小学生数学验证能力的培养

小学生数学验证能力的培养

如果说，数学猜想的灵魂是创新，数学猜想中孕伏着创新，那么，数学验证的核心是创造，数学验证中孕伏着创造能力。纵观数学发展史，我们会发现一个个伟大的数学家攻克了一个个数学猜想，一次次推动着数学发展。在小学数学教学中，数学验证与数学猜想也一样重要。顾汝佐先生曾说过这样一段耐人寻味的话：“学生学习数学是掌握前人创造的经验，而这种经验需要教师设计出一定的客观形式，通过相应的信号、信息载体，让学生自己去观察、操作、发现、检验、实施，在头脑中构建经验结构。”这实际上就是要求数学教学应根据需要为学生模拟探究情境和过程，让学生自己去发现、去建构新知，提升数学素养。数学验证就是一种学生构建数学的情境和过程。因此，在小学数学教学中要大胆培养学生数学验证的能力，让学生在数学验证中探究数学，在探究数学中培养创造能力。一、确立验证的理念所谓验证，就是指对研究对象有一定了解，形成一定认识或提出某种假说，初步知道研究方法或策略，为证明或检验这种认识或假说是否正确而进行的一种探索性活动。针对小学生来说，数学验证的过程实质上也是探究性学习的一种，强调演示和证明数学内容的活动，数学知识和数学过程相融，更注重探究的过程。数学验证过程传递了这样一种信息：了解一个发现并且如何把这个发现的结果应用到一个确定的问题上比直接学习如何发现重要得多。数学验证过程强调实践操作和观察、比较、推理、归纳等个别智力技能综合运用，强调快速有效地获得和构建数学知识。数学验证不同于数学结果正确与否的简单检验，它是以已有的数学知识为依据，运用多种思维形式对数学认识或假说进行检验与证明，具有较强的科学性。反过来，数学验证也是一种数学学习过程，在验证过程中需要综合运用数学知识，需要综合数学素养，因此对培养创新能力具有十分重要的意义。作为小学数学教师，应充分认识到验证不仅是数学的一种方法，更是学生在数学学习中的有效方法，学生在数学验证中获得新知，在数学验证中综合运用知识的能力得到了发展，创造能力得到了培养。总之，要验证数学知识，教师首先要树立“为学生发展服务”的思想与意识，坚决杜绝为教师的教学做“秀”的倾向。要积极为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；引导、帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励、帮助学生独立地发现和提出问题；组织、鼓励学生组成学习小组合作解决问题；指导、帮助学生养成查阅相关参考书籍和资料的习惯；既要鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的信心和勇气，同时也要指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；学会与人合作，学会倾听别人的意见、利用别人的意见。二、创设验证的空间《数学课程标准》指出，教学时要让“学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，这里明确指出：验证是数学思维的主要形式之一，也是数学教学的基本要求。教师在教学中应有目的地创设学习环境，让学生有充分验证的空间。创设环境应注重学生渴望探索、迫切需要和思想开放方面的内容，以此来激发学生进行数学验证。如在教学“可能性大小”时，我拿出黑、白围棋子各2枚放进一个纸盒里，让大家猜猜一次摸两枚可能出现的结果：一枚黑棋和一枚白棋、两枚都是白棋、两枚都是黑棋，并且出现黑棋和白棋的可能性大一些。接着，让学生验证每次摸出2枚棋子的情况，看看自己的猜想对不对。学生分组摸棋子，并做好记录。活动结束后，让尽量多的小组汇报摸的情况。这个过程让学生既体验了可能性大小的知识，又体验了验证猜想活动的快乐，更重要的是让学生学会了获得知识的方法——猜想、讨论、验证。三、学会验证的方法要培养学生的验证能力，除了给予学生验证空间外，更要让学生学会验证的各种方法。我在教学实践和听课过程中，总结了以下一些验证方法。1.举例验证法举例验证法就是引导学生用举例子的方法来证明猜想是否成立。［案例1］“商不变规律”教学片段教师引导学生自己设计类似于下面的两组题：(1)8÷2=4，80÷20=4，800÷200=4(2)6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2引导观察，让学生思考以下几个问题：(1)上面两组除法算式中，哪些部分变了，哪些部分没有变？(2)先从左到右观察，再从右到左观察，你发现了什么？(3)这种变化规律跟你的猜想一致吗？(4)再举一些例子来证明你的猜想。学生列举了许多类似的题组。这样教学，逐步引导学生通过自行设计题组，列举算式，验证自己的猜想，在验证中掌握“商不变规律”，体会数学的不完全归纳法。2.推导验证法从已知知识出发，通过演算、推理，证明猜想是正确的，这就是推理验证法。通过推导验证，不仅复习了旧知，掌握了新知，更重要的是沟通了旧知与新知之间的联系。