点B到平面CMN

333

的距离为逆。

3

2.（典型例题）在长方体ABCD—AiBiJDi中,已知AB=4,AD=3,AAi=2,E、F分别是线段

AB、BC上的点，且EB=FB=1。

（1）求二面角C—DE—G的正切值

（2）求直线ECi与FDi所成角的余弦值。

［考场错解］第（2）问：；D1F〃DE,二/CiED为ECi与FDi所成的角，DE=3及，C1D=2后，

C1E=V14,.•.cosNCiEEn-段-2。=叵，...Ej与F6所成角的余弦值为叵。

2»V14»3V21414

［专家把脉］缺少空间想象能力，题中的DiF与DE不平行，实际上DiF与DE是异面直

线。

［对症下药］正解一：（1）如图过C作CG_LDE,垂足为G,连接C1G。：CC1_L平面ABCD,1'

ACG是CiG在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DE±CiG（,

AZCGCi是二面角C—DE—Ci的平面角。

在4ADE中，AE=AD=3,NDAE=90°,/.ZADE=45°,得/CDG=45°,；.CG=CD•sinN

CDG=2V2.

.,.tanZCGCi=-^S-=—.

CG2

二二面角C—DE—Ci的正切值为变

2

（2）延长BA至点Ei，使AEi=l,连接DEi有DiCi〃EiE,DiJ=EiE,；四边形D正IECI是

平行四边形。，EiDi〃EQ,于是NEiDiF为ECi与FDi所成的角。

在Rt^BEiF中，EF=J记，在Rt^DiDEi中，。正产”了，在RtZ\DiDF中，FD产后，所

14+24-26

以在△EiFDi中，由余弦定理得：cosNEiDiF=叵

2x714x72414

正解二：（1）以A为原点，AB,皿的分别为X轴,y轴,Z轴的正向建立空间直角坐标系,

则有D(0,3,0)、Di(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)Cl(4,3,2)于是。E=(3,

-3,0),西=(1,3,2),丽=(-4,2,2).设向量1=(“2)为平面(2由£人的法向量,则有

n±DE,n±EG，得x=y=-1z，令x=l,得«=(1,1,-2),向量其=(0,0,2)与平面CDE垂直，

"与A41所成的角9为二面角C—DE—Ci的平面角。

八n»AA4(>八6

cos0=■=；~=-=tanfc*=;

l〃l・l例I32

(2)设ECI与FD1所成的角为B,则cosB=空•啊:叵.

IEC||x|FDt|14

3.(典型例题)如图10-11,四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA_L底面ABCD,AE±PD,

EF〃CD,AM=EF。

(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

［考场错解］第(2)问：由(1)知PC_LMF,，AF为AC在面EAM内

的射影，；.NCAF为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC,

解得sin/CAF=®".AC与平面EAM所成的角的正弦值为巫。

图10-11

［专家把脉］直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内的射影,

直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关

键。

［对症下药］(1)VPA±¥ffiABCD,APAlCD,又：底面ABCD为正方形，，CD_LAD,

.♦.CDJ"平面PAD,得平面PCD_L平面PAD,又AEu平面PAD,AE±PD,...AEJ"平面

PCD,AAE1CD,又EF〃CD〃AB,AM=EF,；.四边形AMFE为平形四边形，，MF〃

AE,MF_LCD,MF1AB,MF_LPC,MF为异面直线AB与PC的公垂线；

(2)解法一：连接BD交AC于。，连接BE,过。作。H_LBE,H为垂足，：AE_LPD,

CD±PD,EF/7CD,AEF1PD,PD_L平面MAE,又OH_LBE,AOH//DE,，OH_L平面

MAE»连接AH,则/HAO是直线AC与平面MAE所成的角，设AB=a则PA=3a,

AO=-AC=—a,因RtZ\ADE~RtZ\PDA,故ED=—=-^,OH=-ED=-^=,A(ffiRtA

22PD22-/10

AHO中，sinZHAO—.

