浅谈逆向思维在初中数学证明中的应用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选浅谈逆向思维在初中数学证明中的应用摘要：综合法与分析法是中学数学证明的两种重要方法，综合法是“由因求果”，分析法是“执果索因”，它们的思维方向都是线性方向，前者是顺向思维，后者是逆向思维。逆向思维是逻辑推理的一种重要思维方式，而逻辑推理是数学学科核心素养的重要组成部分。在处理数学问题尤其是数学证明题的时候，采用逆向思维进行推理分析，能够准确高效地捕捉到解题思路，有利于学生思维能力的提升。关键词：逆向思维，数学证明，逻辑推理，核心素养。引言：数学证明是中学数学教学的重点，更是难点，有的学生对于数学证明一头雾水，不能够准确高效地捕捉到证明思路。如何在数学教学中切实提高学生分析和解决数学证明问题的能力，笔者认为运用数学的逻辑思维方式去解决问题非常重要，其中逆向思维是数学证明的一种重要思维方法。在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。[1]数学学科核心素养中包括逻辑推理，逆向思维是逻辑推理的一种重要思维方法。 正文：

综合法与分析法是中学数学证明的两种重要方法，综合法是“由因求果”，分析法是“执果索因”，不管是综合法还是分析法，它们的思维方向都是线性方向，前者是顺向思维，后者是逆向思维。逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析和解决问题时，顺向思维是根据已知条件证明出结论，即“由因求果”；而逆向思维是根据结论去分析所需要的条件，进而形成解题思路，即“执果索因”。“由因求果”容易使学生产生发散思维，由一个条件写出很多无用的结论，证明效率较低。“执果索因”则目标明确，要证什么只需证什么，需证什么则要证什么，环环相扣、层层递进，最终回归到已知条件、基本事实、公理定理等，逻辑清晰，证明效率较高。 笔者以几道数学证明题目为例，具体阐述逆向思维在初中数学证明问题中的应用。 例1、如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于点F。（1）证明：PC=PE;

（2）求∠CPE的度数.12022年安徽省中小学教育教学论文评选本题第（1）问，已知PA=PE，要证PC=PE，只需证PC=PA即可，结合图形，要证PC=PA，可通过证明△PBA≌△PBC得出。因为四边形ABCD为正方形，所以AB=CB，BD平分∠ABC，所以∠PBA=∠PBC，又PB=PB，所以△PBA≌△PBC（SAS），所以PC=PA，因为PA=PE，所以PC=PE，得证。本题第（2）问，逆向思考，从结果分析，观察图形可初步得出∠CPE是直角的猜想，为了证明∠CPE是直角，我们采用逆向思维来分析，即要证∠CPE是直角，只需要证∠PCF与∠CFP互余即可，从图形可知∠CFP与∠EFD是对顶角，所以∠CFP=∠EFD，而∠EFD与∠E互余，故要证∠PCF与∠CFP互余，只要证∠PCF=∠E即可。因为PA=PE，所以∠E=∠PAE，所以要证∠PCF=∠E，即证∠PCF=∠PAE。因为∠PCF与∠PCB互余，∠PAE与∠PAB互余，所以要证∠PCF=∠PAE，即证∠PCB=∠PAB。由本题第（1）问△PBA≌△PBC可得出∠PCB=∠PAB，进而完成本题第（2）问的证明。几何证明需要学生有严密的逻辑思维，环环相扣的的问题设计可以帮助学生形成这种思维方式，而在问题设计时运用“执果索因”的逆向思维引导学生往往能达到事半功倍的效果。要证什么则需证什么，需证什么则要证什么，能够高效准确地捕捉到证明的思路与方法，尤其是对于条件较为复杂的证明问题，能够大大提高解题效率。我们再来看一道相对复杂一点的几何证明题：例2、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．