同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

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第六章常微分方程

函数是讨论客观事物运动逻辑的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，经常不能直接找出这种函数关系，但却能按照问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1引例

引例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(yxP处的切线斜率为x2，求这条曲线方程．

解设所求曲线方程为()yfx=，且曲线上随意一点的坐标为),(yx．按照题意以及导数的几何意义得

xdx

dy

2=.两边同时积分得

2yxc=+（c为随意常数）．

又由于曲线通过（1，2）点，把1x=，2y=代入上式，得1=c．故所求曲线方程为

21yx=+．

引例2将温度为Cο100的物体放入温度为Cο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T成正比，求物体的温度T与时光t之间的函数关系．

解依照冷却定律，冷却方程为

ktdt

dT

-=（k为比例常数），所求函数关系满足0t=，100T=．

以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．下面我们介绍有关微分方程基本概念．

1.2微分方程的基本概念

定义1含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．

例如下列微分方程中，

（1）13=-'xy；（2）sin0dyyxdx+=；（3）21

()20yyx

'''+

+=（4）22221uu

xy

??+=??；（5）cos3dyyxdx+=．都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．

本课程只研究常微分方程．

定义2微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．普通地，n阶微分方程记为：

0),,,,()(='nyyyxF．

定义3若将()yfx=代入微分方程中使之恒成立，则称()yfx=是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=yx?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=yx?是微分方程的隐式解．

定义4微分方程的解中含有随意常数，并且随意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．

引例1中，积分后得到Cxy+=2为微分方程的通解，因为通解中含有随意常数，所以它不能彻低确定地反映客观事物的逻辑性，必需确定这些常数，为此，要按照实际问题，提出确定通解中的常数的条件．

设微分方程中未知函数)(xyy=，假如微分方程是一阶的，确定随意常数的条件是

00

yyxx==；假如微分方程是二阶确实定随意常数的条件是00

yyxx==，10

yyxx='=，上述

这些条件叫做初始条件．

定义5求解微分方程),(yxfy='满足初始条件00

yyxx==的特解问题称为一阶微分

方程的初值问题．记作

?????=='=00

)

,(yyyxfyxx．

例1验证atcatcxsincos21+=是微分方程

02=+''xax

的解．

解atcatcxsincos21+=的一阶导数x'和二阶导数x''分离是atacatacxcossin21+-='，

atacatacxsincos2221--=''()atcatcasincos212+-=．

把x'和x''代入微分方程中，

()++-atcatcasincos212()0sincos212≡+atcatca．

因此，atcatcxsincos21+=是微分方程的解．

假如1c、2c是随意常数，则解atcatcxsincos21+=是二阶微分方程02

=+''xax的

通解．

例2已知x

exCCy-+=)(21是微分方程02

22=++ydx

dy

dxyd的通解，求满足初始条件40==xy，20-='=xy的特解．

解由题意得

xxexCCCexCCy='+=')(])[(21221，

把40==xy，20-='=xy分离代入得

??

?-=-=24

12

1CCC,即

??

?==2

4

21CC，于是微分方程的特解为

xexy-+=)24(．

习题6-1

1．指出下列各微分方程的阶数．

（1）dd0xyyx+=；（2）2

()20xyyxy''-+=；

（3）2yyyyx'''+-=；（4）2

()yyyxy''''''+=+；

(5)35

2cosyyyy''''-=-；(6)

22xydx

dy

+=；

（7）02

2=++CQdtdQRdtQdL；（8）θρθ

ρ

2sin=+dd．2.验证下列函数是所给的微分方程的解．

（1）sin,cosx

yxyyxx'=

+=；（2）,20xyeyyy'''=-+=；（3）222

1,1yxyxyxyx

'=-=++；（4）2221,(1)2yxyyxyx'=+=-++．

3．验证函数1x

yCex-=+-是微分方程yyx'+=的解，并求满足初始条件0

2xy

==的

特解．

4．写出下列条件确定的曲线)(xyy=所能满足的微分方程．（1）曲线在任一点),(yxM处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．（2）曲线在任一点),(yxM处的切线斜率与该点横坐标成正比．