AO10

解法二：以诟、AD,而分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,

.•.4尸=(0,奈0,、°),48=(<2,0,0),设"为平面£人1\/1的法向量，且"=(x,y,z),可得面EAM

的一个法向量为(0,1,-3),AC=(a,a,0)

..„Vs

..sina=——o

专家会诊

空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算

的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平

面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠

经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训

练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：(1)找出或作出要求的角；(2)证明它

符合定义；(3)在某一三角形中进行计算，得

结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。

考场思维训练

1如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=a,现沿AC折成二面角D—AC—B,使BD为异"

面直线AD、BC的公垂线。

(1)求证：平面ABD_L平面ABC；

答案：解：(1)VAD1CD,AD_LBD,...AD，平面BCD,；.BC_LAD,又BC上BD,，［^，平

面ABD,而BCu平面ABC,故面ABD，面ABC.

(2)a为何值时，二面角D—AC—B为45°；

答案：，,面ABD上面ABC,作DELAB于E,则DEL平面ABC,作EFLAC于F,由三垂线定

理有ACJ_DF,二/DFE为二面角D--AC—B的平面角.在RtZXADC中，AD、AF.AC,

.,.AF=-；-2-又RtAAFE^RtAABC,，

+i

_AF»BC_a2山,2_EF._4V8

EcFc--------——,,4DFE=,..ci2=，…ci-------.

JXIDF22

(3)a为可值时，异面直线AC与BD所成的角为60°。

答案:作BM1AC于M,过点0作BN〃AC与FE的延长线交于点，则BMFN为矩形，且BNXDN.A

ZDBN为异面直线AC与BD所成的角.：MF=AO2AF=1,=BN,BD=^\-a1,

V«2+1

又在RtABND中cosZDBN=—,

2V«2+1»7b-

2如图，在长方体ABCD一万BiJDi中,E、F分别为BB1、D2上的点,且AE，A隹,

AF±AiD»

(1)求证：AiC_L平面AEF

答案：在长方体ABCD-ABCD中，AB为AC在平面ABBA内的射影，：AE上A1B,；.AE'*

0S10-13

_LA1C同理AF_LA£,，Aq_L平面AEF

(2)若AB=3,AD=4,AAi=5,M是团a的中点，求AM与平面AEF所成角的大小。

答案：以D为坐标原点，诙，庆，的分别为x、y、z轴的正方向建立空间坐标系.则A(4,0,0),

M(2,3,5),Al(4,0,5),C(0,3,0),.•.4<=(-4,3,-5),4M=(-2,3,5)由(1)得4(=(7,3,-5)为平

面AEF的一个法向量，

|8+9-25|4M

sin。=

|AM|x|/4,C|742+32+52•^22+32+5295

直线AM与平面AEF的所成的角为arcsin生叵.

95

3已知四棱锥P—ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA_L底面ABCD,M、N分别

为AD、BC的中点。MQ_LPD于Q,直线PC与平面PBA所成角的正弦值为立

3

如图所示。

（1）求证：平面PMNJ_平面PAD；

答案：•••M、N分别是AD、BC的中点，...MNLAD,又平面PMN,

平面PMN_L平面PAD.图10-14

（2）求PA的长；

答案：由己知BC_L平面PBA,/BPC是PC和平面PBA所成的角.

PC=—"一=2拒;PB=141可得PA=2.

sinNBPC

（3）求二面角P—MN—Q的余弦值。

答案：由（1）知，MN1PM,MN1QM.二/PMQ是二面角P—MN-Q的平面角.由（2）知△PMQ

为等腰直角三形.且AM=DM=1.

PM=底QM=冬

祗而

cosNPMQ=丁=

...二面角P—MN-Q的余弦值为噜.

