几何体与球的接切问题

几何体与球的接问学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感实理论上三棱锥都有外接球只是有的不易求解经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。一、几何体的外接球问题1、与长方有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。在长方体ABCDBC中,,1111的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为（）因Da2，故外接球半径1R

a22当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1三棱锥S-ABC的所有顶点都在球的表面上⊥平面ABCAB⊥，又SA=AB=BC=2，则O的表面积为（12）分析：因SA,AB,BC两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。例、四面体中，ABCDAC1013则四面体ABCD接球体积为（

73

）分析：13看作长方体的三个面对线的长，四面ABCD与长方体外接球重合。由(2)2

52

4714,33

2、与等边角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。例1、已三棱锥—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为的正三角形，SC为球的直径，且2，则此棱锥的体积为（A）

26

B.

36

C.

23

D.

22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH因ABC是正三角形，△ABC在小圆1

2322222223222222的

圆

心

与

重

心

重

合，

则323123263

,

36193

,例、已知正三棱柱内接于一个半径为的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为)B.C.D．解：如图，设正三棱柱底面边长为a，∴O22

33

aOC2O＝22

14－a3

.∴A12＝O2OO2122

14－a3∴为＝3·2

14－＝6·

1a＋12a·a3＝123.当且仅当a＝12a，a＝6取“＝”号3、当几何有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面ABCD中BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（43）分析AB=CD=6余各边均为中点F,E接则几何体关于面FCD对称，又关于面AEB称，故球心在两面交线，又需到A,B,C,D四点距离相等，所以球心为点。解：在△EFC中CFBC

BF

∴

∴R

2

2

432

43求外接球的半径，重在考虑球心位置，常结合的几何体的对称性找球心。练习已知过球面上三点A的截面到球心的距离等于球半径的一半，2

2222222233322422332223322222222333224223322233且AB＝，＝24，＝cm，求球的体积和表面积．解∵＋BC＝AC∴△ABC是直角三角形，＝90°，∴AC1三点的截面圆的半径为AC＝15cm.R设球的半径为，则＝()＋15.∴R

＝300，∴＝1034∴＝π＝4πcm.球S＝4π＝1200πcm球二、几何体的内切球问题几何体内切球的球心都在几何体内部，常采用分割法求内切球半径。求棱长为1正四面体外接球的内切球半径．如图正四面体S－ABC的中心为O即内切球球心，内切球半径r即为O到正四面体各面的距离．∵AB＝1,∴正四面体的so1

2

21

又S

－

A

VO

OABS

O

O

=4O

－，16∴r＝h＝设是正四面体S－的高外接球的球心在SO上设外接球半11径为R，AO＝r，1则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝

33从而＝SA－＝11

121－＝

，在Rt△中，由勾股定理，得1R

＝(

2－R)＋()

，3

433球334223322233433球33822222222433球334223322233433球338222222226解得R＝4466∴＝π＝π()＝π正四面体的棱长为，则其内切球的半径为____

612

a外接球的体积．设是正四面体S－的高外接球的球心在SO上设外接球半11径为R，AO＝r，1则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝

33从而＝SA－＝11

121－＝

，在Rt△中，由勾股定理，得1R＝(

2－R)＋()，6解得R＝4466∴＝π＝π()＝，a.2、半球内一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()C．

B.6D．答案

B方法一

作过正方体对角面的截面如图设半球的半径为R，正方体的棱长为a，2那么CC′＝a，＝a.在Rt△C′，由勾股定理，得CC＋＝′即a

2

2＋(a

＝R

6，∴R＝a.4

33333322正方体22222233333322333333322正方体222222333333223∴

半球

266＝πR＝(a＝πa，＝正方体因此

半球

6＝πa

3

a

3

＝6方法二

将半球补成整个球时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体构成的长方体刚好是球的内接长方体那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是，则根据长方体的对角线6性质，得(2R)＝＋＋(2a即4R＝6a，∴＝.从而

半球

266＝π