第一类曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分现在是1页\一共有65页\编辑于星期一积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分机动目录上页下页返回结束向量场中的积分表示一物体在力场中沿曲线所做的功液体流过一个表面的流量现在是2页\一共有65页\编辑于星期一

第十章第一节机动目录上页下页返回结束第一类曲线积分二、第一类曲线积分的概念与性质一、问题的提出三、第一类曲线积分的计算现在是3页\一共有65页\编辑于星期一一、问题的提出假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分割,近似,求和,取极限”

可得为计算此构件的质量,例1:

曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束现在是4页\一共有65页\编辑于星期一解：设则则曲面的面积为：机动目录上页下页返回结束现在是5页\一共有65页\编辑于星期一定义：设L是空间中一条有限长的光滑曲线,函数在L上有定义,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对L

的任意分割局部的任意取点,二.定义及性质下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L

称为积分弧段.和对机动目录上页下页返回结束ds

称为弧长元素（弧微分）.现在是6页\一共有65页\编辑于星期一如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则积分号记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束由定义知：物理意义几何意义现在是7页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束基本性质：2.（线性性质）：假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，P表示平面或空间上的某个点。3.（积分区域的可加性）：现在是8页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是9页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是10页\一共有65页\编辑于星期一关于曲线的轮换对称性：

平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y对称。

如果平面曲线

L有轮换对称性，则它的方程F(x,y)=0，有如下特征：将F(x,y)中的变量x,y的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束

如果平面曲线L

有轮换对称性，那么交换被积函数f(x,y)

中变量

x,y

的位置，积分值不会改变，即现在是11页\一共有65页\编辑于星期一F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)，G(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F，G的表达式。

空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y=z对称。

如果空间曲线

L有轮换对称性，则它的方程机动目录上页下页返回结束

如果空间曲线L关于直线x=y=z对称，那么被积函数f(x,y,z)

中的变量

x,y,z

无论怎样互换，积分值不会改变。即现在是12页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束曲线对称性的补充性质：1、如果两条平面曲线L1、L2

关于直线x=y对称，则2、如果两条空间曲线L1、L2

关于平面x=y对称，则

同理，如果L1、L2

关于平面

y=z及

z=x对称，也有类似的性质。现在是13页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束3、如果空间曲线L关于平面x=y对称，那么交换被积函数f(x,y,z)

中的变量

x,y的位置，z的位置不动，积分值不会改变。即

同理，如果空间曲线L

关于平面

y=z

及

z=x

对称，有类似的性质。现在是14页\一共有65页\编辑于星期一三、对弧长曲线积分的计算定理1（平面曲线的情况）机动目录上页下页返回结束现在是15页\一共有65页\编辑于星期一证明：机动目录上页下页返回结束现在是16页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是17页\一共有65页\编辑于星期一说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.机动目录上页下页返回结束现在是18页\一共有65页\编辑于星期一其它情形：机动目录上页下页返回结束现在是19页\一共有65页\编辑于星期一定理2(空间曲线的情况)：机动目录上页下页返回结束现在是20页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束解现在是21页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束解1：参数方程现在是22页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是23页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束解2：参数方程现在是24页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束解3：极坐标现在是25页\一共有65页\编辑于星期一例3.

计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束现在是26页\一共有65页\编辑于星期一解1:其中L为球面被平面所截的圆周.例4.

计算机动目录上页下页返回结束现在是27页\一共有65页\编辑于星期一椭圆机动目录上页下页返回结束现在是28页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是29页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是30页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是31页\一共有65页\编辑于星期一解2:其中L为球面被平面所截的圆周.例4.

计算机动目录上页下页返回结束现在是32页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是33页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是34页\一共有65页\编辑于星期一例4.

计算其中为球面被平面所截的圆周.解3:

由轮换对称性可知机动目录上页下页返回结束现在是35页\一共有65页\编辑于星期一思考:

例4中改为如何计算解1:

令,则机动目录上页下页返回结束现在是36页\一共有65页\编辑于星期一

由对称性可知机动目录上页下页返回结束现在是37页\一共有65页\编辑于星期一例5.

已知椭圆周长为a,解:利用对称性机动目录上页下页返回结束

说明：此题用公式是积不出来的！现在是38页\一共有65页\编辑于星期一四、几何应用机动目录上页下页返回结束1、曲线的弧长2、柱面的侧面积现在是39页\一共有65页\编辑于星期一例6.

解1:机动目录上页下页返回结束现在是40页\一共有65页\编辑于星期一例6.

解2:用上一章重积分的应用做机动目录上页下页返回结束联立azoxDxza现在是41页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束aazoxDxz则所求面积为现在是42页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束例7（上章习题课例11）解：现在是43页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是44页\一共有65页\编辑于星期一解：用微元法：如图面积元素为绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为机动目录上页下页返回结束3、旋转曲面的侧面积现在是45页\一共有65页\编辑于星期一解：旋转曲面的面积为机动目录上页下页返回结束现在是46页\一共有65页\编辑于星期一五、物理应用机动目录上页下页返回结束称为形心现在是47页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束特别地现在是48页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束现在是49页\一共有65页\编辑于星期一思考:

例4中改为

如何计算解2:

令,则圆的形心在原点,故机动目录上页下页返回结束现在是50页\一共有65页\编辑于星期一例9.

计算半径为R，中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I

(设线密度

=1)。解:

建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束现在是51页\一共有65页\编辑于星期一例10.

L为球面坐标面的交线,求其形心.在第一卦限与三个解:

如图所示,交线长度为由对称性，形心坐标为机动目录上页下页返回结束由对称性现在是52页\一共有65页\编辑于星期一例11.

有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.机动目录上页下页返回结束现在是53页\一共有65页\编辑于星期一内容小结1.定义及基本性质：机动目录上页下页返回结束•对光滑曲线弧2.计算：•对光滑曲线弧3.应用：几何、物理现在是54页\一共有65页\编辑于星期一机动目录上页下页返回结束不同处:对弧长的曲线积分要求ds0

，但定积分中dx

可能为负。定积分和弧长积分的关系:相似处:从几何上讲，都表示空间曲线下柱面的侧面积。现在是55页\一共有65页\编辑于星期一作业习题9-1(P241)1(2)(3)(6)；2(1)(3)(4)4；5；7；10现在是56页\一共有65页\编辑于星期一备用题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解:

分段积分机动目录上页下页返回结束现在是57页\一共有65页\编辑于星期一2.

计算其中L为双纽线解: