数列求和讲义-高三数学一轮复习

数列求和（1）一、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．常见类型：二、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．题型一：分组求和法类型一：例1．已知数列的前n项和满足，，则数列的前10项和为（

）A．4162 B．4157 C．2146 D．2142例2．例3．已知数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．类型二：例4．．例5．已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.例6．已知数列的前n项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.题型二：错位相减法例7．已知数列的前n项和为，且．(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．例8．已知等差数列满足，数列是以1为首项，1为公差的等差数列．(1)求和；(2)若，求数列的前项和．例9．1．已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（

）A．352 B．401 C．625 D．9132．已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（

）A． B． C． D．3．已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和.4．数列的前项的和为，已知，，当时，(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和5．已知数列满足，数列为等比数列，且满足(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且，记数列满足，求数列的前项和.6．记为等比数列的前项和.已知.(1)求；(2)设求数列的前项和.7．设为数列的前项和，且满足：.(1)设，证明是等比数列；(2)求.8．设数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．9．已知数列的前项和为，且，，．(1)求证数列为等差数列，并求通项；(2)设，求数列的前项和．10．设数列满足，等比数列满足，.(1)求、的通项公式；(2)求数列的前项和.11．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.12．已知数列满足且．(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和．典例参考答案：1．解：因为，所以当时，，即，则，当时，，所以，即，则，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，，所以数列的前10项和为：．2．解（1）证明：因为，所以，即，所以，所以，所以是等比数列，首项为，公比；（2）解：由（1）可知，，所以，所以.3．4．解：因为，所以，5．解：（1）由可知，则化简可得：，即，数列是以2为公差的等差数列，，由可知，，又由为递增的等比数列，且，即，解得，.（2）6．解：（1）∵，则有：当时，，解得；当时，则，两式相减得，即；注意到，故，∴是首项为3，公比为3的等比数列，故.（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.7．解：（1），当时，，解得；当时，，，相减得到，即，故是首项为，公比为的等比数列，.验证时也满足，故.（2），，，，两式相减：，整理得到：8．解：（1）因为，所以，，．因为为等差数列，所以，即，解得，所以，，．又，是等差数列.因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．（2）由（1）得，所以，①则，②①-②得，所以．9．解：（1）当时，，解得；当时，，两式相减得；所以是，的等比数列，故．（2）证明：因为，所以①，②① -②得所以．因为，所以．跟踪练习参考答案：1．解：令，设数列的公比为，因为，所以，即，所以.由，得，所以，联立，解得，所以，所以，所以的前10项和为.故选：D.2解：数列的通项公式为：，数列的前n项和为，则有，所以数列的前100项之和.故选：A3．4．（1）解：当时，由可得，即，因为，，所以时也满足，当时，，所以，，当时，，也满足上式，所以.（2）解：，对任意的，，所以，.5．解：（1）因为，令得，又数列为等比数列，所以，则，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由（1）知数列数列是公比为2的等比数列，由得，所以，则，所以，数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列；偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，.6．解：（1）设等比数列的公比为.由题意，可知，解得：，.（2）由题设及（1）可知：当为奇数时，，当为偶数时，，故，7．解：1）因为，，则，两式相减得：，整理可得，即，于是，，所以数列是等比数列.（2）由（1）知，，又，则所以.8．解：（1）当时，，解得．当时，，则，即，从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，且当时，也满足，所以故．（2）由（1）可得，则，故．9．解：（1）由，则，即，当时，，得，则，故，因此是以2为首项，3为公差的等差数列，所以．（2）结合（1）可知，，则①，则②，①-②得，故．10．11．解：（1）设数列的首项为，公比为q，则①，因为，，成等差数列，则，即②，因为