第7讲6与二叉树114节

第六章树和二叉树6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3

二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码6.1树的类型定义一.树的抽象数据类型定义二.树的基本术语ABCDEFGHIJMKL树的表示方法A()T1T3T2树根B(E,F(K,L)),

C(G),

D(H,I,J(M))ABEFKLCGDHIJMWKPTMS举例：

W(K(A,T(M(B,S),C)),P)ABC数据对象D：D是具有相同特性数据元素的集合。

若D为空集，则称为空树；否则:(1)在D中存在唯一的称为根的数据元素root,(2)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm,

其中每一棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。

数据关系R：

基本操作：查找类

插入类删除类

Root(T)//求树的根结点

查找类：Value(T,cur_e)//求当前结点的元素值

Parent(T,cur_e)//求当前结点的双亲结点LeftChild(T,cur_e)//求当前结点的最左孩子RightSibling(T,cur_e)//求当前结点的右兄弟TreeEmpty(T)//判定树是否为空树TreeDepth(T)//求树的深度TraverseTree(T,Visit())//遍历InitTree(&T)//初始化置空树

插入类：CreateTree(&T,definition)//按定义构造树Assign(T,cur_e,value)//给当前结点赋值InsertChild(&T,&p,i,c)//将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树ABCDEFGHIJMKL例如:TPNQC

ClearTree(&T)//将树清空

删除类：DestroyTree(&T)//销毁树的结构DeleteChild(&T,&p,i)//删除结点p的第i棵子树树的基本术语结点:结点的度:树的度:叶子结点:分支结点:数据元素+若干指向子树的分支分支的个数树中所有结点的度的最大值度为零的结点度大于零的结点DHIJM(从根到结点的)路径：孩子结点、双亲结点、兄弟结点、堂兄弟祖先结点、子孙结点结点的层次:树的深度：由从根到该结点所经分支和结点构成ABCDEFGHIJMKL假设根结点的层次为1,第k层的结点的子树根结点的层次为k+1树中叶子结点所在的最大层次任何一棵非空树是一个二元组

Tree=（root，F）其中：root被称为根结点，

F被称为子树森林森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合ArootBEFKLCGDHIJMF6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码6.2

二叉树的类型定义二叉树的五种基本形态二叉树的定义

二叉树的主要基本操作

二叉树的重要特性1.或为空树；2.或是由一个根结点构成;3.或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树

和右子树的、互不相交的二叉树组成;ABCDEFGHK根结点左子树右子树二叉树的五种基本形态：N空树只含根结点NNNLRR右子树为空树L左子树为空树左右子树均不为空树

二叉树的主要基本操作：查找类插入类删除类

Root(T);Value(T,e);Parent(T,e);LeftChild(T,e);RightChild(T,e);LeftSibling(T,e);RightSibling(T,e);BiTreeEmpty(T);BiTreeDepth(T);

PreOrderTraverse(T,Visit());

InOrderTraverse(T,Visit());

PostOrderTraverse(T,Visit());

LevelOrderTraverse(T,Visit());查找类

InitBiTree(&T);Assign(T,&e,value);CreateBiTree(&T,definition);InsertChild(T,&p,LR,c);插入类ClearBiTree(&T);DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T,&p,LR);删除类二叉树

的重要特性

性质1：在二叉树的第i

层上至多有2i-1个结点。(i≥1)归纳基础：i=1

层时，只有一个根结点，

2i-1=20=1；对所有的k，1≤ki，命题成立;即：在第k层上至多有2k-1个结点。二叉树上每个结点至多有两棵子树，则：第k+1层的结点数=2k-12=2k

只要证明：k+1时命题成立;

即：在第k+1层上至多有2k个结点。用归纳法证明：

归纳假设：

证明：性质2：

深度为k的二叉树上至多含2k-1个结点（k≥1）证明：基于上一条性质，深度为k的二叉树上的结点数至多为

20+21+

+2k-1=2k-1

性质3：

对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为

2

的结点，则必存在关系式：n0=n2+1证明：设二叉树上结点总数n=n0+n1+n2又二叉树上分支总数b=n1+2n2而b=n-1

由此，n0=n2+1=n0+n1+n2-1两类特殊的二叉树：满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。完全二叉树：树中所含的n个结点和满二叉树中编号为1至n的结点一一对应。123456789101112131415abcdefghij例：在含有968个结点的完全二叉树中，叶子结点的个数为多少？n0=n2+1；（性质3）解：在含有968个结点的完全二叉树中，度为1的结点个数为1。 即：n1=1;n0=4842n2+1=966完全二叉树中度为1的结点个数为1或0；如果完全二叉树结点个数为奇数，则度为1的结点个数为0.n0＋n1＋n2＝9682n2＋n1

＋1＝9682n2＋n1

＝967n2=483k-1层一定是满二叉树，即n=前k-1层结点+第k层结点≥2k-1

性质4：

具有n个结点的完全二叉树的深度为

log2n+1证明：设完全二叉树的深度为k则根据第二条性质得：n≤2k-1即

k-1≤log2n<k

或log2n<k≤log2n＋1因为k只能是整数，因此，k=log2n

+1因此，2k-1≤n<2k<2k

6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码6.3二叉树的存储结构二、二叉树的链式存储表示一、二叉树的顺序存储表示一、二叉树的顺序存储表示ABCDEFGHIJKLMNPABCDEFGHIJKLMNP123456789101112131415满二叉树12483715性质5：若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1

