2021-2022学年福建省福州市私立闽山中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年福建省福州市私立闽山中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}，，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出集合A，B，从而求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}={x|0≤x≤2}，={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查不等式的解法，是一道基础题．2.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（

）

A.3

B.

C.

D.2参考答案：D由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以，选D.3.已知函数，则A．

B．

C．

D．参考答案：D因为所以，所以，，所以，选D.4.在下列命题中，不是公理的是（）A．两条相交直线确定一个平面；B．不在同一条直线上的三点确定一个平面；C．如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上；D．如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.参考答案：A由五个公理可知，A选项是B选项公理的推论，所以选A5.若等边三角形ABC的边长为，该三角形所在平面内一点M满足，则等于A. B. C.1 D.2参考答案：A

==

=选A.6.设集合,则满足的集合的个数是（

）

A．1

B．3

C．4

D．8参考答案：C7.将图像按向量平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（

）A.

，

B.

，

C.

，

D.

，参考答案：C8.函数，的图象大致为下图的参考答案：A9.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是(

)①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①② B．①④ C．②③ D．②④参考答案：D【考点】根据实际问题选择函数类型；归纳推理．【专题】阅读型；转化法；函数的性质及应用．【分析】分别求出大包装和小包装每100克的价格进行比较，以及卖1大包和3小包的盈利即可得到结论．【解答】解：大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确，卖1大包装盈利8.4﹣0.7﹣1.8×3=2.3元，卖1小包装盈利3﹣0.5﹣1.8=0.7，则卖3小包盈利0.7×3=2.1元，则卖1大包比卖3小包盈利多．故④正确，故选：D【点评】本题主要考查函数模型的应用，比较基础．10.定义，已知。则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上满足:，当时，=，则=

▲

．参考答案：212.若实数满足，则的最大值为_______________参考答案：513.若向量满足，则的值为___

.与的夹角是___

.参考答案： , 14.过曲线上一点P的切线平行于直线，则切点的坐标为_____.参考答案：略15.已知向量，则向量的夹角为____________。参考答案：略16.已知，且是第二象限角，则______.参考答案：【分析】根据诱导公式可以得到的值，结合为第二象限角得到的值，最后利用二倍角的正弦得到要求的正弦值.【详解】由题设有，因为是第二象限角，所以，故.【点睛】（1）与的三角函数的关系是“函数名不变，符号看象限”；（2）的三个三角函数值只要知道其中一个，就可以求出另外两个，求值时要关注角的终边的位置.17.已知函数对任意的x∈[a，a+l]，不等式恒成立，则实数a的最大值是_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆.（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）求圆被直线：所截得的弦长.参考答案：（1）圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ+）…….5分（2）将θ=﹣代入圆C的极坐标方程ρ=4cos（θ+），得ρ=2，所以，圆C被直线l：θ=所截得的弦长，可将θ=﹣代入极坐标方程求得为ρ=2．即弦长为2……………………10分19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴椭圆C的方程为+=1；由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），即有r2=65，则圆M的方程：x2+y2=65；（2）如图，①当过点A与椭圆C：+=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±4，∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直线与椭圆相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．20.已知函数（1）若a=1，求曲线f（x）在点处的切线方程.（2）若，求f(x)的单调区间.（3）若a=-1，函数f（x）的图像与函数的图像有3个不同的交点，求实数m的取值范围.参考答案：略21.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的位上网购物者的年龄情况如右图．（1）已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求的值；（2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放元的代金券，潜在消费人群每人发放元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的位上网购物者中抽取了人，现在要在这人中随机抽取人进行回访，求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望．参考答案：（1）；（2）分布列略，186.试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：，又因为、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列所以联立解出（2）由已知高消费人群所占比例为，潜在消费人群的比例为由分层抽样的性质知抽出的人中，高消费人群有人，潜在消费人群有人，随机抽取的三人中代金券总和可能的取值为：；；列表如下：数学期望考点：频率分布直方图；分层抽样；离散型随机变量的分布列和期望.22.