乘法原理与加法原理

乘法原理与加法原理第1页，共19页，2023年，2月20日，星期日分类计数原理问题1.

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

第三类方法,乘轮船,有3种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。第2页，共19页，2023年，2月20日，星期日分类计数原理加法原理做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn

种不同的方法。第3页，共19页，2023年，2月20日，星期日

分析:从A村经B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3种方法,

第二步,由B村去C村有2种方法,

所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。分步计数原理

问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南第4页，共19页，2023年，2月20日，星期日分步计数原理

乘法原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法。第5页，共19页，2023年，2月20日，星期日

例1.

书架的第一层放有4本不同的计算机书,第二层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1,2,3层各取一本书,有多少种不同的取法?例题讲解

例2.一种号码锁有4个拨号盘,每个盘上有0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个4位数字号码?

例3.要从甲乙丙3名工人种选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?第6页，共19页，2023年，2月20日，星期日课堂练习1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？第7页，共19页，2023年，2月20日，星期日课堂练习3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？A1B1C1D1ACDB第8页，共19页，2023年，2月20日，星期日课堂小结相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．分类计数原理与分步计数原理的异同:区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．第9页，共19页，2023年，2月20日，星期日1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.72、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种A.510B.105C.50D.以上都不对CA4．5个高中应届毕业生报考3所重点院校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法共有（）种。

（A）35

（B）53

（C）15（D）63．如图：甲乙，在儿童公园中有四个圆圈组成的连环道路，从甲走到乙，不同的路线的走法有（）。

（A）2种（B）8种（C）12种（D）16种DA第10页，共19页，2023年，2月20日，星期日6．某镇有三家旅店，现有5名旅客住店，则不同的投宿方法有

种。7．三位正整数全部印出，“0”这个铅字需要用

个。8．直线l上有7个点，直线m上有8个点，则通过这些点中的两点最多有

条直线。9．事件A发生导致事件B发生，若A发生的方式有m种，B发生的方式有n种，则A、B相继发生的方式有

种。24318058mn第11页，共19页，2023年，2月20日，星期日例1

一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9．答：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法．例題講解(2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20答：从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法．第12页，共19页，2023年，2月20日，星期日①

⑤②③④例2、

用红、黄、蓝3种颜色给下图中①②③④⑤五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有多少种不同的涂法？解：涂色可分5步进行：第一步：涂区域①，有3种选择；第二步：涂区域②，有2种选择；第三步：涂区域③，有1种选择；第四步：涂区域④，有1种选择；第五步：涂区域⑤，有2种选择；由分步计数原理得，涂法数为3×2×1×1×2=12例題講解第13页，共19页，2023年，2月20日，星期日例3．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？例4．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？例題講解第14页，共19页，2023年，2月20日，星期日例5．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？例題講解第15页，共19页，2023年，2月20日，星期日強化練習1．已知集合A={x|－2≤x≤10，x∈Z}，m,n∈A，方程表示长轴在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个2．某赛季足球比赛的计分规则是，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，则该队胜、平、负的情况可能有

种。33．（1）若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对(x,y)有

个；（2）若1≤x≤4,1≤y≤5，以有序整数对(x,y)为坐标的点有

个。2820第16页，共19页，2023年，2月20日，星期日強化練習4．72含有

个正约数，在这些约数中，正偶数有

个。1295．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那末涂色的方法有

种。2407．由壹元币3张，伍元币1张，拾元币2张，可以组成

种不同的币值。23第17页，共19页，2023年，2月20日，星期日8．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？強化練習第18页，共19页，2023年，2月20日，星期日9．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得