高考数学总复习配套教案4.1平面向量的概念与线性运算

22第四章

平面向量与复数

第课时

平面向量的概念与线性运对应学生用书文)、理)～62)考情分析①了向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含.②掌向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定③了向量的线性运算性质及其几何意义．

考点新知掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.→必修4P练第题编如图在平行四边形ABCD为边中点A＝63→→，ADb，则BE．答案：－a→→→11解析：＝BA＋AD＋DC＝－a＋＋＝－2→→→→→(必修例改在ABC中AB，AC.点D满BD＝2DC，则AD65．用、c表)1答案：＋c3→→→→→→→→→→解析因B＝2DC所以ADAB2(AC－3ADAB＋2AC＝＋AD1＝b＋3→→(必修4P练第6题编设四边形ABCD中有DC＝ABAD|＝632四边形是_．

|→BC

，则这个答案：腰梯形→1→→→→→→→解析＝AB∥DCAB|＝ABCD为形|＝|BC|∴四边形ABCD的状为等腰梯形．

→→→必修4P练第题编设ab是个不共线向量AB＝2a＋bBC＝＋bCD＝a若AB、三共线，则实数＝________．答案：1→→→→→解析BD＝＋＝2abAD三共线存在实数A＝BD.即∴

＝－向的有关概念→向：既大又方向量叫做向量，向AB大小叫做向量的长度(或模)，记→作AB|.零量长为的量叫做零向量，其方向任意．单向量：长度等于个位长度的向量叫做单位向．平向量：方向相同或相反的非零量叫做平行向量．平行向量又称为共线向，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与一向量平行．相向量：长度相等方相同向量叫做相等向量．相向量：与向量长度相且方向相反的向量叫做a的反量．规定零向量的相反向量仍是零向量．向加法与减法运算向的加法①定：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．②法：三角形法则；平行四边形法则．③运律ab＝＋a；(a)＋＝＋b＋．向的减法①定：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．②法：三角形法则．向的数乘运算及其几何意义实与量a的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：①λ＝λ||；②当λ>0时λa的向相同；当λ<0时λa与的向相反；当λ＝，＝0.运律：设μ∈，则：①λμa＝λμ)；②λ＋)＝a＋；③(＋)＝a＋b向共线定理向量b与a(≠0共线的充要条件是有且只有一个实数，得＝．[备课札记]

例1给下列六个命题：①两向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a＝，a＝b；→→③若B＝DC则AB、CD四构成平行四边形；④在

→→ABCD中一定AB＝；⑤若m，＝，m＝；⑥若∥b，bc则a∥其中错误的命题有．填序号答案：②③⑥解析两量起点相同，终点相，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，①正确；＝b，于a与b方不确定，所以、不一定相等，②→→正确；AB＝，可能有AB、CD在一条直线上的情况，所③正确；零向量与任一向量平行，故ab，∥时，若b0，则a与不定平行，⑥正确．备变（师享设a为位向量，①若为面内的某个向量，则a＝a|·a；若与a平，则a00＝aa；若a与平且a＝1，则＝a上述命题中，假命题个数________00答案：3解析：量是既有大小又有方向的量与aa模同，但方向一定相同，①是假0命题若a平则a方有两种情况是向是反向反时＝－a，00故、也是假命题，填3.→→→1→→→例2平四边形的角线交点为CBM＝BCCNCDOA＝aOBb，3→→→用abOMON、MN.→→1→11→→→5→→→解BA＝a－b＝BA－＝OB＝＋.OD＝a＋bONOC66→1→→→→CN＝ODODODa.MN＝－＝－b336→→在△中、F别为AC、的中点BE与CF相于G，A＝，＝

→→→→→→λ→→λ→→→→→→λ→→λλ→→→λ→b试用abA解AG＝AB＋BG＝AB＋＝＋＋＝－＋(AC－AB)＝－λ→λ＋AC＝(1－)＋.→→→→→→m→→又AG＝ACAC＋mCFAC＋(CACB)→→m＝－m)AC＋＝a(1－m)，2∴

