两个随机变量的函数及其分布

两个随机变量的函数及其分布第1页，共21页，2023年，2月20日，星期日X与Y

独立即连续型对一切i,j有离散型X与Y

独立对任何x,y有复习第2页，共21页，2023年，2月20日，星期日

在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的概率分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?其中是连续函数.第3页，共21页，2023年，2月20日，星期日当(X,Y)为离散型r.v.时,Z也是离散型的，一、两个离散型r.v.的函数的概率分布例1

设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij-112-10求的概率分布.第4页，共21页，2023年，2月20日，星期日解：

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20第5页，共21页，2023年，2月20日，星期日故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123PXY-2-101PY/X-1-1/201第6页，共21页，2023年，2月20日，星期日解：依题意例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是的泊松分布.

设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且相互独立，则

X+Y~B(n1+n2,p)第7页，共21页，2023年，2月20日，星期日方法从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件

二、两个连续型r.v.的函数的概率分布其中问题

已知r.v.(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求密度函数.第8页，共21页，2023年，2月20日，星期日1.和的分布：Z=X+Y

设(X,Y)的联合d.f.为

f(x,y),则•z•zx+y=z或或即第9页，共21页，2023年，2月20日，星期日特别地，若X,Y相互独立，则或或称之为函数

fX(z)

与

fY

(z)的卷积

•z•zx+y=z第10页，共21页，2023年，2月20日，星期日解法一从分布函数出发(必须掌握)x+y=z(1)当z<0时，1yx1(2)当0z<1时，yx11x+y=z•z•z例3已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求

fZ(z)第11页，共21页，2023年，2月20日，星期日x+y=z(3)当1

z<2

时，z-11yx1•z•z1yx1x+y=z22(4)当2

z时，综合上述可得第12页，共21页，2023年，2月20日，星期日例3已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求

fZ(z)解法二（图形定限法）显然X,Y相互独立,且y1x1第13页，共21页，2023年，2月20日，星期日z1z=xz-1=xx21第14页，共21页，2023年，2月20日，星期日例4

若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解：由卷积公式第15页，共21页，2023年，2月20日，星期日令得可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第16页，共21页，2023年，2月20日，星期日正态随机变量的结论

若X,Y相互独立,则

若相互独立，则有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.第17页，共21页，2023年，2月20日，星期日2.

平方和的分布:Z=X2+Y2设(X,Y)的联合

d.f.

为

f(x,y)，则第18页，共21页，2023年，2月20日，星期日例如，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，Z=X2+Y2,则自由度为2的2分布称为第19页，共21页，2023年，2月20日，星期日已知(X,Y)的联合d.f.

为f(x,y)，令Z=X/Y