2021-2022学年云南省昆明市经开第一中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年云南省昆明市经开第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B考点：复合函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】本题以复合函数的图象为背景,考查的是函数的简单性质与数形结合的数学思想综合运用问题,解答时先求出函数的定义域,再研究函数的奇偶性,借助函数奇函数的定义确定为奇函数,进而通过取值验证答案的方法进行分析排除,从而使得本题获解.2.若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”).已知函数f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有（

）个A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】由所给的式子得an+1﹣an=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出an，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，【解答】由an+1=an+n+1得，an+1﹣an=n+1，则a2﹣a1=1+1，a3﹣a2=2+1，a4﹣a3=3+1…an﹣an﹣1=（n﹣1）+1，以上等式相加，得an﹣a1=1+2+3+…+（n﹣1）+n﹣1，把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+（n﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=，故答案选：C．【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．4.在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线参考答案：A5.已知集合,若，则（

）A．参考答案：B6.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数有f′(x)+f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式exf(x)＞1的解集为（

）A．(－∞，0)

B．(0，+∞)

C.(－∞，e)

D．(e，+∞)参考答案：B令g(x)=exf(x)，故g(x)=exf(x)+exf′(x)=ex|f(x)+f′(x)|，由f′(x)+f(x)＞0可得，g(x)＞0，故函数g(x)在R上单调递增，又由f(0)=1得g(0)=1，故不等式exf(x)＞1的解集为(0，+∞)，故选B.7.正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为（

）A.

B.

C. D.与点的位置有关参考答案：C.试题分析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，∴，即，故夹角为，故选C.考点：异面直线的夹角.【名师点睛】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.8.已知，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D已知,,共轭复数为：，对应的点为（2，-1）在第四象限.

9.定义在[－2，+上的函数的部分值如下表，的导函数的图象如图，两正数a,b满足的取值范围为（

）

A． B．

C．

D．x－2041－11

参考答案：答案:B10.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的函数，若对任意不等实数满足，且对于任意的，不等式成立.又函数的图象关于点（1，0）对称，则当时，的取值范围为

.参考答案：12.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若== 参考答案：45°略13.设函数，则满足的的取值范围是

.参考答案：14.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，，，则圆的面积为

.参考答案：

【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，∴∠BOC=120°，∵BC=2，∴圆的半径为：=2，∴圆的面积为：π?22=．故答案为：．【思路点拨】通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．15.在的展开式中，x的有理项共有_________项．参考答案：四项16.已知且满足，则的最小值为

▲

．参考答案：18略17.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20.（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=,M，N分别为PB,PD的中点。（1）证明：MN∥平民啊ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。参考答案：19.已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O为AB的中点．(I)求证：EO⊥平面ABCD；(II)求点D到平面AEC的距离．

参考答案：略20.设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．21.

已知函数f（x）=alnx－bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=－3x+21n2+2．

（I）求a，b的值；

（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（e为自然对数的底数）；

（Ⅲ）令g（x）=f（x）－kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1<x2），AB的中点为C（xO，0），求证：g（x）在xO处的导数g′（xO）≠0．参考答案：略22.(本小题满分14分)某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工人(，且为的整数倍)，每人每年可创利千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的，则每裁员人，留岗员工每人每年就能多创利千元；若裁员人数超过现有人数的，则每裁员人，留岗员工每人每年就能多创利千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年千元的生活费．(I)设公司裁员人数为x，写出公司