命题角度3

空间距离

1.（典型例题）在空间中，与一个^ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）

A.一条直线

B.两条直线

C.三条直线

D.四条直线

［考场错解］设该点为P，且P在平面ABC上的射影为。，因为P到AABC三边所在直线

距离都相等，所以。到4ABC的三边直线的距离都相等，即。为aABC的内心，所以

本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上，所以选Ao

［专家把脉］在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意

两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在

直线等距离“伊州

［对症下药］设该点为P,且P在平面ABC上的射影为。，因为P到AABC

三边所在直线距离都相等，所以。到4ABC的三边所在直线的距离都相等，国“is

即0为aABC的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC

垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D。

2.(典型例题)如图10-15,在棱长为4的正方体ABCD—AiBiJDi中，。是正方形AiBKiDi

的中心，点P在棱CCi上，且CG=4CP。

(1)求直线AP与平面BCJBi所成角的大小(结果用反三角表示)；

(2)设。点在平面DiAP上的射影为H,求证：DiH_LAP；

(3)求点P到平面ABDi的距离。

［考场错解］第(3)问：：ABCD—AiBiCiDi为正方体，.“8_1面BCGBi，，BP_LAB,

；.BP即为P至lj平面ABDi的B巨离，在Rt^BCP中，BP=7i7

［专家把脉］线面垂直的判定有误，错解中BPLAB,但BP与平面ABDi

不垂直，所以P到平面ABDi的距离不是BP。

正解一:(1)如图10-16,连接BP,】ABJ_平面BCJBi,...AP与平面

BCGBi所成的角就是NAPB。VCCi=4CP,CQ=4,，CP=1。在RtAAPB

中，/PCB为直角，BC=4,CP=1,故BP=JF7.在RtZXAPB中，NAPB为直角，tanN

APB=^=MZ,...NAPB=arctan迎.

