离散时间信号与系统1

第一章离散时间信号与系统x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。1现在是1页\一共有91页\编辑于星期日1、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和2现在是2页\一共有91页\编辑于星期日1）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位3现在是3页\一共有91页\编辑于星期日2）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶4现在是4页\一共有91页\编辑于星期日3）和

同序列号n的序列值逐项对应相加5现在是5页\一共有91页\编辑于星期日4）积同序号n的序列值逐项对应相乘6现在是6页\一共有91页\编辑于星期日5）累加7现在是7页\一共有91页\编辑于星期日6）差分前向差分：后向差分：8现在是8页\一共有91页\编辑于星期日7）时间尺度变换抽取

插值9现在是9页\一共有91页\编辑于星期日8）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：10现在是10页\一共有91页\编辑于星期日举例说明卷积过程

11现在是11页\一共有91页\编辑于星期日12现在是12页\一共有91页\编辑于星期日13现在是13页\一共有91页\编辑于星期日14现在是14页\一共有91页\编辑于星期日卷积和与两序列的前后次序无关15现在是15页\一共有91页\编辑于星期日2、几种典型序列1）单位取样序列16现在是16页\一共有91页\编辑于星期日2）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系17现在是17页\一共有91页\编辑于星期日3）矩形序列与其他序列的关系18现在是18页\一共有91页\编辑于星期日

4）实指数序列

为实数19现在是19页\一共有91页\编辑于星期日5）复指数序列为数字域频率20现在是20页\一共有91页\编辑于星期日6）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率21现在是21页\一共有91页\编辑于星期日7）任意序列

x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。例：22现在是22页\一共有91页\编辑于星期日3、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。23现在是23页\一共有91页\编辑于星期日例：因此，x(n)是周期为8的周期序列24现在是24页\一共有91页\编辑于星期日讨论一般正弦序列的周期性25现在是25页\一共有91页\编辑于星期日分情况讨论1）当为整数时2）当为有理数时3）当为无理数时26现在是26页\一共有91页\编辑于星期日27现在是27页\一共有91页\编辑于星期日28现在是28页\一共有91页\编辑于星期日29现在是29页\一共有91页\编辑于星期日例：判断是否是周期序列30现在是30页\一共有91页\编辑于星期日讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列31现在是31页\一共有91页\编辑于星期日令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期32现在是32页\一共有91页\编辑于星期日4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和33现在是33页\一共有91页\编辑于星期日二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T[·]x(n)y(n)34现在是34页\一共有91页\编辑于星期日1、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足： 可加性： 比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。35现在是35页\一共有91页\编辑于星期日36现在是36页\一共有91页\编辑于星期日例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统37现在是37页\一共有91页\编辑于星期日

增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)38现在是38页\一共有91页\编辑于星期日2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）39现在是39页\一共有91页\编辑于星期日例：试判断是否是移不变系统40现在是40页\一共有91页\编辑于星期日

同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：LinearShiftInvariant41现在是41页\一共有91页\编辑于星期日3、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：T[·]42现在是42页\一共有91页\编辑于星期日对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y(n)43现在是43页\一共有91页\编辑于星期日一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)44现在是44页\一共有91页\编辑于星期日45现在是45页\一共有91页\编辑于星期日46现在是46页\一共有91页\编辑于星期日47现在是47页\一共有91页\编辑于星期日48现在是48页\一共有91页\编辑于星期日49现在是49页\一共有91页\编辑于星期日思考:

当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：

L=N+M-150现在是50页\一共有91页\编辑于星期日4、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)51现在是51页\一共有91页\编辑于星期日结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)52现在是52页\一共有91页\编辑于星期日分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)53现在是53页\一共有91页\编辑于星期日5、因果系统若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。LSI系统是因果系统的充要条件：54现在是54页\一共有91页\编辑于星期日6、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若LSI系统是稳定系统的充要条件：则55现在是55页\一共有91页\编辑于星期日例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。56现在是56页\一共有91页\编辑于星期日结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：57现在是57页\一共有91页\编辑于星期日三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：其中：58现在是58页\一共有91页\编辑于星期日求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法59现在是59页\一共有91页\编辑于星期日例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。60现在是60页\一共有91页\编辑于星期日61现在是61页\一共有91页\编辑于星期日例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。62现在是62页\一共有91页\编辑于星期日63现在是63页\一共有91页\编辑于星期日例3：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 讨论系统的线性性和移不变性。64现在是64页\一共有91页\编辑于星期日65现在是65页\一共有91页\编辑于星期日66现在是66页\一共有91页\编辑于星期日67现在是67页\一共有91页\编辑于星期日68现在是68页\一共有91页\编辑于星期日一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的69现在是69页\一共有91页\编辑于星期日差分方程系统结构Z-1ax(n)y(n)70现在是70页\一共有91页\编辑于星期日四、连续时间信号的抽样71现在是71页\一共有91页\编辑于星期日讨论：采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号72现在是72页\一共有91页\编辑于星期日1、理想抽样冲激函数：理想抽样输出：73现在是73页\一共有91页\编辑于星期日74现在是74页\一共有91页\编辑于星期日抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍若信号的最高频率则延拓分量产生频谱混叠75现在是75页\一共有91页\编辑于星期日奈奎斯特抽样定理

要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率76现在是76页\一共有91页\编辑于星期日2、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H[jΩ]理想低通滤波器:77现在是77页\一共有91页\编辑于星期日输出：讨论78现在是78页\一共有91页\编辑于星期日79现在是79页\一共有91页\编辑于星期日3、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲 其中系数Ck随k变化抽样信号频谱80现在是80页\一共有91页\编辑于星期日抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为Ωs若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复，只要取81现在是81页\一共有91页\编辑于星期日82现在是82页\一共有91页\编辑于星期日解：83现在是83页\一共有91页\编辑于星期日84现在是84页\一共有91页\编辑于星期日4、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：85现在是85页\一共有91页\编辑于星期日作业86现在是86页\一共有91页\编辑于星期日解：1-2已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样响应为，试求系统