5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口诞生统计资料，发觉了如下现象：人口诞生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了闻名的Malthus人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t表示时光（变量），x表示人口总数（依靠于时光变化），k表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，慢慢地，小树长高了并且长得越来越快，几年之后，绿荫底下已经可歇凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再渐渐降下来．假如假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H(m),在t(年)时的高度为),(th0>k的是比例常数）

其次节可分别变量微分方程

本节我们研究的是一阶微分方程),(yxfy='的解法．

2.1可分别变量微分方程引例微分方程

yxedx

dy

-=，明显不能直接用积分法求解，但是适当地变形：dxedyexy=，

此时，方程右边是只含x的函数的微分，方程左边是只含y的函数的微分，对上式积分，得

??=dxedyex

y，

即

Ceexy+=（C为随意常数）．

这就是微分方程的通解．

普通地，一阶微分方程),(yxfy='，假如能变形为

dxxfdyyg)()(=

的形式，则方程),(yxfy='称为可分别变量的微分方程．此处，)(),(ygxf为延续函数．

按照以上所述，解可分别变量的微分方程),(yxfy='的步骤如下：第一步：分别变量，将方程写成dxxfdyyg)()(=的形式；其次步：两端积分：??=

dxxfdyyg)()(；

第三步：求得微分方程的通解CxFyG+=)()(，其中)(),(xFyG分离为)(),(xfyg的原函数．

例1求微分方程

2dy

xydx

=的通解．解将方程分别变量，得到

dy

y

=xdx2，两边积分，即得12||lnCxy+=，即2

11

2xCCxeee

y±=±=+．

因为1Ce±是随意非零常数，又0=y也是方程的解，故原方程的通解为

2

xCey=（C为随意常数）

．注：变量分别过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：

??=dxxfygdy

)()()0)(()()(≠+=→ygCxFyG．

假如存在0y，使得0)(0=yg满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并

CxFyG+=)()(．

假如0y不包含在通解中，求解微分方程时，必需补上，和通解一起共同构成微分方程的解．例2求微分方程

110dyyydx?

?=-???

的解．解将方程分别变量，得到

110dydxyy=?

?-???

，

两边积分:

110dydxyy=?

?-???

?

?，得1ln

10y

xCy

=+-，收拾得方程的通解是

x

ce

y-+=

110（1c

ec-±=为随意非零常数）．因为1010yy??

-

=???

，解得01=y，102=y也是方程的解．另外，10=y包含在通解中，0=y不含在通解中，故原方程的解为

x

cey-+=

110

（c为随意常数）和0=y．

例3镭的衰变有如下逻辑：镭的衰变速率与它的现存量)(tMM=成正比．当0=t时，

0MM=．求镭的存量与时光t的函数关系．

解由题意得

)0(,>-=kkMdt

dM

．满足初始条件00|MMt==．

此微分方程为变量分别方程，变量分别，得

kdtM

dM

-=，积分，得

CktMlnln+-=，

即kt

CeM-=．

将初始条件00|MMt==代入上式，得0MC=，故镭的衰变逻辑为

kteMM-=0．

2.2齐次方程

假如一阶微分方程中，有些方程不能直接分别变量，但可以通过适当的变量代换，化为可分别变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种．

假如),(yxfy='可化为

??

???=xydxdy?，的形式，则称此方程为齐次方程．

例如微分方程0)(22=-+xydydxyx可化为

xy

yxdxdy2

2+=，即等号右边分子、分母同除以2

x，得

x

yxydx

dy2

1???

??+=

，故此方程为齐次方程．

齐次方程的解法：令x

y

u=

，则uxy=，uxuy+'='，代入齐次方程)(udx

duu?=+，

即

x

dx

uudu=-)(?，

为变量分别方程．

例4求微分方程x

y

xyytan+='的通解．解令x

y

u=

，则uxy=，uxuy+'='，代入上式，得uuuxutan+='+，

化简，分别变量，得

dxx

duuu1

sincos=，积