三角函数应用

三角函数应用第1页，共47页，2023年，2月20日，星期日

一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相

AT＝F＝

=ωx＋φφ第2页，共47页，2023年，2月20日，星期日

二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.

第3页，共47页，2023年，2月20日，星期日xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A00π2π如下表所示：第4页，共47页，2023年，2月20日，星期日1.函数y＝sin的图象的一条对称轴的方程是()A.x＝0

B.x＝C.x＝πD.x＝2π答案：C第5页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别

交于M、N两点，则|MN|的最大值为(

)解析：|MN|＝|sina－cosa|＝∴|MN|max＝答案：B第6页，共47页，2023年，2月20日，星期日3.将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于(

)第7页，共47页，2023年，2月20日，星期日解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)，在A、B、C、D四项中，只有时有y答案：D第8页，共47页，2023年，2月20日，星期日4.弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s＝10sin，t∈[0，＋∞)，则

弹簧振子振动的周期为

，频率为

，振幅为

，

相位是

，初相是

.答案：第9页，共47页，2023年，2月20日，星期日5.(2009·辽宁高考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的

图象如图所示，则ω＝

.解析：由题意设函数周期为T，则答案：第10页，共47页，2023年，2月20日，星期日

1.五点作图法(1)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈R上的图象时，一般令ωx＋φ＝0，2π，即可得到所画图象的特殊

点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为(2)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上的图象时，

一般先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内，选取特

殊点，连同区间的两个端点一起列表.第11页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.图象变换法(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则.(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来

的A倍(横坐标x不变).第12页，共47页，2023年，2月20日，星期日已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象.(2)求函数f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值.第13页，共47页，2023年，2月20日，星期日(1)把f(x)化简为f(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式，

然后列表，画图象.(2)先求出ωx＋φ在[－，0]上的范围，然

后根据单调性求解.第14页，共47页，2023年，2月20日，星期日【解】第15页，共47页，2023年，2月20日，星期日列表：x0f(x)1001第16页，共47页，2023年，2月20日，星期日图象如图：第17页，共47页，2023年，2月20日，星期日故当即时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当即时，f(x)有最大值，f(x)max＝即f(x)在上的最小值为－1，最大值为第18页，共47页，2023年，2月20日，星期日1.已知函数f(x)＝2sinx·(sinx＋cosx).(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)画出函数y＝f(x)在区间上的图象.第19页，共47页，2023年，2月20日，星期日解：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+第20页，共47页，2023年，2月20日，星期日xy211112(2)由(1)知第21页，共47页，2023年，2月20日，星期日故函数y＝f(x)在区间上的图象是第22页，共47页，2023年，2月20日，星期日

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则(2)求ω，确定函数的周期T，则(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已

知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在

上升区间上还是在下降区间上).第23页，共47页，2023年，2月20日，星期日②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(

,0)作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.【注意】当不能确定周期T时，往往要根据图象与y轴的交点，先求φ.第24页，共47页，2023年，2月20日，星期日(2009·陕西高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当时，求f(x)的值域.第25页，共47页，2023年，2月20日，星期日由曲线与x轴的交点之间的距离可以求出函数周期，由M点坐标求得A及φ.

第26页，共47页，2023年，2月20日，星期日【解】

(1)由最低点为，得A＝2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为即T＝π，∴由点在图象上得第27页，共47页，2023年，2月20日，星期日当即x=时，f(x)取得最大值2；当即x=时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2].第28页，共47页，2023年，2月20日，星期日

2.已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直

线对称，当时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－)的图象如图.(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解.第29页，共47页，2023年，2月20日，星期日解：(1)由题中图象可知A＝1，ω>0，解之得第30页，共47页，2023年，2月20日，星期日由y＝f(x)关于直线对称，可求得当x∈[－π，－]时，f(x)＝－sinx.(2)因为f(x)＝则在区间∴x1＝0，x2＝综上，f(x)=第31页，共47页，2023年，2月20日，星期日又y＝f(x)关于x＝－对称，也是方程的解.∴f(x)＝的解为第32页，共47页，2023年，2月20日，星期日如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.第33页，共47页，2023年，2月20日，星期日(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？第34页，共47页，2023年，2月20日，星期日

(1)以圆心O为原点建立平面直角坐标系，利用

三角函数的定义求出点B的纵坐标，则h与θ

之间的关系可求；(2)把θ用t表示出来代入h与θ的函数关系式即可.第35页，共47页，2023年，2月20日，星期日【解】

(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，第36页，共47页，2023年，2月20日，星期日则以Ox为始边，OB为终边的角为故点B的坐标为∴h＝5.6＋4.8sin＝5.6－4.8cosθ(θ≥0).(2)点A在圆上转动的角速度是故t秒转过的弧度数为∴h＝5.6－4.8cos，t∈[0，＋∞).到达最高点时，h＝10.4m.由，得∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.

第37页，共47页，2023年，2月20日，星期日3.青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余

米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场.这里三面环山，绿树

葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在

一起，景色非常秀丽.海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质

细软，自然条件极为优越.第38页，共47页，2023年，2月20日，星期日已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.第39页，共47页，2023年，2月20日，星期日(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？第40页，共47页，2023年，2月20日，星期日解：(1)由表中数据，知周期T＝12，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为第41页，共47页，2023年，2月20日，星期日(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，得0≤t<3，或9<t<15，或21<t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.

第42页，共47页，2023年，2月20日，星期日2009·福建高考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜(1)若求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.第43页，共47页，2023年，2月20日，星期日[解]法一：第44页，共47页，2023年，2月20日，星期日(2)由(1)得，f(x)＝sin(wx+).依题意，又故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x