高考数学-圆锥曲线最值问题及练习

P高考数学P圆锥曲线最值问题练习中学数学最值问题遍及代解几何各科之系密值问题有两个特点：①覆盖多知识点（如二次曲线标准程，各元素间关系，对称性，边形面积，解二元二次方程组，基本不等等）②求解过程牵涉到的学思想方法也相当多（诸如配法，判别式法，参数法，不等式，函数的质等）计算量大，能力要高。1回到定义x2y例、已知椭圆A4022）是椭圆内的两9点P是圆上任一点PA|的最小值；

P"

C

yP'QBOAx2）A|+|PB|的小值和大值。|略解A为圆的右焦点。右准线于，由椭圆的第二定义

，∴

54

PA||PB|

问题转化为在椭圆上找一和准线的距离之和最17小，很明显，是B向准线作垂线与椭圆的交点，最小值。42）由椭圆的第一定义，圆左焦点，A|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB||PC|)根据三角形中，两边之差小于三边成条线时，便可取得最大和最小值。即-|BC||PB||BC|.当P到位置时-|PC|=|BC|A|+|PB|有大值，最大值为10+|BC|=10

；当到位置时|PB|A|+|PB|有小值，最小值为。回到定义的最值解法同样在双线、抛物线中有类圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光经过椭圆面反射后经过另焦点，而光线所经过的路程总最短的。2利用闭区间上二次函数最值求法例、在抛物y4

上求一点，使它到直的离最短。1

t2222t2222解：设抛物线上的t2)

，点Ｐ到直4x-y-5=0距d

t

t)当

t

12

时min

1，故所求点2

。例已知一曲2

2点A的标,0)3

求曲线上距最近的P的标及相应的距离A|点A的标R求曲线上点到距离最小并写=f的函数表达式。解设）是曲线上任意一点，

2(0)211MAx)2x)xx)333

∵0MAmin

∴所求点坐标是的离

2）设x,y）是曲线上任意一点，同理x)yx)aa综上所述，3运用函数的性质

x当)(当)例、在中

，

，

C

的对边分别且=10,cosbcosa

为内圆上动点，顶A的距离的平方和最大值与最小。cossin解：由AAsinABcossin∵

∴3

b∴ABC为eq\o\ac(△,Rt)由，且知a设内圆半径如建立直坐标系，的内切M的程为：(x2)

2

2)

2

设圆M动x,y(

0x

)，P点到C的离的2

112001124，x平方和为x22y2y112001124，x2y

3[(x2y]x

88-4x∵点在内切M上x，

max

min

8872例、直y=kx+1双曲22=1的支B两，直过P-2）和线AB的中点，L在y轴上截b的值范围。略解：Axx,yy=kx+1代入2得2由题意且xx>0,解之

k2

且M

k1(112

)

又由P0b共线，1得

b2

1k1

1

，b

22下面可利用函+k+2在

1,

上是减函数，可2或b

。x例知是圆

y

在第一象限内的点为原点边OAPB的面积的最大值。略解：θ<直AB的离d

sin()||225

25∴所求面积的最大值为4判别式法例、定长的段A的两个端点在抛物轴的最短距离，并求此时标。

x

上移动，记线的点M求M到y解：设点Ａ、Ｂ的坐标分,)，(x,)2

，那11

222

①由题意，得32)yy21

2

②，A的M）到y轴距离

③，将①③代入②整理yy1

2

1

2

x

2

x0④∵y

为实数，3

21112221112122122111222111212212故△44(3

2x2

x)0

又∵x>0得

x

5⑤，x时eq\o\ac(△,，)＝０由④得4

11⑥y)2yyx242

y12

⑦，由⑥，⑦可y，，由①即得相应，。11故的M距y轴短距离

54

52，且相应的中点坐标,)或()4

。法二：y1

2

1

y

2

2

x

2

yy1

2

2

x1

2

∴

122y1∴

3

2y2](y2y)(y)12∵

2xyy12

①

2y

②由①－x

2③＋③xyy)211

④④代入①得

954xy9x1y2当且仅当

y

2

y

2

y

12

22

时等式成立。∴

min

5M()4说明：此法即为下面的基本不式法。5利用基本不等式x例、已知椭圆

y

FF为两焦点椭上一点。求：1）的最大值2+|PF2

的最小值。略解：1|=m,|PF则m+n=2a=42≤=4.|PF22|+|PF2≥2-2×4=8参考练习：4

1121121过椭：

x2yb2

）上的动向Ox=b2

引两条切，切点分别为AB直A与轴轴分别交N两。求的积的最小

）2设椭圆的中心在原轴心率

32

已03/2到个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上于7的的坐标。（

24

1，所求点3,)2

）x3P为圆

y

上的一个动点，它与长轴端点重2点和F分别双曲线x

y

的左右焦点，,1）求tф的表达描位的一个变量表示）2）当a固时求ф的最小值3）当a在[2,3]

上变