，解λ＝，＝，→1∴＝a.3例3设个非零向量a与不共线→→→若AB＝ab，BC＝2a，CD(－．求证AB、D三共线；试定实数k使a＋＋k共线．→→→证明：∵AB＝ab，＝2＋8b，＝－)，→→→→∴BD＝＋CD＝2＋8b(－)＝5(＋)＝5AB.→→∴AB，共线．又它们有公共点，∴A、、三共线．解∵k＋与＋k共，∴存实数λ，使ka＝(＋k)，即(－)a＝λk－b.又、是不共线的非零向量，∴k－＝－1∴k－＝∴k＝备变（师享→→已知、是共线的向量AB＝＋，AC＋b(、∈)，当A、B、三点共线时、满的条件为________．答案：μ＝→→→→解析：由A＝abAC＝＋bμ∈R及AB点共线A＝tAC，所以λa

＝.＝.＋＝t(＋)＝＋μ，即可所＝1.例4

→→→如图所示，设O是△ABC部一点，OA＋＝－，eq\o\ac(△,则)AOB与△AOC的面积之比________．答案：解析：图所示，设M是的中点，则→→→OAOC→→→又O＋OC－2OB，→→∴OM＝－OB，即是BM的点，∴＝S＝，AOC即

1AOB备变（师享如图，△ABC中在AC上一点N，AN＝AC；在AB上一点M使得AM＝1→AB在BN的长线上取点P，使得NPBN；在CM的长线上取点，得MQ＝2→→→时，AP＝，确定λ的．→→→1→→解：∵＝－NA(BNCN)

2→→→2112→→→2116→→→＝＋CN)＝BC，→→→1→→QAMA－MQBM＋MC，→→1→→又∵＝QA∴＋MC＝BC→→即λ＝，∴λ＝.→→→→如四边形中BD相于点O设AD＝b若＝，→则AO＝．用量和b表)1答案：a＋3→→→→→解析：为A＝ADDC＋＝＋，2又AB＝2DC，所以＝AC＝＋b＝a3→→四川)如图，在平行四边形ABCD中对角线ACBD交点OAB＋AD＝→AO则λ＝________答案：2→→→→解析：ABAD＝＝，则λ＝2.江苏)设DE分是ABC边、上点ADAB，BE＝DC若3→→→DE＝AB＋AC(、为数，则λ＋λ＝________1222答案：→→→→2→→2→→→解析：＝DBBE＝＋BC＝AB＋(AC－＝－＋ACλAB＋AC，1故＝－，λ＝，λ＝.11

PAB2362PAB2362→→→→已点P在△ABC所在的平面内，若2PA3PB＝，eq\o\ac(△,则)与PBC的面积的比值为__________．答案：→→→→→→→→→→→解析：2PA＋＋＝3AB得4PC＝3AB3BP∴＋4PC＝3AP→→即＝→→∴＝，＝＝→S→PBC→→→在行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点AB＋AD＝AO则．答案：2→→解析因四边形ABCD平行四边形，对角线AC与BD交点O，所AB＋AD→→→→→→→→→AC，O为AC的点，所AC＝2AO所AB＋＝，因为A＋AD＝AO所以＝2.→→→已平面内O，A，B，四点，其中A，B，三点共线，O＝xOA＋yOB，则x＋y＝________答案：1→→→→→→→解析：∵A，C三点共线，∴ACAB，即－OA＝OB，∴OC(1－→→λ)OAOB，即x＝1－，y＝∴＋y＝1.→→设D，分别是ABC的，BC上点AD＝AB，＝BC，若DE＝λ1→＋AC(，λ为数)，λ＋＝．2212答案：→→→2→1解析：知＝＋＝＋－AB)－＋AC，所以λ＝.12已点G是ABO的重心MAB边中点．→→→求GAGBGO；

→→→113→→→113→→→→1若过ABO的心G且OA＝，＝b＝m＝nb，证：＋＝→→→→→→→→→→解：因为GA＋GB，又2GM＝－，所以G＋＋GO＝－＋＝→1→2→1证明因M(ab且Geq\o\ac(△,是)ABO的重心所OG＝OM＝(＋)由P、3→→→→→→→1GQ点共线，PG∥GQ，所以有只有一个实数λ，PG＝又G－OP＝＋)－＝－＋＝－OGb＋)－a＋n－所以－＋3bλ－an－.1－＝λ，3又、不线，所以消λ，整理得3mn＝－，＋，故＋＝3.解与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的