2021年内蒙古自治区赤峰市大板第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021年内蒙古自治区赤峰市大板第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）.A．4km B．5km C．6km D．7km参考答案：B2.把半圆弧分成4等份,以这些分点(包括直径的两端点)为顶点,作出三角

形,从这些三角形中任取3个不同的三角形,则这3个不同的三角形中钝

角三角形的个数X的期望为（

）

A.

B.

2

C.

3

D.参考答案：D3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数x（个）2345加工时间y（分钟）26a4954根据上表可得回归方程，则实数a的值为（

）A.37.3 B.38 C.39 D.39.5参考答案：C【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值。【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题。4.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为A．（，1）

B．（，+）

C．（，）

D．（，+）参考答案：B略5.

在△ABC中，，则角等于(

).

A.

B.

C.

D.或参考答案：D6.将八进制数化为二进制数为（

）A．

B．Ｃ．Ｄ．参考答案：A7.若抛物线上距离点A的最近点恰好是抛物线的顶点，则的取值范围是-（）

A.

B.

C.

D.参考答案：C8.函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ= B．ω=，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．【解答】解：由图象观察可知：3﹣1=，可解得：T=8=，从而有ω=．又因为图象过点（1，1），所以有：sin（φ）=1，故可得：φ=2k，k∈Z，可解得：φ=2kπ，k∈Z当k=0时，有φ=．故选：B．9.给出下列五个命题:①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为23;②一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;③一组数据a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2;④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，,则=1;⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90.其中真命题为：A．①②④B.②④⑤C.②③④D.③④⑤参考答案：10.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是(

)A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，求出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，然后再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到P的位置．【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1，即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选B【点评】考查学生掌握直线与圆的各种位置关系所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题的那里．以及会判断点与圆的位置关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号(I)分组(睡眠时间)组中值(GI)频数(人数)频率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S的值是________．参考答案：6.4212.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=

参考答案：213.若为的各位数字之和，如，，则.记，，，……，，，则

．参考答案：11分析：根据所给出的定义逐个求出，归纳得到一般性的规律后可得所求．详解：由题意得，故；，故；，故；，故；，故；，故；……∴当时，．∴．14.在空间直角坐标系中，点与点的距离是_______________.参考答案：略15.在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为

。参考答案：16.若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为_____．参考答案：∵两条直线互相平行，∴，解得或（舍）．这两条直线之间的距离为：故答案为．

17.如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终

与水面EFGH平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BExBF是定值，其中所有正确命题的序号是

参考答案：.(1),(3),(4)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）有一问题，在半小时内，甲能解决它的概率是0.5，乙能解决它的概率是，

如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算：

（1）两人都未解决的概率；

（2）问题得到解决的概率。参考答案：解析：（1）设半小时内甲能解决该问题是事件A，乙能解决该问题是事件B，那么两人都未解决该问题就是事件???，由于两人是相互独立的解决的，我们得到P（?）=P（）?P（）=[1－P（A）][1－P（B）]=（1－）（1－）=……………7分

（2）“问题得到解决”这一事件的概率为：1－P（?）=1－=……………13分

（注：若有另法,请酌情评分.以下同）19.已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．参考答案：考点： 数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题： 计算题；证明题．分析： （I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，?，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答： 解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．

（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．

（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．

（12分）点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．20.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆所截得的弦长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B两点分别为椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，求kPA?kPB的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及通径公式，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据直线的斜率公式，由y2=3（1﹣），代入即可求得kPA?kPB的值．【解答】解：（1）由椭圆离心率e===，则a2=2b2，过右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆所截得的弦长为3，=3，解得：a2=4，b2=，∴椭圆C的方程；（2）由（1）有A，B两点坐标为A（﹣2，0），B（2，0），