BP1717

(2)连接AiCi，BiDi，：AiBiGDi为正方形，...DiOLAiCi又AAi_L底面AiBKiDi，，AAi

，

±DiO,；.DiO_L平面AiAPQ,由于APu平面AIAOCI，•.DiO±APo1•平面D】AP的斜

线DQ在这个平面内的射影是DiH,，DiH_LAP。

(3)连接BCi，在平面BCJBi中,过点P作PQ_LBCi于点Q。：AB_L平面BCCiBi，PQu

平面BCCiBi,•••PCLLAB,，PQJ_平面ABC。，，PQ就是P到平面ABDi的距离,在Rt

△JPQ中,ZCiQP=90°，ZPCiQ=45°，PJ=3,二PQ=之拒.即点P到平面ABDi的距

2

离为1痣。

2

正解二：(1)以防、DC,函分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，：

ABJ_平面BCCiBi，；.AP与平面BCCiBi所成的角为/APB。VCCi=4CP,CCi=4,：.CP=1,

A(4,0,0)、P(0,4,1)»B(4,4,0)。/•PA=(4,-4,-1),PS=(4,0,-1)AcosZ

APB=*^^=3亘.•.直线AP与平面BCGBi所成的角为arccos叵＜(2)连接DQ,

IPA|•|Pfi|3333

由(1)WDI(0,0,4)、0(2,2,4),ADjo=(2,2,0),而•丽=0,.,.可_L而又

因为DiAP的斜线DiO在这个平面内的射影是DiH。

ADxHlAP；

（3）由正方体的性质不难得出而为平面ABDi的一个法向量，Bi（4,4,4）、C（0,

4,0)、P(0,4,1)，

素=(-4,0,-4),即=(-4,0,1),:.d=8Pl=_12=J拒...p到平面ABQ的距离为之拉

181cl4V222

3.（典型例题）如图10-17,在三棱锥V—ABC中，底面4ABC是以NB为直角的等腰直角三

角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4,VA=而，VB与底

面ABC成45°角。

（1）求V到底面ABC的距离；

（2）求二面角V—AB—C的大小。

［考场错解］（1）过V作VD_LAC,垂足为D,连接BD,由已知

有VDJ_平面ABC,在直角三角形VBD中，NVBD为直线VB与

底面ABC所成的角，NVBD=45°,=2,r.V到底面

4

ABC的距离等于2。

［专家把脉］BD与AC垂直是错误的，BD#迈经正，错误的原因是缺少函数方程思想,

4

VD直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。

［对症下药］（1）如图10-18,在平面VAC中，过V作VD_LAC于D,连接BD,由已知

VDJ_平面ABC,NVBD为VB与底面所成的角，NVBD=45°,设CD=x，则在RtZWAD中,

VD2=VA2-AD2=14-（x-2）2=*2+8X-2,在直角三角形VBD中，ZVDB=90°,ZVBD=45°,

BD2=x?+8-4亚x•也=x2-4x+8.在直角三角形VBD中，/VDB=90°，/VBD=45°,VD=BD,

2

即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得x=l或x=5,又由题意x=5应舍去,；.x=l此时

VD=J-(-l)2+8x1-2=&.V至U底面ABC的距离为石;⑵过D作OE1AB于E,连结VE,

•・・VD_L底面ABC,DEJ_AB,・・・VE1.AB,・•・ZVED为二面角V—AB—C的平面角。在平面ABC

中，CB1AB,DE±AB,；.DE〃BC,由（1）知竺=四=3」DE==迈，在心△

BCAC442

VDE中，VD=75,NVDE=90°DE—,Z.tanZVED=-^=—,ZVED=arctanA

2还33

F

二面角V—AB—C的大小为arctan典.

3

专家会诊

空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距

离，求法比较灵活，主要有：（1）直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不

过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接解法：

利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是d=

其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。

考场思维训练

1如图，已知正三棱柱ABC—AiBiCi的各条棱长都为a,P为AiB上的点。

（1）试确定”的值，使得PCLAB：

答案:过P作PMJ_AB于M,连结CM,,.,ABC-AB3为正三棱柱，平面ABC,.'.PC在下

底面上的射影为CM,VPC±AB,ACM±AB,又4ABC为等边三角形，为AB中点，即P

为A,B的中点，

=I时,PC1AB.

PB

（2）若翳求二面角P—AC—B的大小:

答案：过P作PMLAB于N,过N作NQLAC于Q,连结PQ,根据三垂线定理得/PQN为二

面角P-AC-B的平角.PN=3a,NQ=L•昱a,在Rt△PQN中，tanZ

552

310图10-20

PnnQNNT=一ax—=-=瓜:.NPQN=60°.即二面角P-AC-B的大小为60°

52/3a

（3）在（2）的条件下，求J到平面PAC的距离。

答案：生1-PAC=]heS“AC=Kp-4CG=m解得力=■^■，二.G至平面PAC的距离为g

2长方体ABCD—AiBiCiDi中，AAi=9,AB=AC=66,N为BC中点，M为AiB的中点，P

为CiDi的中点，如图，

（1）求点P到平面BiMN的距离；

答案：如图，平面BiMN截长方体所得的截面为ABNR,•.•CD〃AB,...CD〃平面ABNR,

.".P到平面B.MN的距离等于G到平面B.MN的距离,作CiG±B,N于G,'.'ABCD-ABCD为长方

体,

；.CiG_L平面B1MN,在距形BCCiBi中，BBi=AAi=9,BiJ=BC=6百，BiN=6石，.•.NBBiN=30°,

ZCiBiG=60°,CiG=6石x也=9.，P到平面BiMN的距离为9.

2

（2）求PC与平面BiMN所成的角。

答案：：PC〃MB,，PC与平面RMN所成的角等于MB与平面B1MN所成的角，过B作BH_LB1N

于H,作BH，平面BMN,ZBMII为MB与平面B,MN所成的角，

B1I=-,448=673,.'.sinZBMHPC与平面所成的角为arcsin—.