如图，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90o，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F。（1）证明：BE=CF;（2）求证：BE2=BCCE.22022年安徽省中小学教育教学论文评选本题第（1）问，要证BE=CF，需证△ABE≌△BCF，由于全等三角形的证明条件中至少要有一组边对应相等，所以我们先从边相等入手来寻找条件，因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC，∠ABE=∠BCF，因为BE=CF是要证明的结论，所以不能当条件使用，那么“SAS”判定方法行不通，所以只能进一步寻找角相等来进行证明，下一步要么说明∠BAE=∠CBF要么说明∠BEA=∠CFB。由已知条件∠AGB=90o可知∠BAE与∠ABF互余，而∠CBF也与∠ABF互余，根据同角的余角相等易得出∠BAE=∠CBF，进而根据“ASA”判定△ABE≌△BCF，从而得出BE=CF，完成本题第（1）问的证明。同理也可以说明∠BEA=∠CFB，根据“AAS”来判定△ABE≌△BCF，进而得出BE=CF，完成本题第（1）问的证明。本题第（1）问采用逆向思维的方法，只要分析问题的思路方向正确，那么找出条件来完成本题第（1）问的证明并不难。本题第（2）问，要证明等积式BE2=BCCE，从结论来看，出现BCCE，CE在△CEG中，BC对应的在△CGB中，由此可联想到证明△CEG∽△CGB，若△CEG∽△CGB，则可得CE CG=，即可得CG2=BCCE，出现BCCE，与要证的结论紧密CGBC相关，要证BE2=BCCE，只需证CG=BE即可。由第（1）问可知BE=CF,所以要证CG=BE，即证CG=CF，只需证∠CFG=∠FGC，因为CD∥AB，所以∠CFG=∠MBG，因为∠FGC与∠MGB互为对顶角，所以∠FGC=∠MGB。故要证∠CFG=∠FGC，则证∠MBG=∠MGB，只需证MB=MG即可。已知M是AB中点，△AGB是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得出MB=MG。这样我们就能证明出CG=BE，再去分析△CEG∽△CGB。△CEG和△CGB中∠ECG与∠GCB是公共角，则它们相等，要证△CEG∽△CGB，在已知一组角对应相等的情况下，要么通过两边对应成比例且夹角相等来判定相似，要么再找一组角对应相等来判定相似。本题中CE CG=是需要得出的结论，不能当作条件使用，故只能再找一组角对应CGBC相等来判定△CEG∽△CGB。要么是∠CGE=∠CBG，要么是∠CEG=∠CGB。在已经分32022年安徽省中小学教育教学论文评选析得出∠CFG=∠FGC的前提下，说明∠CGE=∠CBG或者∠CEG=∠CGB都比较容易。因为∠CFG=∠FGC，且∠CGE+∠FGC=90o，∠CBG+∠CFG=90o，根据等角的余角相等即可得出∠CGE=∠CBG。或者是因为∠CFG=∠FGC，且由△ABE≌△BCF可得∠CFG=∠AEB，所以∠FGC=∠AEB，因为∠CEG+∠AEB=180o，∠CBG+∠FGC=180o，根据等角的补角相等即可得出∠CEG=∠CGB。综上分析，最终可完成本题第（2）问的证明。本题第（2）问的核心要点是证明△CEG∽△CGB，而证明△CEG∽△CGB的思路启发就是依据要证结论构建BCCE，CE放在△CEG中，BC对应的放在△CGB中，根据BCCE逆向思维猜想得出△CEG∽△CGB，从而CE CG=，进而可得CGBCCG2=BCCE，再去证明CG=BE即可。如果不采用逆向思维进行推理分析，由于本题结论中的线段关系较为间接、转换较为灵活，所以不容易捕捉到正确而又清晰的证明思路，如果采用逆向思维进行推理分析，就能够较为简单高效地解决问题。