至n

的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i

的结点：(1)

若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲,

否则，编号为

i/2

的结点为其双亲结点;(2)若2i>n，则该结点无左孩子，

否则，编号为

2i的结点为其左孩子结点；(3)若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，

否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。ABCDEFGHIJKL完全二叉树ABCDEFGHIJKL123456789101112131415

ABCDEF

012345678910111213ABDCEF1401326一般二叉树ABCDEF

123456D#defineMAX_TREE_SIZE100//二叉树的最大结点数typedefTElemTypeSqBiTree[MAX_TREE_SIZE];//0号单元存储根结点二叉树顺序存储的C语言表示二、二叉树的链式存储表示1.二叉链表2．三叉链表3．双亲链表4．线索链表ADEBCFrootlchilddatarchild结点结构:1.二叉链表指针域=2n分支=n-1空域＝2n-(n-1)=n+1typedefstruct

BiTNode

{//结点结构

TElemTypedata;

structBiTNode*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BiTNode,*BiTree;lchilddatarchild结点结构:二叉链表的C语言的类型描述如下:二、二叉树的链式存储表示1.二叉链表2．三叉链表3．双亲链表4．线索链表2．三叉链表parent

lchilddatarchild结点结构:ADEBCFroot二、二叉树的链式存储表示1.二叉链表2．三叉链表3．双亲链表4．线索链表0123456dataparent结点结构:3．双亲链表LRTagLRRRLABCDEF二、二叉树的链式存储表示1.二叉链表2．三叉链表3．双亲链表4．线索链表6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码一、问题的提出二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述四、先序遍历的非递归算法五、遍历算法的应用举例6.4二叉树的遍历顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。一、问题的提出二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，因此，存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题。对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径：1．先上后下的按层次遍历；2．先左（子树）后右（子树）的遍历；3．先右（子树）后左（子树）的遍历。一、问题的提出二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述四、先序遍历的非递归算法五、遍历算法的应用举例6.4二叉树的遍历二、先左后右的遍历算法先（根）序的遍历算法中（根）序的遍历算法后（根）序的遍历算法先（根）序的遍历算法根左子树右子树根左子树右子树

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。中（根）序的遍历算法根左子树右子树根左子树右子树

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。后（根）序的遍历算法根左子树右子树根左子树右子树

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。ABCDEFGHK例如：先序序列：中序序列：后序序列：A

BCD

EFGHKBDC

A

EHGKFDCBHKGFE

A一、问题的提出二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述四、先序遍历的非递归算法五、遍历算法的应用举例6.4二叉树的遍历三、算法的递归描述先序遍历算法1.若二叉树为空树，则空操作(结束)；2.否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。根左子树右子树根左子树右子树先序递归算法描述void

Preorder(BiTreeT,

void(*visit)(TElemType&e)){//

先序遍历二叉树

if(T){visit(T->data);//访问结点

Preorder(T->lchild,visit);//遍历左子树

Preorder(T->rchild,visit);//遍历右子树

}}中序遍历算法1.若二叉树为空树，则空操作（结束）；2.否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。中序递归算法描述void

Inorder(BiTreeT,

void(*visit)(TElemType&e)){//

中序遍历二叉树

if(T){

Inorder(T->lchild,visit);//遍历左子树

visit(T->data);//访问结点

Inorder(T->rchild,visit);//遍历右子树

}}61一、问题的提出二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述四、先序遍历的非递归算法五、遍历算法的应用举例6.4二叉树的遍历62四、先序遍历的非递归算法ABCDE访问ABCDE当前结点指针栈ApPBpCpDpEp63先序遍历非递归算法思想算法关键:当前指针和栈

1.得到新的当前指针,则访问结点,

然后,先进栈,再访问左孩子;

2.使用栈存放待访问结点的指针,以备在访问该结点的左子树之后,弹出结点指针,再访问该结点的右子树.

3.初始条件:指针指向树根结点,栈为空;

4.结束条件:当前指针空,且栈空;

5.循环:指针不空则访问结点,

指针空则退栈;64StatusPreOrderTraverse(BiTreeT,Visit())

{InitStack(S);

//使用栈

S

存放已访问的根结点

p=T;//令

p

指向二叉树根结点

while(p||!StackEmpty(S)){

//当

p

不为空，或栈

S

不为空时

if(p){

//如果

p

非空

Visit(p);

//访问p

指针指向的结点

Push(S,p);

//将p

指针入栈

p=p->lchild;

//指向左子树根结点，遍历左子树

}//if结束

else{

//如果p为空

Pop(S,p);

//退栈，将上一层的根结点指针弹出

p=p->rchild;

//指针指向右子树根结点，遍历右子树

}//else结束

}//while结束

returnOK;}//PreOrderTraverse先序遍历非递归算法65四、中序遍历的非递归算法ABCDE访问CBDAE当前结点指针栈ApPBpCpDpEp66StatusPreOrderTraverse(BiTreeT,Visit())

{InitStack(S);

//使用栈

S

存放已访问的根结点

p=T;//令

p

指向二叉树根结点

while(p||!StackEmpty(S)){

//当

p

不为空，或栈

S

不为空时

if(p){

//如果

p

非空

Visit(p);

//访问p

指针指向的结点

Push(S,p);