［案例2］“体积单位之间的进率”教学片段教师揭题，问：请大家猜一猜，两个相邻体积单位之间的进率会是多少？生1：是1000。生2：绝对是1000。师：那么，请在小组里讨论一下，你可以想出几种方法来验证你的猜想。（小组讨论）生3汇报：棱长1分米的立方体，体积是：1×1×1=1立方分米1分米=10厘米，体积是：10×10×10=1000立方厘米1分米=0.1米，体积是：0.1×0.1×0.1=0.001立方米所以，1立方分米＝1000立方厘米＝0.001立方米因此，两个相邻的体积单位之间的进率是1000。从上面教学片段中可以看出，学生通过验证，不仅复习了长度单位之间的进率，掌握了新知——两个相邻的体积单位之间的进率是1000，还构建起了长度单位与体积单位之间的知识联系，对体积单位之间进率的理解就更深刻了。3.类比验证法［案例3］“比的基本性质”教学片段从对某一知识的认识来理解对另一相似知识的认识，这样的方法就是类比验证法。这种方法需借助于对某一知识的认识，通过比较它与另一类知识的相似点而达到对后者的推测和理解。小学数学教学中许多的概念、法则、性质、公式都可以通过类比猜想提出并验证。如“比的基本性质”，有些学生是这样验证的：因为“商不变的性质”是：被除数和除数同时乘或者除以相同的数（零除外），它们的商不变。如：16÷8=2，(16÷2)÷(8÷2)=2，(16÷4)÷(8÷4)=2，(16÷8)÷(8÷8)=2，(16÷1)÷(8÷1)=2改写成分数，就是：可以得到分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。如果改写成比的形式，就是：16:8=2，(16÷2):(8÷2)=2，(16÷4):(8÷4)=2，(16÷8):(8÷8)-2，(16÷1):(8÷1)=2这样，就可以得到比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（零除外），比值的大小不变。从案例中可以看到，教师根据比、分数、除法的内在联系，引导学生写一组商不变的除法算式，然后把除法算式改写成分数形式，再改写成比的形式，这样就可以顺利地验证“在比中，是否也存在一条重要的基本性质”的猜想，促进了知识的迁移。4.操作验证法操作验证法，应该是几何、统计教学中运用较多的一种验证方法，它通过学生设计实验、合作学习、动手操作、讨论交流，来验证数学猜想。［案例4］“圆的周长”教学片段我在执教“圆的周长与直径有什么关系”时，有这样一个教学片段。生：圆的周长应该比直径的4倍小。……师：同学们的猜想都很好。但是，猜想到底对不对呢？直径或半径与圆的周长有没有固定的关系呢？各小组看课本，并讨论怎样测量圆的周长。小组1：我们想用课本上介绍的围绕法，用一根细线围绕圆一周，然后拉直，量出细线的长度，就是圆的周长。小组2：我们想用滚动法，先在圆上做个记号，让圆在直尺上滚动一圈，就可以测量出圆的周长。小组3：我们想用量腰围的方法，将皮尺围绕圆一周，就可以测量出圆的周长。师：下面请各小组的同学按你们设想的方法测量自己准备的圆形物体的周长，并将测量结果填入实验表格中。物体周长C直径dC/d（比值）（厘米）（厘米）（取两位小数）接下来，让各小组汇报实验结果，验证学生自己的猜想。这一环节的教学，充分体现了学生探究的自主性，既有独立思考，又有小组合作学习。这样的验证性学习是生动活泼的、主动的、富有个性的。5.查阅资料验证法引导学生通过查阅资料，来证实自己的猜想，也是一种验证方法。［案例5］“辨认方向”教学片段在执教《辨认方向》一课时，我设计了这样一个环节，要求学生根据生活经验，以小组合作的方式，讨论现实中的方位与书本上表示的方位的区别与联系，并互相交流怎么辨认方向。考虑到学生日常所坐的方向和书本上“上北下南”的方位表示有出入，可能会有部分学生难以理解，于是特别指出：“可以用自己最喜欢的方法，向其他小朋友说说怎么辨认方向。”结果有几位学生将坐凳面北背南放起来。在随后的汇报中，这几个小组的同学提出：书本上“上北下南”这个方法不好，不如改成“上南下北”，这和平常我们大多是面南背北的习惯相符合。全班学生在随后的验证中也认为，这种“上南下北”的方法有一定的现实意义。在这一实践中，学生不但加深了数学知识在生活中的应用意识，而且还提出与书本不同的数学观点，完全出乎意料，也得到了我的肯定。课后，有几位学生意犹未尽，又通过网络、图书室查阅资料，去验证他们的假设的科学性。结果惊奇地发现，从古至今，地图上的方位并非一直都是左西右东。在古代，是左东右西。看来学生提出的这种表示方法是有一定道理的。但它是不是最好的方法呢，成了学生的又一个谜。我又鼓励学生，再利用网络，查阅资料，找到了更多的佐证。原来在古代，由于生产力相对落后，人们对自然力量的尊崇成了“以左为东、以西为右”的最主要原因。古人观察到，太阳每天都是从东方升起，因而向东的地方得天独厚地有了相对多的日照，这有利于植物的生长，故而东方成了生机盎然的木性的代表。简单的一个验证过程，引出了