这两道例题都运用到逆向思维的分析方法，第一道例题比较简单清晰，第二道例题相对复杂繁琐一些，不管是简单还是复杂的几何证明题型，通过逆向思维进行分析和推理，都能够相对高效准确地解决问题。逆向思维的证明方法在需要添加辅助线的题型中也有应用，我们来看一道跟添加辅助线有关的几何证明题目：例3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC,P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135o。（1）求证：△PAB∽△PBC;42022年安徽省中小学教育教学论文评选（2）求证：PA=2PC.针对第（1）问，采用逆向思维分析，要证△PAB∽△PBC，已知∠APB=∠BPC=135o，一组角对应相等，要判定两个三角形相似，只需再找一组角对应相等即可，那么我们可以假定∠PAB=∠PBC，或者假定∠PBA=∠PCB，即可完成证明。如果我们假定∠PAB=∠PBC，由于△ABC是等腰直角三角形，所以∠PBC+∠PBA=∠ABC=45o，而在△PAB中，∠APB=135o，根据三角形内角和定理，可得∠PAB+∠PBA=45o，从而可得∠PAB=∠PBC，进而根据两组角对应相等可以证出△PAB∽△PBC。同理可采用∠PBA=∠PCB完成证明。第（2）问可在第（1）问的基础上，运用相似三角形对应边成比例来完成证明。如果我们直接从第（2）问要证的结论出发，采用逆向思维，添加辅助线，也可以较好地完成证明。在这里笔者提供两种证明方法，由于要证PA=2PC，可以在PA上截取PD=PC，此时只要证出DA=PC即可；或者我们可以在PA上截取EA=PC，然后去证PE=PC即可。我们先来看第一种证法： 如图，在PA上截取PD=PC，连接CD，要证PA=2PC，只需证DA=PC。要证DA=PC，可证△CDA≌△BPC，从边入手易得BC=CA，其他边是否对应相等未知，故只能寻求角对应相等来完成证明。根据△CPD是等腰直角三角形，可得∠CDA=135o=∠BPC，因为∠CAD+∠ACD=180o-∠CDA=45o,且∠BCP+∠ACD=∠ACB-∠PCD=45o,所以∠CAD=∠BCP。或者根据∠CAD、∠BCP都与∠ACP互余，也可得出∠CAD=∠BCP，最后根据“AAS”即可判定△CDA≌△BPC，得出DA=PC，进而证明出PA=2PC。 我们再来看第二种证法;52022年安徽省中小学教育教学论文评选在PA上截取EA=PC，要证PA=2PC，只需证PE=PC。要证PE=PC，只需证△CPE是等腰直角三角形，要证△CPE是等腰直角三角形，只需证∠CEA=135o，要证∠CEA=135o，只需证∠CEA=∠BPC，要证∠CEA=∠BPC，需证△CEA≌△BPC。根据EA=PC、CA=BC可知两组边对应相等，第三组边CE与BP是否相等未知，故只能找∠CAE=∠BCP。因为∠ACB=90o,∠APC=90o，所以∠CAE+∠ACP=90o，∠BCP+∠ACP=90o,所以∠CAE=∠BCP。从而根据“SAS”判定△CEA≌△BPC，得出∠CEA=∠BPC=135o，进而说明△CPE是等腰直角三角形，得出PE=PC，最终得出PA=2PC，完成本题的证明。逆向思维除了在几何证明方面的运用，在代数恒等式的证明问题中也可以运用。我们来看一道代数恒等式的证明题目：例4、已知分式a=ca+b=c+dbd，求证：a-bc-d。本题要证的等式相对于已知条件较为复杂，可以采用逆向思维进行推理分析：要证a+b=c+d，+d，a-bc-dc)bd，即证(a+bc-d)=(a-b))(即证ac+bc-ad-bd=ac-bc+ad-即证2bc=2ad，即证bc=ad，a=c。即bd62022年安徽省中小学教育教学论文评选通过逆向思维推理分析，最终回归到已知条件，从而完成本题的证明。由这道题目可以看出，在代数恒等式的相关证明中，从复杂形式到简单形式，采用逆向思维的分析方法，能够高效准确地完成证