2021-2022学年福建省泉州市阳山中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省泉州市阳山中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（

） A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：A因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，选A.2.若复数是纯虚数，其中a是实数，则(

)

（A）

（B）

（C）1

（D）2参考答案：B3.角终边经过点（1，-1），A.1 B.-1 C． D．参考答案：【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】C

角终边经过点（1，-1），所以=故选C。【思路点拨】可直接根据定义确定余弦值4.要得到函数轴（

）

A．向左平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：答案：A5.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象(

)A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：B略6.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（

）A. B.5 C. D.参考答案：C【分析】将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.已知函数，则这个函数在点处的切线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=A．

B．2 C．

D．3参考答案：【知识点】离散型随机变量的分布列K6A由数学期望公式可得：.故选择A.【思路点拨】根据数学期望公式可得.9.如图放置的边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴（含坐标原点）

上滑动，则的最大值为(

)(A)

(B)

（C）

(D)

参考答案：D略10.在正方形中，沿对角线将正方形折成一个直二面角，则点到直线的距离为（

）参考答案：C作,垂足是O，则O是AC的中点，连结OB，易证，作于E，E是CD的中点，又,，BE是点B到直线CD的距离.在中，求.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设曲线在点处的切线与直线平行，则

.参考答案：1略12.已知实数、满足，则的最小值为

.

参考答案：13.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案为：．14.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知，，若对任意n，都有≤成立，则正整数k的值为_______．参考答案：10【分析】设等差数列公差为d，结合已知条件得d＝－3和＝29，进而得，对任意n，都有≤成立，求最大值时n的值即可得k的值.【详解】因为数列为等差数列，设公差为d，，，两式相减，得：3d＝－9，所以，d＝－3，由等差中项得，即，解得：＝29，所以，＝，当n＝时，取得最大值，但n是正整数，所以，当n＝10时，取得最大值，对任意n，都有≤成立，显然k＝10.故答案为：10【点睛】本题考查了等差数列的性质，前n项和的最大项，数列与函数的结合，属于中档题.15.已知双曲线的离心率为，则

。参考答案：4

【解析】由解得，∴，∴16.设，定义使为整数的数加做数列的企盼数，则区间内的所有企盼数的和为

。参考答案：202617.在平面直角坐标系xOy中，双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题8分)

设函数f(x)=(x?a)ex+(a?1)x+a，a∈R.

（I）当a=1时，求f(x)的单调区间；

（II）（i）设g(x)是f(x)的导函数，证明：当a>2时，在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0；

（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0成立．

注：e为自然对数的底数．参考答案：解：（Ⅰ）当时，

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是

（Ⅱ）（ⅰ）

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增

又因为，所以在上恰有一个使得

（ⅱ）由题意知，即由（ⅰ）知（0，）递减，（，+∞）递增，设在上最大值为，任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0，即，得19.已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.参考答案：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.

（Ⅱ）由及得

，

时，，

，

，，的通项公式为.20.已知数列{an}和{bn}满足：.（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前n项和Sn.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，判断出，由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴为常数列，且，∴，∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC与PB所成角的余弦值；（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，求出A、B、C、D、P、E的坐标，设N（0，y，z），利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于x、y的方程组，求出点N的坐标为（0，，1），即可得到N到AB、AP的距离分别为1和．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，则OE∥PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cos∠EOA==．即AC与PB所成角的余弦值为．（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则可得A（0，0，0）、B（0，，0）、C（1，，0）、D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（，0，1），依题设N（0，y，z），则=（，﹣y，1﹣z），由于NE⊥平面PAC，∴，化简得，可得y=，z=1因此，点N的坐标为（0，，1），从而侧面PAB内存在一点N，当N到AB、AP的距离分别为1和时，NE⊥平面PAC．22.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（Ⅱ）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，由（1）得，