244

3已知斜三棱柱ABC—AiBiCi的侧面，AiACCi与底面ABC垂直，/ABC=90",BC=2,

AC=2后，且AAi_LAiC,AAi±AiC»如图所示。

（1）求侧棱AAi与底面ABC所成二面角的大小;

答案:取AC中点D,连AJ）,；AA产AC,.•.AJ），AC又侧面AACC』平面ABC,，AJ）_L平面

ABC,

ZAiAD为AAi与平面ABC所成的角,由已知NAiAD=45°

（2）求侧面AiABBi与底面ABC所成二面角的大小；

答案：作DELAB,由三垂线定理ABLAE,，/AiED为侧面AIABBI与底面ABC所成二面角的

平面角.又BC_LAB,/.DE//BC,DE=：BC==石，

tanZA,ED=V3

AZA1ED=6O°.，侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为60°.

（3）求顶点C到侧面AiABBi的距离。

答案：D到平面AIABBI的距离是C到该平面距离的一半，由（2）知平面A£D_L平面AiABBi,

作DFlAjE,则DFJ_平面AiABBi,又DF=^,：.C到平面A.ABB,的距离为石

2•

命题角度4

简单几何体

1.（典型例题）如图10-22,在正三棱柱ABC—AiBiJ中,AB=3,AAi=4,M为AAi的中点，“

P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CCi到M的最短路线长为我，设这条最”

短路线与CCi的交点为N。

求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长；

（2）PC与NC的长；

（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。

［考场错解］第（2）问：过M作MNJ_CCi于N,则由己知有MN+NP=3+NP=热，NP=V29-3,

此时N为CCi的中点，NC=2,PC=dNP?-NC?=436-6亚。

［专家把脉］依题意是MN+NP的最小值为后，而错解中认为MN最小，则MN+NP就最小,

这是错误的.

［对症下药）（1）正三棱柱ABC—AiBiG的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形，其对

角线长为必手=质:

图10-23

（2）如图10-23,将侧面BB1GC绕棱CCi旋转120°,使其与侧面AAiJC在同一平面上，

点P运动到Pi的位置，连接MPi，则MPi就是由点P沿棱柱侧面经过棱CG到点M的

最短路线。设PC=x,则PQx,在RtZ\MAPi中，由勾股定理得（3+x）2+22=29,求得

x=2,PC=PiC=2,^-=^=^,.-.NC=

MAPyA55

（3）解法一：连接PPi，则PPi就是MNP与平面ABC的交线，作NH_LPPi于H,又CC」

平面ABC,连接CH,由三垂线定理得，CH±PPi，，NNHC就是平面MNP与平面ABC

所成二面角的平面角(锐角)。在RMPHC中,•••/PC*/PCPL6。。,'CH吟=1、

在RtANCH中tanZNHC=—=-,NNHC=arctand.•.平面NMP与平面ABC所成二面角

CH55

(锐角)的大小为arctan/。

解法2：•••△MPN在AABC上的射影为△APC,设所求的角为。则cos。=显空=题

SMINP41

故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为arccos工叵.

41

2.(典型例题)如图，直四棱柱ABCD—AiBiCiDi的底面ABCD为平行四边形，其中AB=Vi

BD=BC=1,AAi=2,E为DC中点，点F在DDi上，且DF='。

4

(1)求异面直线BD与AiDi的距离；

(2)EF与BCi是否垂直？请说明理由；

(3)求二面角E—FB—D的正切值。

［考场错解］第(2)问：♦.•ABCD—AiBiQDi为直四棱柱，；.EF在面BCCiBi上的射影为CCi，

而BCi与BCi不垂直，；.EF与BCi不垂直。

［专家把脉］把直四棱柱看成长方体了，实际上，长方体是底面为长方形的直四棱柱，本题

中的底面ABCD为平行四边形，所以ABCD—AiBiCiDi不是长方体，也就是说EF在面BCCiBi

上的射影不是CCi。

［对症下药］正解一：(1)；ABCD—AiBiCiDi为直四棱柱，；.DDi_LADi，DDilBD,；.DDi为

AiDi与BD的公垂线段，DDi=2,...AiDi与BD的距离为2；

(2)VBD=BC=1,CD=拒，.1△BCD为等腰直角三角形,E为CD的中点，，BE_LCD,又

ABCD-AiBiJDi为直四棱柱，BE_