高考数学-等差数列和典型例题

NNNN高数-等差数的n项和例解【1】等数列前项和中数奇数的各项的和为，求其第．解依意，得＋

2

d＋＋＋a＋a5a＋=1253解得a=113，－．∴其项公式为a＋－1)·(－－22n＋∴－22＋＝【2在两个等差数列2，8，…，197与27，，…，197中求它们相同项的和．解由知，第一个数列的通项为a＝3n1第二个数列的通项为=5N－3若a＝，有3n＝5N－即＝N＋

2(N若满足正整数，必须有N3k＋为负整)又≤5N≤，即≤≤，所以N＝，47…，n=1，，，…，∴两列相同项的和为＋1732＋…＋【3选题：实数a，，，73b…，c组等差数列，且＋b5a＋＋＋…＋＝，，bc的分别为[]A13，B．1，3C．1，3，99D1，3b=a＋5ab又∵＝＋3b∴a，b＝∴首项为1公差为2又S=nan

n(n2

d∴=n

n(n2

·2∴n＝

92mm+nn92mm+nn∴＋－·2=99∴a＝1，＝3＝【4】在间插入2n个，组成首项为1、末项为等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为∶，求插入的数的个数．解依意2＝＋(2n＋2－1)d①前半分的S

n+1

＝＋＋

(n1)n2

d

②后半分的S′＝＋1)·n+1

(n2

·(－

③由已，有

SnS′n

nd(n)2nd(n1)(2)2

913nd1化简得nd225解之得=11由①，有(＋1)d=1

④

⑤由④，⑤，解得d=

，∴共入10个数．【5】在差数列{}，前m项为S，前n项和为，且＝，m，求S．1解∵＝＋n)a＋(m＋＋n1＝(m＋＋＋－1且S＝S，≠11∴＋－1)d＝＋n(n－1)d122d整理m－＋(m－n)(m＋－12

m+n65n5m+n65n55nn912159121即(－n)[a＋－1)d]=11mn，知a＋(m＋－012∴＝【】已等差数列{}S=21，，数列｛｝的前n项T．解设差为d，由公式＝＋21＋=解方程组得d－2，＝∴＝9－－2)－2n

n(n

由a＝－＋110得n＜

5.5，故数列{}前项正，其余各项为负．数列{}前项为：＝＋

n(n

－－

＋10n∴当≤5时，＝－＋10n当＞6时T＝＋|S－S＝－－S＝2S－∴＝－＋50)(＋＝－＋50－n2＋即－10n＋50

≤＞

∈*说根数{}项符号运分类讨论思想可的前和．【7在等差数{}，知＋＋＋＝34求前20之和．解一由＋a＋aa＝得＋38d又20a1

20192

d

1512012076151201207677n＝＋＝＋×解法

20

=

(a+)×12

=＋)1由等差数列的性质可得：a＋=a＋＝＋a∴＋＝【8】已等差数{}公是正数，且·－，＋=－，求它的前20项和S的值．解一设差数列{}公为，则d0，由已知可得＋＋＝－a＋＋＋5d=－4

①②由②，有a＝－－4d代入①，有d再由＞0，得＝2∴=最后由等差数列的前项公式，可求得＝解二由差数列的性质可得：a＋＝a＋a即a＋a＝－又a·a－12，由韦达定理可知：a，是方程x＋－12二根解方程可得x=6，x＝2∵＞∴}递数列∴＝－，=

3

2，＝－10，＝18020【9

等差数{}{b}前n项和分别为和T，

19911001199nnn419911001199nnn417nSan，则100等于T3nbn[]A．1

．

23C．

199299

D．

200301解法∵

)n(b)，T22∴

aTb

∴

a2nb3nn∵2a＝＋a＝＋∴

×==选C．3+100解二利数{}等差数列的充要条件：S＝＋∵

2nn可设S＝2nkT＝n(3n＋a2nk2k∴bTn(3nn∴

a2×199b×299【】

解答下列各题：(1)已知：等差数列{}＝，a＝，求a；(2)在与中插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为，求这几个数；(3)已知：等差数列{}，＋a＋＋＝50求；(4)已知：等差数列{}，－3n求S的大值．

6n+2615n6n+2615nnn-12分与答(1)a=＋(6－2)dd＝2

－5a=a＋(9－6)d=－＋3×－－(2)a，=89S＝1350∵S

(a)(n+2)1n+22∴n＋2=

2×135019+89

=a

＋24d=251

3512故这几个数为首项是

1，末项是6，公差为的23个数．(3)∵＋a＋a=50又因它们的下标有＋176∴＋a=a＋S

20

=

(a+)×2012

×(a)4(4)∵－∴＝30=

(a+a)·n322321×2(n)22∵n∈，∴当n=11时取大值．【】

求证：前n项为4n＋3n的列是等差数列．证设个数列的第项，n项和为S．当≥2时a＝－S∴＝3n)－[4(n－1)＋3(n－=8n－1当时＋3=7

n+1nn-1n-1n+1nn-1n-1由以上两种情况可知，对所有的自然数，都有=8n－1又a－a＝[8(n＋－－(8n－＝8∴这个数列是首项为，公差为等差数列．【】证数{}前项和S＝＋常数是这个数列成为等差数列的充分必要条件．由S＝an＋bn得当≥2时a＝－S＝an＋－a(n－1)－b(n1)＋－aa＝＝＋∴对于任何∈，＝2na－且a－a=2na＋a)－2(n－－ba＝常)∴}等差数列．若{}等数列，则S＝＋

n(n

(1·n=·＋n(a－=若令

d)2da则a－，2=an＋综上所述，＋是{}等数列的充要条件．【】等数列{}前n项S＝，前m和＝＞n)求前

m+nxm+n偶项奇项m+nxm+n偶项奇项17＋和．解一设{}公差d按题意，则有S＝＋＝m12S＝ma＋＝2

①②①－②，得(－n)·＋1

(mn)(m2

·=n－即＋1

m2

d=－1∴S

m

(m1

n)(m2

·d(mn)(a1

m2

·d)=－＋n)解二设＝Ax＋Bx(xN)Bm＋Bn＝m

①②①－②，得A(m－＋B(m－＝n－∵≠

∴A(mn)＋－故A(m＋B(m＋＝－(m＋即S＝(m＋【14在数为2n的差数列中，各奇数项之和75各偶数项之和为90末项与首项之差为，之是多少？解∵－∴－又由a－a＝，即－1)d=27＝(2n1)d＝

∴n=【】

在等差数列{}，已知a＝25S＝S，问数列前多少项和

1717最大，并求出最大值．解一建关的数，运用函数思想，求最大值．：S=17a＋1

×16d，S＝＋d212∵，＝S解得d－∴S＝＋

n(n

－=－

＋26n=(n－13)

＋∴当n